Методы статистических исследований

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ПРАВА И ФИНАНСОВ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По курсу: «Статистика»

Выполнил: студент группы ПФ-176\з

Исаенко В.В.

Проверил: Земцова Е.М.

Челябинск

2008

Задача 1

Для изучения выполнения плана рабочими завода было проведено десятипроцентное выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора. Результаты обследования показали следующее распределение рабочих по проценту выполнения норм выработки:

Выполнение норм, %	Число рабочих, чел.
До 90	4
90-100	16
100-110	40
110-120	30
120-130	10
ИТОГО:

На основании этих данных вычислить:

1)         средний процент выполнения нормы;

2)         моду и медиану;

3)         размах вариаций;

4)         среднее линейное отклонение;

5)         дисперсию;

6)         среднее квадратичное отклонение;

7)         коэффициент вариации, оцените однородность совокупности;

8)         с вероятностью 0,954 возможные пределы, в которых ожидается средний процент выполнения норм выработки по заводу;

9)         с вероятностью 0,954 возможные пределы доли рабочих, выполняющих нормы выработки более, чем на 110%.

Сделать выводы.

Решение:

Перед нами представлен ряд с равными интервалами. Интервал равен 10. И один отрытый интервал «до 90». Так как следующий за открытым интервал равен 10 следовательно при расчетах получим границу верхнего интервала, она будет равна «80-90».

1) Найдем середины интервалов по формуле:

Получаем следующие значения: 85, 95, 105, 115, 125.

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний процент выполнения нормы:

Средний процент выполнения нормы равен 107,6%.

2)Рассчитаем моду:

= 100+10

Таким образом, наиболее часто встречающееся значение процента выполнения нормы равно 107,06%

Рассчитаем медиану:

Подставляем значения:

- нижняя граница медианного интервала «100-110», равная 100;

- величина медианного интервала, равная 10:

 - накопленная частота интервала, предшествующая медианному, равная 20:

Выполнение норм, %	Число рабочих, чел.	Накопленная частота
До 90	4	4
90-100	16	4+16=20
100-110	40	20+40=60
110-120	30	60+30=90
120-130	10	90+10=100
ИТОГО:	100	-

полусумма частот, равная 50:

соответственно полусумма равна 50;

- частота медианного интервала, равная 40.

3) Рассчитаем размах вариаций - разность между самым большим и самым малым наблюдаемыми значениями признака:

R=Xmax – Xmin = 130-80 = 50

4) Рассчитаем среднее линейное отклонение . Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений  и . Так как сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, то все отклонения берутся по модулю.

Формула среднего линейного отклонения для нашего случая:

Найдем середину интервалов, определим произведения значений середины интервалов на соответствующие им веса и подсчитаем сумму их произведений, рассчитаем абсолютные отклонения середины интервалов от средней велечины, вычислим произведения отклонений на их веса и подсчитаем сумму их произведений.

Средняя величина нами рассчитана в первом пункте задания и равна

Выполнение норм, %	Число рабочих, чел.	Середина интервала
А	1	2	3	4	5
До 90	4	85	340	22,6	90,4
90-100	16	95	1520	12,6	201,6
100-110	40	105	4200	2,6	104
110-120	30	115	3450	7,4	222
120-130	10	125	1250	17,4	174
ИТОГО:	100	-	10760	-	792

Рассчитываем среднее линейное отклонение:

Таково в среднем отклонение вариантов признака от их средней величины. Это отклонение по сравнению со средней величиной признака небольшое. Оно отличается от средней на 99,68%. Это свидетельствует о том, что данная совокупность в отношении нашего признака однородна, а средняя – типична.

5) Дисперсия есть не что иное, как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины.

Формула дисперсии для нашего случая:

Рассчитаем данные и заполним таблицу:

Выполнение норм, %	Число рабочих, чел.	Середина интервала
А	1	2	3	4	5
До 90	4	85	340	510,76	2043,04
90-100	16	95	1520	158,76	2540,16
100-110	40	105	4200	6,76	270,4
110-120	30	115	3450	54,76	1642,8
120-130	10	125	1250	302,76	3027,6
ИТОГО:	100	-	10760	-	9524

6)Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от среднего значения и равно корню квадратному из дисперсии:

Степень вариации в данной совокупности невелика, так как средняя величина выполнения нормы равна 107,6%. Это говорит об однородности рассматриваемой совокупности.

