Моделирование экономических систем

Задание 1

Раскрыть сущность экономико-математической модели. Привести классификацию экономико-математических моделей; дать понятие экономико-математического моделирования и рассмотреть его этапы.

С понятием «моделирование экономических систем» (а также математических и др.) связаны два класса задач:

задачи анализа, когда система подвергается глубокому изучению ее свойств, структуры и параметров, то есть исследуется предметная область будущего моделирования.

Задачи, связанные с задачами синтеза (получения ЭММ данной системы).

Модель – изображение, представление объекта, системы, процесса в некоторой форме, отличной от реального существования.

Различают физическое и математическое моделирование.

Классификация моделей:

— вещественные

— символьные

— словесно-описательные

1.     математические

2.     аналитические

·        имитационные

·        структурные

= формальные

= функциональные

Этапы практического моделирования

1.                Анализ экономической системы, ее идентификация и определение достаточной структуры для моделирования.

2.                Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической спецификации.

3.                Верификация модели и уточнение ее параметров

4.                Уточнение всех параметров системы и соответствие параметров модели, их необходимая валидация (исправление, корректирование).

Задание 3

В качестве примера построим модель оптимального размещения активов для некоторого гипотетического банка, работающего более двух лет, баланс которого приводится в таблицах ниже.

Пассив баланса

Наименование статей баланса	Сумма, млн. руб.	Риск одновременного снятия, %
Средства банков на корреспондентских счетах	5,1	25
Кредиты и депозиты банков (включая НБ РБ)
Кредитные ресурсы, полученные от других банков, депозиты других банков до востребования	2,8	55
Кредитные ресурсы, полученные от других банков, и депозиты других банков с договорными сроками	3,4	0
Средства клиентов
Остатки на текущих (расчетных) счетах юридических и  физических лиц	196	25
Вклады (депозиты) юридических и физических лиц:
до востребования	5,8	25
с договорными сроками	85
Прочие пассивы	7,6
Итого пассивов	305,7
Собственный капитал банка	68

Актив баланса

Наименование статей баланса	Сумма, млн. руб.	Доход-ность, %	Степень риска, %	Ликвид-ность, %
Касса и приравненные к ней средства	х1	0	0	100
Средства на корреспондентских счетах в банках
Средства в НБ РБ	х2	0	0	100
Средства в банках стран – членов ОЭСР до востребования	х3	5	30	75
Средства в банках стран, не являющихся членами ОЭСР, до востребования	х4	7	65	55
Обязательные резервы в НБРБ	33,5	0	0	0
Кредиты и депозиты банкам
Кредиты банкам-резидентам РБ под обеспечение государственных ценных бумаг РБ в бел. руб.	х5	32	0	100
Депозиты в банках-резидентах РБ под гарантии НБ РБ	х6	25	0	100
Кредиты юридическим и физическим лицам:
обеспеченные залогом ценных бумаг, эмитированных  юридическими лицами	х7	38	100	0
обеспеченные гарантийными депозитами в бел. руб. и СКВ	х8	33	0	0
обеспеченные залогом имущества	х9	39	100	0
обеспеченные гарантиями и поручительствами юридических лиц	х10	34	100	0
Государственные ценные бумаги РБ, номинированные в бел. руб.	х11	25	0	100
Основные средства и нематериальные активы	12,4	0	100	0

Запишем целевую функцию, в данной модели представляющую процентный доход банка от размещения активов, который следует максимизировать:

f(x)= 0,05х₃ + 0,07х₄ + 0,32х₅ + 0,25х₆ + 0,38х₇ + 0,33х₈ + 0,39х₉ + 
+ 0,34х₁₀ + 0,25х₁₁→max

Первое ограничение следует из условия баланса: сумма активных статей баланса должна быть равна сумме пассивных его статей + собственный капитал

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + 33,5 + х₅ + х₆ + х₇ + х₈ + х₉ + х₁₀ + х₁₁ + 12,4 = 373,7

Второе ограничение следует из норматива по достаточности капитала, при этом предположим, что R = 0

Третье ограничение следует из норматива мгновенной ликвидности, которое представляет собой отношение балансовых сумм активов и пассивов до востребования и с просроченными сроками:

Четвертое ограничение следует из норматива краткосрочной ликвидности, которое представляет соотношение фактической и требуемой ликвидности:

Пятое ограничение запишем исходя из минимально допустимого значения соотношения ликвидных и суммарных активов баланса:

Шестое ограничение следует из ограниченности совокупной суммы крупных рисков.

