Групповые дисперсии. Агрегатный индекс себестоимости

Задача 1. По данным о производственной деятельности ЗАО определить средние затраты на 1 руб. произведенной продукции в целом по ЗАО.

Таблица 1 - Исходные данные

Предприятие	Общие затраты на производство, млн. руб.	Затраты на 1 руб. произведенной продукции, коп.
1	2,12	75
2	8,22	71
3	4,43	73

 

Решение:

Для определения средних затрат на 1 рубль произведенной продукции необходимо воспользоваться средней гармонической, так как у нас известен числитель и неизвестен знаменатель. Для определения средней строим вспомогательную таблицу.

Таблица 2 - Вспомогательная

Предприятие	Общие затраты на производство, млн. руб., (Wi)	Затраты на 1 руб. произведенной продукции, руб. (Xi)	Объем произведенной продукции, млн руб. (Wi/Xi)
1	2,12	0,75	2,83
2	8,22	0,71	11,58
3	4,43	0,73	6,07
Итого:	14,77		20,47

Так средние затраты на 1 рубль продукции рассчитываются по формуле

,

где х - признак (варианта) - индивидуальные значения усредняемого признака;  показатель, представляющий собой реально существующий экономический показатель равный х∙ f:

Данные берутся из таблицы.

 

Ответ: Средние затраты на 1 рубль произведенной продукции равны 72 коп.

Задача 2. По данным 10% -го выборочного обследования рабочих по стажу работы, результаты которого приведены ниже, определить:

1) относительную величину структуры численности рабочих;

2) моду и медиану стажа рабочих;

3) средний стаж рабочих цеха;

4) размах вариации;

5) среднее линейное отклонение;

6) дисперсию;

7) среднее квадратическое отклонение;

8) коэффициент вариации;

9) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию;

10) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стаж работы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.

Таблица 3 - Исходные данные

Группы рабочих по стажу, лет	До 2	2 - 4	4 - 6	6 - 8	8 - 10	10 - 12	12 - 14
Число рабочих	6	8	12	24	17	8	5

 

Решение:

1) Находим относительную величину структуры численности рабочих, для этого строим следующую таблицу.

Таблица 4 - Относительная структура численности рабочих

Группы рабочих по стажу, лет	Число рабочих	Структура,%
До 2	6	7,5
2 - 4	8	10
4 - 6	12	15
6 - 8	24	30
8 - 10	17	21,25
10 - 12	8	10
12 - 14	5	6,25
Итого:	80	100

2) Находим моду и медиану стажа рабочих. Для этого строим вспомогательную таблицу.

Таблица 5 - Вспомогательная.

Группы рабочих по стажу, лет	Число рабочих (fi)	Середина интервала, (xi)	xi*fi	fi. накопл
До 2	6	1	6	6
2 - 4	8	3	24	14
4 - 6	12	5	60	26
6 - 8	24	7	168	50>40
8 - 10	17	9	153	67
10 - 12	8	11	88	75
12 - 14	5	13	65	80
Итого:	80		564

Мода - это наиболее часто встречающееся значение ряда:

 

,

 

где - мода;  - нижняя граница модального интервала. Интервал с максимальной частотой является модальным;  - шаг модального интервала, который определяется разницей его границ; f_mo - частота модального интервала; f_mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному; f_mo+1 - частота интервала, последующего за модальным.

Медианой является значение признака х, которое больше или равно и одновременно меньше или равно половине остальных элементов ряда распределения. Медиана делит ряд на две равные части:

,

где x_me- нижняя граница медианного интервала. Интервал, в котором находится порядковый номер медианы, является медианным. Для его определения необходимо подсчитать величину . Интервал с накопленной частотой равной величинеявляется медианным; i - шаг медианного интервала, который определяется разницей его границ;  - сумма частот вариационного ряда; S_me-1- сумма накопленных частот в домедианном интервале; f_me - частота медианного интервала.

3) Находим средний стаж рабочих цеха:

,

где х - признак (варианта) - индивидуальные значения усредняемого признака, в качестве которого берется середина интервала, определяемая как полусумма его границ;

f - частота, т.е. числа, показывающие, сколько раз повторяется та или иная варианта.

Сравниваем полученные значения, в нашем случае получаем:

,

что говорит о левосторонней асимметрии.

По этим данным можно сделать вывод о том, что средний стаж рабочих составляет 7,05 лет; наиболее часто встречаются рабочие со стажем 7,263 года. Кроме того, половина рабочих имеет стаж более 7,166 лет, а другая - менее 7,166 лет.

4) Находим размах вариации.