7) коэффициент вариации, оцените однородность совокупности:

Так как коэффициент вариации в нашем примере меньше 33% совокупность считается однородной.

8) вычислить с вероятностью 0,954 возможные пределы, в которых ожидается средний процент выполнения норм выработки по заводу.

Для определения заданных пределов нам необходимо рассчитать предельную ошибку выборки по формуле:

 где:

t – коэффициент доверия, для нашего случая равен 2;

 - выборочная дисперсия;

N – численность генеральной совокупности, так как наша выборка десятипроцентная, то N = 1000;

n – численность выборки.

Определим заданные пределы по формуле:

или

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний процент выполнения норм выработки по заводу будет находиться в пределах от 105,75% до 109,45%.

9) с вероятностью 0,954 возможные пределы доли рабочих, выполняющих нормы выработки более, чем на 110%

Согласно результатам обследования, численность таких рабочих составила 40 человек, определим выборочную долю:

Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле:

Предельная ошибка выборки с заданной вероятностью составит:

Определим границы пределов:

или

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для рабочих, выполняющих нормы выработки более, чем на 110% находится в пределах от 0,307 до 0,493%.

Задача 2

Себестоимость продукции завода характеризуется следующими данными:

Изделия	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.		Выработано продукции, тыс. единиц
	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
К-220	12	10	0,9	1,2
СР-1	8	7	6,4	9,3
З-322	12	10	15	15,2

Для завода по трем видам изделий вместе определите:

1)         общий индекс затрат на продукцию;

2)         общий индекс себестоимости продукции;

3)         общий индекс физического объема продукции;

4)         выполните факторный анализ;

Покажите взаимосвязь между индексами (а, б, в).

Решение:

Для выполнения расчетов заполним таблицу:

Изделия	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.		Выработано продукции, тыс. единиц		Затраты на продукцию, млн. руб.
	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
	z0	z1	q0	q1	q0z0	q1z1
К-220	12	10	0.9	1.2	10,8	12
СР-1	8	7	6.4	9.3	51,2	65,1
З-322	12	10	15	15.2	180	152
Итого:	32	27			242	229,1

1)         общий индекс затрат на продукцию:

2)         общий индекс себестоимости продукции:

3)         общий индекс физического объема продукции:

4)         факторный анализ:

Изменение затрат на продукцию ∆zq = ∑z1q1 - ∑z0q0 = 229,1-242 = -12,9 млн. руб.

Влияние фактора себестоимости 1 шт. ∆z = ∑z1q1 - ∑z0q1 = 229,1 – 271,2 = -42,1 млн. руб.

Влияние фактора объема продукции ∆q = ∆zq - ∆z = -12,9 – (- 42,1) = 29,2 млн. руб.

Между индексами а, б и в существует следующая взаимосвязь:

Izq = Iz * Iq = 0.845*1.121=0.947

Задача 3

Динамика средних цен и объема продажи продукта на колхозных рынках 2-х городов характеризуется следующими данными:

Города	Средняя цена 1 кг., руб.		Продано продукта, тыс. кг.
	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
	p0	p1	q0	q1
А	1,2	1,8	200	225
Б	1,5	1,4	220	190

Вычислите:

1)         Индекс цен переменного состава;

2)         Индекс цен постоянного состава;

3)         Индекс цен структурных сдвигов;

4)         Изменение средней себестоимости (в абсолютных величинах) в целом и за счет действий отдельных факторов.

Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.

Решение:

Индекс цен переменного состава рассчитывается по формуле:

Индекс цен постоянного состава рассчитывается по формуле:

Индекс структурных сдвигов рассчитывается по формуле:

Покажем взаимосвязь индексов:

Средняя себестоимость выросла на 19,1%. За счет структурных сдвигов себестоимость увеличилась на 58,1%. Если бы структура реализации продукта по городам не изменилась, средняя себестоимость увеличилась бы на 20,9 %.

