Измерение отношений удельных теплоемкостей

Министерство образования РФ

Рязанская государственная радиотехническая академия

Кафедра ОиЭФ

Контрольная работа

«ИЗМЕРЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ УДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОЁМКОСТЕЙ»

Выполнил ст. гр. 343

Кондрахин А.В

Проверил

Иваников А.С.

Рязань 2004г.

Цель работы: изучение теоретических основ и экспериментального метода измерения отношения удельных теплоёмкостей воздуха.

Приборы и принадлежности: звуковой генератор, электронный осциллограф, микрофон, телефон, частотомер, труба с воздухом.

Элементы теории

Термодинамикой называется раздел физики, в котором изучаются физические процессы с точки зрения происходящих в них превращений энергии с учетом двух форм ее передачи: работы и теплообмена. Термодинамика не рассматривает самого механизма явлений и ограничивается лишь энергетическими соображениями, основанными на двух законах, получивших название «начал».

Первый закон (первое начало) термодинамики – изменение внутренней энергии DU_1-2 замкнутой системы, которое происходит в процессе 1®2 перехода системы из состояния 1 в состояние 2, равно сумме работы А’_1-2, совершаемой над системой внешними силами, и количества теплоты Q_1-2 сообщаемого системе:

1) DU_1-2 = А’_1-2 + Q_1-2, А’_1-2 = - А_1-2, А_1-2

- работа, совершаемая системой над внешними телами в процессе 1®2, поэтому:

2) Q_1-2 = DU_1-2 + А_1-2.

Количество теплоты, сообщаемое системе, расходуется на изменение внутренней энергии системы и на совершение системой работы против внешних сил.

Для элементарного количества теплоты dQ, элементарной работы dА и бесконечно малого изменения dU внутренней энергии первый закон термодинамики имеет вид:

2) dQ = dU + dА.

Если dQ > 0 , то к системе подводится теплота. Если dQ < 0 , то от системы отводится теплота. В конечном процессе 1®2 элементарные количества теплоты могут быть обоих знаков, и общее количество теплоты Q_1-2 процессе 1®2 равно алгебраической сумме количества теплоты на всех участках этого процесса:

4)

Если система производит работу над внешними телами, то считается, что dА > 0, а если над системой совершается работа внешними силами, то dА < 0 . Работа А_1-2, совершаемая системой в конечном процессе 1®2, равна алгебраической сумме работ dА, совершаемых системой на всех участках этого процесса:

5)

Адиабатический процесс происходит при условии dQ = 0. Существенно, что для определения этого процесса условие Q = 0 не годится, ибо оно не означает требования отсутствия теплообмена с внешней средой, а лишь равенство нулю алгебраической суммы количества теплоты, подводимой и отводимой от газа на различных участках процесса. При адиабатическом процессе работа совершается идеальным газом за счет убыли его внутренней энергии:

6)

где С_nm - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме;

- число молей газа, содержащихся в массе М газа; dT - элементарное изменение температуры газа.

Если газ адиабатически расширяется, то dА = pdV > 0 и происходит его охлаждение ( dT < 0 ). При адиабатическом сжатии газа он нагревается:

dА = pdV < 0 и dT >0.

Для равновесного адиабатического процесса справедливо уравнение Пуассона:

7) pV^g = const

где g - коэффициент Пуассона (показатель адиабаты)

Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, можно из уравнения Пуассона найти связь между р и Т, а также V и Т в адиабатическом процессе:

8) ,

9)

где С_pm - молярная и С_p - удельная теплоемкости при постоянном

объеме, С_рm и С_р - молярная и удельная теплоемкости при постоянном давлении.

На рис. 1 сплошная кривая - адиабата - изображает в p-V-диаграмме адиабатический процесс, а штриховая линия - изотерма - изотермический процесс при температуре, соответствующей начальному состоянию 1 газа. При адиабатическом процессе давление меняется с изменением объема газа резче, чем при изотермическом процессе. При адиабатическом расширении уменьшается температура газа и его давление падает быстрее, чем при соответствующем изотермическом расширении. При адиабатическом сжатии газа его давление возрастает быстрее, чем при изотермическом сжатии. Это связано с тем, что увеличение давления происходит за счет уменьшения объема газа и в связи с возрастанием температуры. Работа А_1-2, совершаемая газом при адиабатическом процессе 1®2, измеряется площадью, заштрихованной на рис. 1.

Распространение звуковой волны в газе (воздухе) происходит адиабатически, так как сжатия и разрежения в газе сменяют друг друга настолько быстро, что теплообмен между слоями газа, имеющими разные температуры, не успевает произойти. Такие процессы описываются уравнением (7). Известно, что скорость распространения звуковой волны в газах зависит от показателя адиабаты g. Скорость звука в газах определяется формулой:

10)

где R - универсальная газовая постоянная, Т - температура газа, m - молярная масса газа.

Преобразуя формулу (10), находим:

11)

Таким образом, для определения показателя адиабаты достаточно измерить температуру газа и скорость распространения звука (молярная масса предполагается известной - для воздуха m=29-10^-3 кг/моль).

