Изучение упругого и неупругого ударов шаров

Министерство образования РФ

Рязанская государственная радиотехническая академия

Кафедра ОиЭФ

Контрольная работа

«ИЗУЧЕНИЕ УПРУГОГО И НЕУПРУГОГО УДАРОВ ШАРОВ»

Выполнил ст. гр. 255

Ампилогов Н. В.

Проверил

Малютин А. Е

Рязань 2002г.

Цель работы: изучение законов сохранения импульса и механической энергии на примере ударного взаимодействия двух шаров; определение средней силы удара, коэффициента восстановления скорости и энергии деформации шаров.

Приборы и принадлежности: установка для изучения упругого и неупругого ударов шаров ФПМ-08.

Элементы теории

Удар (соударение) – это столкновение двух или нескольких тел, при котором взаимодействие длиться очень короткое время. При этом часть энергии данных тел полностью или частично переходит в потенциальную энергию упругой деформации или во внутреннюю энергию тел.

В качестве меры механического взаимодействия тел при ударе вместо ударной силы служит её импульс за время удара.

1)        

где <> - средняя сила удара; t – время ударного взаимодействия.

Если импульс изменяется на конечную величину D(m) за время t, то из второго закона динамики следует, что

2)        

Тогда <F> можно выразить так

3)          

где m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел; DV₁ и DV₂ изменение скоростей данных тел при ударе.

Абсолютно упругий удар – это удар при котором механическая энергия тел не переходит в другие механические виды энергии, и кинетическая энергия переходит полностью в потенциальную энергию упругой деформации (затем обратно).

Абсолютно неупругий удар – это удар при котором потенциальной энергии не возникает, кинетическая энергия полностью или частично переходит во внутреннюю энергию. Суммарный импульс данной системы сохраняется, а большая часть кинетической энергии переходит в тепло.

Линяя удара – это линия перпендикулярная поверхностям соударения обоих тел и проходящая через точку касания данных тел при ударе.

Прямой удар – есть удар, при котором вектора скоростей движения центров масс данных тел параллельны линии удара (перед непосредственным взаимодействием).

Центральный удар – это прямой удар, при котором центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара.

Косой удар – это удар не являющийся прямым.

В данном случае будем считать, что система шаров на экспериментальной установке является изолированной. Тогда на основании законов сохранения импульса и энергии будет справедлива следующая формула

4)        

5)         ,

6)         где m₁ и m₂ – массы шаров; ,  и ,  - их скорости до и после взаимодействия.

Из (4) и (5) выражаем скорости шаров после столкновения  и

7)          7)

В данном случае рассматривался – абсолютно упругий удар. Но в действительности кинетическая энергия тел после соударения становиться меньше их первоначальной энергии на величину, которую можно найти так:

8) ,

где K_с – коэффициент восстановления скорости. Эта часть кинетической энергии тел при ударе преобразуется в их внутреннюю энергию.

Коэффициент восстановления скорости можно найти по следующей формуле:

9)

Если при соударении потеря кинетической энергии отсутствует (K_с = 1), то удар называется абсолютно упругим, а при K_с = 0 абсолютно неупругим. Если же 0 < K_с < 1, то удар является не вполне упругим.

Применительно к соударяющимся шарам, один из которых покоится, формулу (4) можно записать так:

10) , а для абсолютно неупругого удара .

Скорости шаров до и после удара можно определить по формулам:

11) ; 12) ; 13)

где l – расстояние от точки подвеса до центра тяжести шаров (l = 470 ± 10 мм.), a₀ – угол бросания правого шара, a₁ и a₂ – углы отскока соответствующих шаров.

Расчётная часть

№	ti´10-6	Dti´10-6	(Dti´10-6)2	a1i	Da1i		a2i	Da2i
1	76	-14	196	2°	-0,5°	0,25°	12°	-0,2°	0,04°
2	103	13	169	2°	-0,5°	0,25°	13°	0,8°	0,64°
3	96	6	36	3°	0,5°	0,25°	11°	-1,2°	1,44°
4	93	3	9	2,5°	0°	0°	13°	0,8°	0,64°
5	82	-8	64	3°	0,5°	0,25°	12°	-0,2°	0,04°
	90			2,5°			12,2°

После работы с установкой имеем значение следующих величин: (угол бросания правого шара) a₀ = 15°; (массы правого и левого шаров соответственно) m₁ = 112,2 ´ 10^-3 кг, m₂ = 112,1 ´ 10^-3 кг; (длина бифилярных подвесов обоих шаров) l = 470 ´ 10^-3 м; (погрешность значения длин бифилярных подвесов) Dl = 0,01 м; (цена деления микросекундометра) c_t = 10^-6; (цена деления градусных шкал) c_a = 0,25°.

При известном среднем арифметическом значении времени  найдём погрешность измерения данной величины:

   

 с.

 с.

При известных значениях  и  найдём погрешность их измерения (в радианах, при p = 3,14):

 рад.

 рад.

 рад.

 рад.

 при D_сл » 0;рад.

 при s_сл » 0; s_a0 = s_с; ;

 рад.

Теперь найдём скорости данных шаров до соударения (V₁, V₂) и их скорости после взаимодействия (U₁, U₂). При этом (скорость левого шара) V₂ = 0 т. к. он покоиться до удара. Значения остальных скоростей находят из следующих формул (через l, a и g):

  

 м/с²;  м/с²;  м/с²;

Найдём погрешности вычисления данных скоростей.

 

м/с.

м/с.

м/с.

По формуле (3) найдём (силу кратковременного взаимодействия шаров) < F >. Учитывая, что DV₁ = |U₁ - V₁| и DV₂ = |U₂ – V₂|.

  Н.

  Н.

Значение силы удара шаров найдём, как действительное значение от < F₁ > и < F₂ >:

  Н.

Найдём погрешность величины < F > по формуле

(погрешность вычисления массы пренебрежимо мала)

Н.

Н.

Н.

Далее по формуле (9) найдём коэффициент восстановления скорости K_с:

; при V₂ = 0,

Пользуясь формулой для вычисления погрешности косвенных величин

Найдём DK_с. Для получения более точного значения погрешности, используя формулы (11, 12, 13), сведём исходную формулу для вычисления K_с (9) к формуле с аргументом состоящим только из значений прямых измерений (t,a₁,a₂).

= 4,6 ´ 10^-2

Теперь по формуле (8) вычислим значение энергии деформации шаров DE_k:

  Дж.

Осталось найти погрешность D(DE_K). При использовании следующей формулы предполагается, что V₁ и Kс являются прямыми измерениями.

DE_K = 0,17 Дж.