Задача 4

Отрасли	Стоимость товарной продукции, млрд. руб.		Фондоотдача, руб.		Стоимость ОФ, руб.
	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
Тяжелая промышленность	584,9	609,9	0,84	0,84	696,30	726,07
Легкая промышленность	119,8	120,9	4,19	4,08	28,59	29,63
Итого:	704,7	730,8	5,03	4,92	724,9	755,7

Провести анализ динамики и факторов изменения фондоотдачи в целом по промышленности.

Решение:

1)         Рассчитаем стоимость ОФ и заполним таблицу.

2)         Фондоотдача в среднем по промышленности:

3)         Для изучения динамики изменения фондоотдачи:

а) найдем индекс переменного состава

б) найдем индекс фиксированного состава

, где

доля стоимости основных фондов каждой отрасли в общем объеме отчетного периода

в) Индекс структурных сдвигов

4)         Факторный анализ

Общее снижение фоноотдачи

В том числе за счет фактороф изменения фондоотдачи в каждой отрасли

Структурных сдвигов в составе основных фондов

Вывод: средняя фондоотдача в целом по промышленности снизилась в 0.995 раз. За счет изменения фондоотдачи в каждой отрасли средняя фондоотдача снизилась в 0.996 раз. За счет изменения структуры основных фондов средняя фондоотдача снизилась в 0.999.

Задача 5

Показатели	База	Отчет
Выручка от реализации продукции в действовавших ценах	3240	3960
Средний годовой остаток оборотных средств	540	594

Определить изменение скорости оборотных средств (дней) в отчетном периоде по сравнению с базисным и сумму средств высвобожденных из оборота вследствие ускорения оборачиваемости. Сделать выводы.

Решение:

Рассчитаем продолжительность одного оборота по формуле:

дн.

дн.

Скорость оборота оборотных средств в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 54-60=-6дн.

Сумма средств высвобожденных из оборота вследствие ускорения оборачиваемости:

Вывод: скорость оборота оборотных средств в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 6 дней и привела к высвобождению из оборота 66 у.е средств.

Задача 6

Выплавка стали характеризуется следующими показателями:

Годы	Производство электроэнергии, млрд. кВт-ч.
1	91,0
2	96,9
3	102,2
4	106,5
5	110,3
6	116,0
7	119,6
8	125,3
9	130,8
10	136,0
11	139,8
12	145,2

Для анализа ряда динамики исчислите:

1) показатели, характеризующие рост выплавки стали: абсолютные приросты, темпы роста и прироста (по годам и к базисному году). Результаты расчетов изложите в табличной форме;

2) средний уровень и среднегодовой темп ряда динамики;

3) покажите взаимосвязь между цепными и базисными показателями;

4) для определения основной тенденции ряда произведите выравнивание ряда динамики с помощью укрупнения интервалов.

Изобразите фактический и выровненный динамические ряды на графике.

Сделайте выводы.

Решение:

1) показатели, характеризующие рост выплавки стали: абсолютные приросты, темпы роста и прироста (по годам и к базисному году).

Годы	Производство электроэнергии	Абсолютный прирост (∆у)		Темп роста, % (Тр)		Темп прироста, % (Тп)
		цепной способ ∆уi = уi – уi-1	к базисному (первому) году ∆уi = уi - уб	цепной способ Тр = уi / уi-1 * 100	к базисному (первому) году Тр = уi / уб * 100	цепной способ Тп = Тр – 1	к базисному (первому) году Тп = Тр – 1
1	91	-	-	-	-	-	-
2	96,9	5,9	5,9	106,48	106,48	6,48	6,48
3	102,2	5,3	11,2	105,47	112,31	5,47	12,31
4	106,5	4,3	15,5	104,21	117,03	4,21	17,03
5	110,3	3,8	19,3	103,57	121,21	3,57	21,21
6	116	5,7	25	105,17	127,47	5,17	27,47
7	119,6	3,6	28,6	103,1	131,43	3,1	31,43
8	125,3	5,7	34,3	104,77	137,69	4,77	37,69
9	130,8	5,5	39,8	104,39	143,74	4,39	43,74
10	136	5,2	45	103,98	149,45	3,98	49,45
11	139,8	3,8	48,8	102,79	153,63	2,79	53,63
12	145,2	5,4	54,2	103,86	159,56	3,86	59,56

2) Средний уровень ряда уср = (у1+у2+у3+у4+у5+у6+y7+y8+y9+y10+y11+y12) / 12 = (91+96,9+102,2+106,5+110,3+ 116+119,6+125,3+130,8+136+139,8+145,2) / 12 = 118.3.