Звуковая волна, распространяющаяся вдоль трубы, испытывает многократные отражения от торцов. Звуковые колебания в трубе являются наложением всех звуковых волн и довольно сложны. Картина упрощается, если длина трубы L равна целому числу длин полуволн, т.е. когда

12)

где l - длина волны звука в трубе; п - любое целое число.

Если условие (12) выполнено, то волна, отраженная от торца трубы, вернувшаяся к ее началу и вновь отраженная, совпадает по фазе с падающей. При звуковых колебаниях слои воздуха, прилегающие в торцам трубки, не испытывают смещения (узел - смещения). Узлы смещения повторяются по всей длине трубы через . Между узлами находятся максимумы смещения (пучности).

Скорость звука  связана с его частотой n и длиной волны l соотношением:

13)

Длина волны может быть найдена из соотношения:

17)

где L_n - расстояние между n положениями телефона и микрофона, в которых эллипс последовательно вырождается в прямые А и В (рис. 2).

С учетом формулы (13) имеем:

18)

При неизменной частоте n звукового генератора (и, следовательно, неизменной длине звуковой волны l) можно изменять расстояние L_n между телефоном и микрофоном. Для этого микрофон или телефон приближаются или удаляются друг от друга с помощью специального стержня на установке. Данный стержень градуирован шкалой, цена деления которой 5×10^-5 м. Наблюдая положения, в которых эллипс вырождается в прямую, имеем:

19) , ,

т.е.  равно угловому коэффициенту графика, изображающего зависимость L_n от номера положения п. Скорость звука находится по формуле (13), а отношение удельных теплоемкостей рассчитывается по формуле (11).

Расчётная часть

После снятия показаний с установки получаем 3 серии измерений. Каждой серии соответствует своё значение частоты звуковой волны n. Для большей достоверности измерений, измерения каждой серии сняты для двух случаев: а) - микрофон движется по направлению от телефона; б) - микрофон движется по направлению к телефону.

а)	серия 1		серия 2		серия 3
n	n1, Гц × 103	Ln, м	n2, Гц × 103	Ln, м	n3, Гц × 103	Ln, м
1	3,001	0,046	4,5	0,022	6	0,045
2		0,103		0,061		0,073
3		0,161		0,099		0,101
4		0,219		0,137		0,130
5		0,276		0,176		0,157
б)	серия 1		серия 2		серия 3
n	n1, Гц × 103	Ln, м	n2, Гц × 103	Ln, м	n3, Гц × 103	Ln, м
1	3,001	0,044	4,5	0,026	6	0,040
2		0,100		0,064		0,070
3		0,160		0,103		0,099
4		0,215		0,140		0,127
5		0,274		0,180		0,154

Снятия показаний проводились при стандартных условиях т.е. температура воздуха в трубке T примем равной 20° C (T = 293 K).

При произведении вычислений для каждой серии будут использоваться средние арифметические значения соответствующих значений длин L_n взятые из а) и б) частей таблицы. Для удобства результаты L_n для случая б) записаны в соответствии с номерами результатов n в части таблицы а).

Для нахождения длины звуковой волны (l) испускаемой телефоном, построим для каждой серии графики зависимости L_n от n. Значения L_n возьмём усреднённые, как описывалось выше.

Серия 1.

Примерное значение коэффициента наклона данного графика можно получить после его аппроксимации (усреднению квадратов значений координат точек). т.е. L_n = 0,056×n. Подставим L_n из данного выражения в формулу (17), получим, что:

l₁/2 = 0,056, отсюда l₁ = 2×0,056 = 11,2×10^-2 м

Серия 2.

Данный график с расчётами построим аналогично предыдущему графику.

L_n = 0,0385×n. Отсюда: l₂ = 7,7×10^-2 м.

Серия 3

Точно так же строится график и для третьей серии измерений.

L_n = 0,029×n.

Отсюда

l₃ = 5,8×10^-2 м.

Далее вычислим действительное значение скорости звука  через ,

 и , найденные по формуле (13):

м/с.  м/с.

 м/с.

м/с.

Теперь, для каждого значения частоты по формуле (11) найдём показатель адиабаты g.

;

; ; ;

Действительное значение  найдём, как среднее арифметическое от g₁, g₂ и g₃:

Остаётся вычислить погрешность . Так, как g находится из простой линейной формулы, то для нахождения абсолютной погрешности можно использовать упрощённую формулу вида:

, где  при .

Так, как относительная погрешность величин находится последующей формуле:

то найдём абсолютную погрешность DT. В силу того что температура была замерена однократно то за значение абсолютной погрешности принимают значение её случайной составляющей.

; ; при k = 1,1 и c = 1°.

При вычислении dL_n за действительное значение L_n примем среднее арифметическое значение всех 30-ти измерений ((а) и (б) частей всех серий), при c = 10^-3 м.

Возвращаясь к формуле вычисления dg, подставим получившиеся значения dT и dL_n.

Итого получаем:

g = (140 ± 3,44)×10^-2.