Размах вариации:

,

где х_max- максимальное значение признака; х _min - минимальное значение признака.

Так, разница между максимальным значением признака и минимальным составляет 12.

5) Находим среднее линейное отклонение:

,

где  - индивидуальные значения признака,  - средняя величина; f - частота.

Строим расчетную таблицу.

Таблица 6 - Расчетная

Середина интервала, (xi)		Число рабочих (fi)
1	6,05	6	36,3	36,60	219,62
3	4,05	8	32,4	16,40	131,22
5	2,05	12	24,6	4, 20	50,43
7	0,05	24	1,2	0,00	0,06
9	1,95	17	33,15	3,80	64,64
11	3,95	8	31,6	15,60	124,82
13	5,95	5	29,75	35,40	177,01
7,05		80	189		767,80

.

Так средний абсолютный разброс значений вокруг средней составил 2,362. То есть работники отличаются по стажу друг от друга в среднем на 2,362 года.

6) Находим дисперсию:

7) Находим среднее квадратическое отклонение:

.

Средний разброс стажа от среднего стажа в 7,05 лет составляет 3,097.

8) Находим коэффициент вариации:

.

Так как коэффициент вариации больше 33%, то это говорит о высокой степени неоднородности совокупности.

9) Находим с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию.

Границы генеральной средней:

,

где  - генеральная средняя,  - выборочная средняя, Δ- предельная ошибка выборочной средней:

,

где  - коэффициент доверия, зависящий от вероятности исследования: при вероятности 0,954 t = 2, а при вероятности 0,997 t = 3; n - объем выборочной совокупности;

N - объем генеральной совокупности;

- доля отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную;

 - дисперсия признака выборочной совокупности.

Так, находим предельную ошибку выборочной средней:

.

Тогда пределы, в которых изменяется средний стаж рабочего, будут:

10) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стаж работы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.

Границы генеральной доли:

,

где р - генеральная доля, - выборочная доля:

,

где  - число единиц, обладающих данным или изучаемым признаком; n - объем выборочной совокупности; - предельная ошибка доли:

,

где n - объем выборочной совокупности;

N - объем генеральной совокупности;

- доля отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Тогда доля работников со стажем больше 10 лет будет изменяться в пределах:

 

Задача 3. Для установления зависимости между урожайностью и сортом винограда в одном из хозяйств на основе выборки определили урожай на 8 кустах винограда.

Таблица 7 - Исходные данные

Сорт винограда	Число проверенных кустов	Урожай с куста, кг
		№ куста винограда
		1	2	3
А	3	6	5	7
Б	3	7	6	8
В	2	9	7	-

Исчислить общую, межгрупповую и среднюю из групповых дисперсий.

Определите связь между сортом и его урожайностью, рассчитав коэффициент детерминации.

Сделать вывод.

Решение:

 

,

где - общая дисперсия; - средняя из групповых дисперсий;  - межгрупповая дисперсия.

Величина общей дисперсии  характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности.

где - общая средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности; _ значение признака (варианта).

Средняя из групповых дисперсий  характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки;

,

где f_i- число единиц в определенной i - й группе;  - дисперсия по определенной i - й группе:

,

где  - средняя по определенной i - й группе.

Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки:

.

Находим среднюю из групповых дисперсий. Для этого находим дисперсию по каждой группе. Строим расчетную таблицу.

Таблица 8 - Расчетная

Сорт винограда	Число проверенных кустов (fi)	Урожай с куста, кг			Среднее значение
		№ куста винограда
		1	2	3
А	3	6	5	7	6
		0	-1	1
		0	1	1	Сумма
		0	1	1	2
Б	3	7	6	8	7
		0	-1	1
		0	1	1	Сумма
		0	1	1	2
В	2	9	7	-	8
		1	-1
		1	1		Сумма
		1	1		2

 

Получаем следующие значения, которые сводим в таблицу.

Таблица 9 - Десперсии по группам

Сорт винограда	Число проверенных кустов (fi)
А	3	0,667	2
Б	3	0,667	2
В	2	1,000	2
Итого:	8		6

Рассчитываем среднюю из групповых дисперсий:

,

Таким образом, разброс значений за счет неучтенных факторов составляет 0,75 кг.

Находим межгрупповую дисперсию.

Для этого строим следующую вспомогательную таблицу.

Таблица 10 - Вспомогательная

Сорт винограда	Число проверенных кустов	Урожай с куста, кг			Среднее по группе
		№ куста винограда
		1	2	3
А	3	6	5	7	6	-1	1	3
Б	3	7	6	8	7	0	0	0
В	2	9	7	-	8	1	1	2
Итого	8			Общая средняя	7		2	5

.