Средний темп роста ряда динамики определяется по формуле

или 104,3%

Средний темп прироста рассчитывается по формуле:

3) взаимосвязь между цепными и базисными показателями

а)

т.е.

б)

4) Выравнивание ряда динамики с помощью укрупнения интервалов проведем с помощью трехчленной скользящей средней.

96.7, 101.9, 106.3, 110.9, 115.3, 120.3, 125.2, 130.7, 135.5, 140.3.

Первую скользящую среднюю отнесем ко второму году, десятую отнесем к одиннадцатому году.

В результате укрупнения интервалов общая тенденция роста выступает отчетливо. В среднем ежегодно выплавлялось стали 101,4 млн.т. Каждый год объем выплавки увеличивался в среднем на 4.3%.

Задача 7

В отчетном периоде работа 24 предприятий характеризуется следующими данными:

Данные о работе предприятий в отчетном периоде

Заводы, П/П	Продукция в сопоставимых ценах, млрд. руб.	Стоимость основных производственных фондов, млрд. руб.
1	0,9	0,9
2	2,6	2,5
3	5,5	5,6
4	4,1	4
5	4,9	4,8
6	0,9	1
7	1,3	1,2
8	6,4	5,2
9	2,8	2,5
10	0,8	0,9
11	0,7	0,7
12	4,9	3,9
13	12,1	10,6
14	12,2	11,7
15	11,8	10,7
16	8,5	6,1
17	7,1	7,3
18	2,9	4,1
19	14	10,7
20	4,8	7,3
21	15,7	12,5
22	11,8	8,4
23	16,6	12,7
24	10,2	7,8
Итого:	163,5	143,1

С целью выявления зависимости между стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции произведите группировку заводов по размеру основных фондов, образовав 6 групп заводов с равными интервалами. Результаты представьте в групповой таблице. Сделайте краткие выводы.

Итоговая таблица

№ группы	Группы заводов по размеру ОПФ (интервалы) млн.руб.	Число заводов	Стоимость ОПФ		Стоимость валовой продукции млн.руб.		Фондоотдача
			Всего	В среднем на один завод	Всего	В среднем на один завод
1
2
3
4
5
6
ИТОГО

Исследуйте зависимость между стоимостью продукции (результативный признак – у) и стоимостью основных производственных фондов (факторный признак – х). На основании исходных данных:

1) постройте поля корреляции; составьте корреляционную таблицу, определив число интервалов по правилу Стерджесса; нанесите эмпирическую линию регрессии на поле корреляции и сделайте выводы о возможной форме связи;

2) в целях синтезирования моделей зависимости задайте вид и вычислите параметры уравнения связи, нанесите полученную теоретическую линию регрессии на график;

3) для установления практической значимости полученной модели вычислите возможные показатели тесноты связи (коэффициент детерминации, эмпирическое и теоретическое корреляционные отношения, линейный коэффициент корреляции);

4) оцените надежность полученных коэффициентов, сделайте выводы по п.п. 2, 3 и 4.

5) используя полученную модель, сделайте прогноз стоимости продукции для предприятия со стоимостью основных фондов 14 млрд.рублей.

Решение:

1) Величина интервала i = (xmax –xmin)/n = (12700 – 700) / 6 = 2000 млн. руб.

Фондоотдача = Стоимость валовой продукции / Стоимость ОПФ.

№ группы	Группы заводов по размеру ОПФ (интервалы) млн.руб.	Число заводов	Стоимость ОПФ		Стоимость валовой продукции млн.руб.		Фондоотдача
			Всего	В среднем на один завод	Всего	В среднем на один завод
1	700-2700	7	9700	1385,71	10000	1428,57	1,03
2	2700-4700	3	12000	4000	11900	3966,67	0,99
3	4700-6700	4	21700	5425	25300	6325	1,17
4	6700-8700	4	30800	7700	33900	8475	1,1
5	8700-10700	3	32000	10666,67	37900	12633,33	1,18
6	10700-12700	3	36900	12300	44500	14833,33	1,21
ИТОГО		24	143100	5962,5	163500	6812,5	6,68

Вывод: Между стоимостью ОПФ и валовой продукцией прямая связь, с ростом ОПФ растет и валовая продукция.