Пусть х₅≥0,1×68 и х₆≥0,1×68, тогда

х₅ + х₆≤6×68

Седьмое ограничение следует из ограниченности средств, размещенных в банках стран — не членов ОЭСР

х₄≤68

Далее запишем ограничения, вытекающие из норматива максимального размера риска на одного клиента, считая для простоты, что одна статья баланса соответствует одному клиенту:

х₃≤0,25×68; х₄≤0,25×68; х₅≤0,25×68;
х₆≤0,25×68; х₇≤0,25×68; х₈≤0,25×68;
х₉≤0,25×68; х₁₀≤0,25×68

В завершение напишем условие неотрицательности:

х_j ≥ 0, j = 1,11

Таким образом, все вышеперечисленные ограничения представляют собой модель оптимального распределения активов банка с рассмотренным выше балансом.

Задание 4

Построить уравнение регрессии, описывающее зависимость прибыли банка (у) от объема межбанковских кредитов и депозитов (х), оценить ее качество и степень зависимости. С помощью построенной регрессии прогнозировать, какой будет средняя прибыль банка при достижении объема межбанковских кредитов и депозитов величины 53 млн. руб.

№ банка	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Кредиты и депозиты	18	23	28	29	34	36	37	42	44	45	49	50
Прибыль	12	17	15	25	20	32	25	35	30	40	41	45

Решение

Информацию, представленную в исходных данных представим графически:

Из диаграммы рассеяния видно, что зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов носит линейный характер. Кроме того, исследуется зависимость прибыли банка только от одного фактора — объема межбанковских кредитов и депозитов, поэтому регрессию будем строить в виде

у = а + bх

т.е. это будет простая линейная регрессия. Для расчета ее параметров воспользуемся известными формулами:

Для этого в рабочей таблице рассчитаем нужные суммы:

i	xi	yi	xiyi	xi2	yi2
1	18	12	216	324	144
2	23	17	391	529	289
3	28	15	420	784	225
4	29	25	725	841	625
5	34	20	680	1156	400
6	36	32	1152	1296	1024
7	37	25	925	1369	625
8	42	35	1470	1764	1225
9	44	30	1320	1936	900
10	45	40	1800	2025	1600
11	49	41	2009	2401	1681
12	50	45	2250	2500	2025
∑	435	337	13358	16925	10763

Подставим результаты, полученные в таблице в формулы:

Таким образом, уравнение регрессии, описывающее зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов, имеет вид:

у = –7,71 + 0,987х

Оценим качество построенной регрессии. Для этого рассчитаем коэффициент детерминации, используя формулу:

Значение коэффициента детерминации достаточно близко к единице, поэтому качество построенной регрессии хорошее. Можно утверждать, что изменение прибыли банка на 86,8% зависит от изменения межбанковских кредитов и депозитов, и на 13,2% – от прочих факторов.

Степень зависимости между исследуемыми показателями оценивается на основании коэффициента корреляции:

Коэффициент корреляции близок к единице, поэтому имеем достаточно сильную линейную зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов.

Так как качество построенной регрессии хорошее, ее можно использовать для прогнозирования. Подставим прогнозное значение х_пр = 53 в построенное уравнение регрессии:

у_пр = –7,71 + 0,987×53 = 44,623 (млн. руб.)

Таким образом, если объем межбанковских кредитов и депозитов достигнет 53 млн. руб., то средняя прибыль коммерческого банка составит 44 млн. 623 тыс. руб.

Задание 5

За компаниями A, B и С проводились наблюдения в течение трех периодов. Данные в процентах приводятся в таблице ниже. Оценить ожидаемую доходность и риск каждой акции, на основании этих оценок дать сравнительную характеристику. Рассчитать ковариации доходностей акций друг с другом. Дать определение эффективного портфеля ценных бумаг и построить модели, позволяющие определить структуру эффективных портфелей.

Период наблюдения	Доходность компании А	Доходность компании В	Доходность компании С
1	27	25	22
2	30	20	18
3	33	26	16

Решение

Оценим ожидаемую доходность каждой акции:

Оценим риск каждой акции, который выражается вариацией:

Из приведенных расчетов следует, что самыми привлекательными для инвестора ценными бумагами являются акции компании А, так как они имеют самую высокую ожидаемую доходность и наименьший риск. Если же сравнить между собой компании В и С, то акции компании В имеют несколько большую ожидаемую доходность, но и больший риск, поэтому выбор зависит от отношения инвестора к риску.