Так, из-за того, что виноград разных сортов, урожайность в среднем отклоняется от среднего значения на 0,625 кг.

Находим общую дисперсию:

=0,75+0,625=1,375.

Так, под влиянием всех факторов урожайность отклоняется от среднего значения на 1,375 кг.

Задача 4. Имеются следующие данные о выпуске продукции на одном из предприятий.

Таблица 11 - Исходные данные

Виды продукции	Затраты на производство, тыс. руб.		Произведено, тыс. шт.
	I квартал	II квартал	I квартал	II квартал
А	5 600	5 850	80	90
Б	4 060	4 675	70	85
В	6 500	6 860	100	98

Определить:

1) агрегатный индекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукции и общий индекс затрат на производство;

2) абсолютное изменение затрат на производство - общее и за счет изменения себестоимости единицы продукции и физического объема производства. Сделать выводы.

Решение:

1) Находим агрегатный индекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукции и общий индекс затрат на производство. Для этого строим расчетную таблицу.

Таблица 12 - Расчетная

Виды продукции	Затраты на производство, тыс. руб.		Произведено, тыс. шт.		Расчетные показатели
	I квартал (z0)	II квартал (z1)	I квартал (q0)	II квартал (q1)	z0*q0	z1*q1	z0*q1
А	5 600	5 850	80	90	448000	526500	504000
Б	4 060	4 675	70	85	284200	397375	345100
В	6 500	6 860	100	98	650000	672280	637000
Итого:					1382200	1596155	1486100

Агрегатный индекс себестоимости:

,

где - себестоимость в отчетном и базисном периоде соответственно;  - физический объем производства в отчетном периоде;

Агрегатный индекс физического объема произведенной продукции:

,

где , q₀ - физический объем производства в отчетном и базисном периоде соответственно;  - себестоимость в отчетном периоде;

Агрегатный индекс затрат на производство равен:

.

Таким образом, изменение себестоимости каждого вида продукции увеличили общие затраты производства на 7,4%. Под влиянием изменения объемов производства общие затраты выросли на 7,5%. А под влиянием этих обоих факторов - на 15,4%.

2) Находим абсолютное изменение затрат на производство - общее и за счет изменения себестоимости единицы продукции и физического объема производства.

Общее абсолютное изменение затрат на производство:

=1596155-1382200=213955 млн. руб.

Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения себестоимости, т.е. роль себестоимости в изменении затрат на производство:

 =1596155-1486100=110055 млн. руб.

Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения физического объема производства, т.е. роль физического объема в изменении затрат на производство:

=1486100-1382200=103900 млн. руб.

103900+110055=213955

Таким образом, изменение в себестоимости в большей степени повлияло на изменение общих затрат на производство.

Задача 5. Имеются следующие данные о затратах на производство продукции растениеводства.

Таблица 13 - Исходные данные

Группы сельскохозяйственных культур	Общие затраты на производство, (тыс. руб.) в периоде		Индивидуальный индекс себестоимости
	Базисном (z0*q0)	Отчетном (z1*q1)
Озимые зерновые	223,0	242,0	1,02
Зернобобовые	47,2	49,0	1,05

Вычислить общие индексы затрат на производство, себестоимости и физического объема. Сделать выводы.

Решение:

Для нахождения индексов строим вспомогательную таблицу.

Таблица 14 - Расчетная

Группы сельскохозяйственных культур	Общие затраты на производство, (тыс. руб.) в периоде		Индивидуальный индекс себестоимости (ip)	Расчетные показатели
	Базисном (z0*q0)	Отчетном (z1*q1)		ip*z0*q0	(z1*q1) /ip
Озимые зерновые	223	242	1,02	227,46	237,25
Зернобобовые	47,2	49	1,05	49,56	46,67
Итого	270,2	291		277,02	283,92

Средний арифметический индекс физического объема произведенной продукции:

,

где  - индивидуальный индекс физического объема произведенной продукции; z_0, q₀- себестоимость, физический объем произведенной продукции в базисном периоде соответственно;  - затраты на производство в базисном периоде.

Так, за счет изменения объемов производства общие затраты на производство выросли на 2,5%.

Средний гармонический индекс себестоимости:

,

где  - индивидуальный индекс себестоимости; z_1, q₁- себестоимость, физический объем произведенной продукции в отчетном периоде соответственно; товарооборот (стоимость) реализованной продукции в отчетном периоде.

Так, за счет изменения в себестоимости каждой продукции общие затраты на производство продукции выросли на 2,8%.