Рассчитаем ковариации доходностей акций друг с другом:

Из расчетов видно, что ковариация доходностей компаний А и С отрицательна, т.е. зависимость между доходностями акций этих компаний обратная, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в разных направлениях. Ковариации доходностей акций компаний А и В, В и С положительные, что свидетельствует о прямой зависимости между доходностями акций этих компаний, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в одном направлении.

Дадим определение эффективного портфеля. Портфель, имеющий минимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности или максимальную ожидаемую доходность при заданном уровне риска, называется эффективным.

пусть х_А, х_В, х_С — доли капитала инвестора, вложенные в акции компаний А, В, С соответственно. Сумма долей равна единице, т.е.:

х_А + х_В + х_С = 1

Так как риск портфеля, составленного из акций компаний А, В и С, выражается формулой:

а ожидаемая доходность этого же портфеля выражается формулой

то, подставляя рассчитанные значения вариаций, ковариаций, получаем модели, определяющие структуру эффективных портфелей:

х_А + х_В + х_С = 1

х_А + х_В + х_С = 1

Задание 6

Руководство одного из банков решило разместить ресурсы в операциях с процентным арбитражем с целью получения прибыли от разницы процентных ставок на различных кредитных рынках с учетом изменения валютных курсов. Для проведения операций с процентным арбитражем на домашнем кредитном рынке было приобретено 500000 рос. руб. под 7,5% годовых на месяц. На момент начала операции наиболее привлекательными для банка оказались кредитный рынок США и еврорынок. Процентная ставка по вкладам на месяц на кредитном рынке США равнялась 7,75% годовых, а на еврорынке по вкладам в евро на месяц 7,7% годовых. Соотношение курсов валют было следующее: RUR/? = 37,7 руб., RUR/$ = 27,8 руб. Через месяц на момент окончания операции прогнозируются следующие курсы валют: с вероятностью 0,4 RUR/? = 36,3 руб., RUR/$ = 28,2 руб., с вероятностью 0,6 RUR/? = 38,2 руб., RUR/$ = 26,6 руб. Определить наилучшую стратегию размещения ресурсов сроком на один месяц, используя критерии Вальда, Гурвица и Байеса.

Решение

В данной задаче выделяются 2 игрока: руководство банка, принимающее решения, и природа — рынок валют. Предположим, что руководство банка определило для себя три стратегии:

А₁ — разместить 500000 руб. на еврорынке;

А₂— разместить 500000 руб. на рынке США;

А₃— разместить 250000 руб. на рынке США и 250000 руб. на еврорынке.

У природы будут две стратегии, соответствующие двум прогнозам курсов. Для определения наилучшей стратегии построим платежную матрицу. Ее размерность будет 3×2 в соответствии с количеством стратегий.

Элементы платежной матрицы будут равны прибыли, которую получит банк в каждой из возможных ситуаций.

Рассчитаем элемент платежной матрицы а ₁₁:

1. Конвертируем валюту:

500000/37,7 = 13262,6 ?

2. Вкладываем получившуюся в валюте сумму на соответствующем рынке на месяц:

13262,6×(1+0,077/12) = 13347,7 ?

3. Конвертируем полученную сумму в рубли соответственно стратегии природы:

13347,7×36,3 = 484,521 руб.

4. Рассчитаем сумму, которую нужно вернуть через месяц на домашнем рынке:

500000×(1+0,075/12) = 503125 руб.

5. Находим чистый доход от операции

484521,6 – 503125 = –18603,4 руб.

Аналогично рассчитываются все остальные элементы платежной матрицы. В результате расчетов она принимает вид:

	П1	П2
A1	-18603,45	6757,18
A2	7344,87	-21617,96
A3	5629,29	7430,39

Для выбора лучшей стратегии воспользуемся следующими критериями:

1.     Критерий Вальда — критерий крайнего пессимизма. Наилучшая, по Вальду, стратегия — соответствующая наибольшему из наименьших выигрышей. Наилучшей, по Вальду, будет стратегия А₃, т.е. разместив по 250000 тыс. руб. на рынках США и Европы, банк получит прибыль не менее, чем на 5629,29 руб.

2.     Критерий Сэвиджа — критерий минимального риска. Наилучшей, по Сэвиджу, считается стратегия, соответствующая наименьшему из наибольших рисков. Для ее определения построим дополнительную матрицу R:

	П1	П2
A1	25948,32	673,20
A2	0,00	29048,34
A3	1715,59	0,00

Стратегия А₃ соответствует минимальному из максимальных рисков, т.е. наилучшей, по Сэвиджу будет вложение по 250000 руб. на обоих рынках.

3.     Критерий Гурвица — критерий пессимизма-оптимизма. Параметр γ в нашем случае равен 0,4. Рассчитаем числа и выберем из них максимальное:

a₁ = 0,4×(-18603,45) + 0,6×6757,18 = -3387,07

a₂ = 0,4× (-21617,96) + 0,6×7344,87 = -4240,26

a₃ = 0,4×5629,29 + 0,6×7430,39 = 6709,95

Таким образом при γ = 0,4, если руководство банка настроено оптимистично оно принимает решение вложить по 250000 руб. на обоих рынках.

4.Критерий Байеса — используется тогда, когда известны вероятности состояний природы. Такая ситуация называется ситуацией риска. Наилучшей, по Байесу, стратегией считается соответствующая наибольшему ожидаемому выигрышу. Рассчитаем а₁, а₂, а₃:

a₁ = 0,4× (-18603,45) + 0,6× 6757,18 = -3387,07

a₂ = 0,4×7344,87 + 0,6× (-21617,96) = -10032,82

a₃ = 0,4×5629,29 + 0,6×7430,39 = 6709,95

Наилучшей, по Байесу, стратегией будет стратегия А₃.

Задание 7

Компания рассматривает строительство филиалов в четырех местах, соответственно имеются четыре проекта, продолжительностью 5 лет. Первоначальные инвестиции и доходы по годам приведены в таблице исходных данных. Инвестиционные возможности компании ограничены. В силу определенных соображений сумма расстояний от компании до филиалов не должна превышать 450 км. Из-за ограниченности фонда заработной платы общее число работников филиала на должно превышать 450 человек. Совместное строительство филиалов не допускается, так как они располагаются достаточно близко друг к другу.

Построить модель оптимального распределения инвестиций по проектам, в качестве критерия оптимальности использовать сумму NPV проектов. Ставка дисконта равна 15%.

Номер проекта	I0	Доходы по годам
		первый	второй	третий	четвертый	пятый
первый	1250	-200	600	1200	1300	1400
второй	1300	100	830	700	570	720
третий	1400	500	250	400	320	710
четвертый	2200	-330	1000	1150	1600	1800

Решение

Для расчета NPV будем использовать следующую формулу:

 i = 1,2,3,4

Отсюда:

NPV₁ = 1258,12

NPV₂ = 558,68

NPV₃ = 22,78

NPV₄ = 835,05

Введем переменные. Пусть х_i, i = 1,2,3,4 характеризует i-й проект и может принимать только 2 значения — 0 или 1. Если х_i = 0, это значит, что i-й проект не следует инвестировать. Если х_i = 1, то i-й проект следует инвестировать.

Используя введенные переменные запишем целевую функцию:

NPV = 1258,12х₁ + 558,68х₂ + 22,78х₃ + 835,05х₄

Теперь запишем ограничения, которые вытекают из условий задачи.

Первое ограничение следует из ограниченности инвестиционных возможностей компании:

1250х₁ + 1300х₂ + 1400х₃ + 2200х₄≤5600

Второе ограничение следует из того, что в первом году некоторые проекты еще не требуют инвестиций, которые должны быть покрыты доходами от других проектов:

-200х₁ + 100х₂ + 500х₃ - 300х₄≥0

Далее запишем ограничение, вытекающее из ограниченности суммы расстояний:

100х₁ + 90х₂ + 120х₃ + 160х₄≤450

Аналогично запишем ограничение, которое следует из того, что общее количество работников филиалов ограничено:

100х₁ + 120х₂ + 120х₃ + 150х₄≤450

Наконец, запишем условие того, что второй и третий филиалы одновременно строить нельзя:

х₂ + х₃ ≤1

Модель оптимального распределения инвестиций по проектам состоит в максимизации целевой функции при ограничениях, т.е.

NPV = 1258,12х₁ + 558,68х₂ + 22,78х₃ + 835,05х₄ (max)

1250х₁ + 1300х₂ + 1400х₃ + 2200х₄≤5600

-200х₁ + 100х₂ + 500х₃ - 300х₄≥0

100х₁ + 90х₂ + 120х₃ + 160х₄≤450

100х₁ + 120х₂ + 120х₃ + 150х₄≤450

х₂ + х₃ ≤1

0, если i-й проект не инвестировать

 x_i =

1, если i-й проект инвестировать, i=1,2,3,4