Общий индекс затрат на производство:

Изменение затрат под влиянием обоих составит - 5,4%.

Задача 5. Рассчитать:

1) индексы урожайности переменного состава;

2) индекс урожайности постоянного состава;

3) индекс влияния структурных сдвигов. Сделать выводы.

Таблица 15 - Исходные данные

Сельскохозяйственные предприятия	Базисный период		Отчетный период
	Урожайность, ц/га	Посевная площадь, га	Урожайность, ц/га	Посевная площадь, га
1	35	520	38	650
2	20	180	22	160

 

Решение:

Для решения данной задачи также строим вспомогательную таблицу.

Таблица 16 - Вспомогательная

Сельскохозяйст-венные предприятия	Базисный период		Отчетный период		Расчетные показатели
	Урожайность, ц/га (y0)	Посевная площадь, га (s0)	Урожайность, ц/га (y1)	Посевная площадь, га (s1)	y0*s0	y1*s1	y0*s1
1	35	520	38	650	18200	24700	22750
2	20	180	22	160	3600	3520	3200
Итого		700		810	21800	28220	25950

Индекс переменного состава представляет собой соотношение средних уровней изучаемого показателя. Индекс урожайности переменного состава:

.

Индекс постоянного состава отражает изолированное влияние осредняемого показателя у отдельных единиц совокупности. Индекс урожайности постоянного состава:

.

Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры изучаемой совокупности. Индекс структурных сдвигов:

.

Таким образом, общая урожайность выросла на 19% под влиянием изменения структуры посевных площадей. Под влиянием изменения урожайности каждой посевной площади общая урожайность выросла на 8,8%. В целом под влиянием этих обоих факторов урожайность посевов выросла на 11,8%

Задача 6. По имеющимся данным числе умерших в Хабаровском крае за 2000 - 2005 гг. рассчитать: за каждый год:

1) абсолютный пророст (базисный и цепной);

2) темп роста (базисный и цепной);

3) темпы прироста базисный и цепной);

4) абсолютное значение 1% прироста; в целом за период: 5) средний уровень ряда;

6) средний абсолютный прирост;

7) средний темп роста;

8) средний темп прироста. Сделать выводы.

Таблица 17 - Исходные данные

Число умерших, чел.	Год
	2000	2001	2002	2003	2004	2005
	20 745	21 639	22 513	23 290	22 745	23 074

Решение:

Для определения абсолютных приростов, темпов роста и темпов прироста строим расчетную таблицу 18. Показатели, заносимые в таблицу, рассчитываются следующим образом:

1. Абсолютный прирост:

А) цепной:

,

где у_i - уровень ряда динамики за изучаемый период, у_i-1 - уровень ряда динамики за период предшествующий изучаемому;

Б) базисный:

,

где у_о - начальный уровень ряда динамики;

2. Темп роста:

А) цепной:

;

Б) базисный:

;

3. Темп прироста: А) цепной:

 или ;

Б) базисный:

 или ;

4. Абсолютное значение 1% прироста:

 или .

Таблица 18 - Показатели динамики

Год	Число умерших, чел.	Абсолютный прирост		Темп роста, %		Темп прироста, %		Абсолютное значение 1% прироста
		баз.	цепн.	баз.	цепн.	баз.	цепн.
2000	20745	894	894	104,30	104,30	4,309	4,309	207,45
2001	21639	1768	874	108,52	104,03	8,523	4,039	216,39
2002	22513	2545	777	112,26	103,45	12,268	3,451	225,13
2003	23290	2000	-545	109,64	97,66	9,641	-2,340	232,9
2004	22745	2329	329	111,22	101,44	11,227	1,446	227,45
2005	23074	894	894	104,31	104,31	4,309	4,309	207,45
Итого	134006

Далее рассчитываем средние показатели динамики.

1) средний уровень ряда динамики для интервального ряда:

,

где у_i- уровни ряда динамики, n - число уровней ряда динамики;

2) средний абсолютный прирост:

,

где у_n- конечный уровень ряда;

3) средний темп роста:

,

4) средний темп прироста

. =102,1-100=2,1

Так, в среднем за эти годы умирало 22334 человек в год. В среднем количество умерших в год возрастало с каждым годом на 466 человек, или на 2,1%.

Список использованной литературы

1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: учебник / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 565 с.

2. Статистика: учеб.-практ. пособие /под ред. М.Г. Назарова. - М.: КНОРУС, 2006 - 480 с.

3. Теория статистики: учебник /под ред. Г.Л. Громыко. - М.: ИНФРА-М., 2000. - 414 с.