Построим поле корреляции по исходным данным задачи.

Составим корреляционную таблицу, определив число интервалов по правилу Стерджесса n = 1 + 3,322 lg24 = 6.

Корреляционная таблица зависимости между стоимостью продукции (у) и стоимостью основных производственных фондов (х)

;

i	Величина ОПФ, млрд. руб.	Середина интервала	Продукция в сопоставимых ценах, млрд. руб.						Всего nxi	Групповая средняя yj
			0,7-3,35	3,35-6,0	6,0-8,65	8,65-11,3	11,3-13,95	13,95-16,6
		xi yj	2,025	4,675	7,325	9,975	12,625	15,275
1	0,7-2,7	1,7	7	-	-	-	-	-	7	2,025
2	2,7-4,7	3,7	1	2	-	-	-	-	3	3,79
3	4,7-6,7	5,7	-	2	2	-	-	-	4	6
4	6,7-8,7	7,7	-	1	1	1	1	-	4	8,65
5	8,7-10,7	9,7	-	-	-	-	2	1	3	13,51
6	10,7-12,7	11,7	-	-	-	-	1	2	3	14,39
	Всего nyj		8	5	3	1	4	3	24
	Групповая средняя xj		1,95	5,3	6,37	7,7	9,7	11,0333

По данным графика и корреляционной таблицы можно сделать вывод, что связь прямая.

2) Так как связь между признаками линейная:

Найдем  и :

Заводы, П/П	Стоимость основных производственных фондов, млрд. руб.(х)	Продукция в сопоставимых ценах, млрд. руб. (y)	x^2	y^2	xy
1	0,9	0,9	0,81	0,81	0,81
2	2,5	2,6	6,25	6,76	6,5
3	5,6	5,5	31,36	30,25	30,8
4	4	4,1	16	16,81	16,4
5	4,8	4,9	23,04	24,01	23,52
6	1	0,9	1	0,81	0,9
7	1,2	1,3	1,44	1,69	1,56
8	5,2	6,4	27,04	40,96	33,28
9	2,5	2,8	6,25	7,84	7
10	0,9	0,8	0,81	0,64	0,72
11	0,7	0,7	0,49	0,49	0,49
12	3,9	4,9	15,21	24,01	19,11
13	10,6	12,1	112,36	146,41	128,26
14	11,7	12,2	136,89	148,84	142,74
15	10,7	11,8	114,49	139,24	126,26
16	6,1	8,5	37,21	72,25	51,85
17	7,3	7,1	53,29	50,41	51,83
18	4,1	2,9	16,81	8,41	11,89
19	10,7	14	114,49	196	149,8
20	7,3	4,8	53,29	23,04	35,04
21	12,5	15,7	156,25	246,49	196,25
22	8,4	11,8	70,56	139,24	99,12
23	12,7	16,6	161,29	275,56	210,82
24	7,8	10,2	60,84	104,04	79,56
Итого:	143,1	163,5	1217,5	1705,01	1424,51

 и

Уравнение регрессии имеет вид:

Для нанесения теоретической линии на график определим 2 пары точек:

 

3) Показатели тесноты связи

а) линейный коэффициент корреляции

Теснота связи очень высокая.

б) эмпирическое корреляционное отношение

 где

- межгрупповая диспрсия результативного признака

- общая дисперсия результативного признака

Межгрупповая дисперсия:

 где

- среднее значение результативного признака в соответствующих группах

- общая средняя результативного признака

- число наблюдений в соответствующей группе

№ группы	Группы заводов по размеру ОПФ (интервалы) млрд.руб.	Число заводов	Стоимость валовой продукции млрд.руб.
1	0,7-2,7	7	1,43	-5,38	28,9444	202,6108
2	2,7-4,7	3	3,97	-2,84	8,0656	24,1968
3	4,7-6,7	4	6,33	-0,48	0,2304	0,9216
4	6,7-8,7	4	8,48	1,67	2,7889	11,1556
5	8,7-10,7	3	12,63	5,82	33,8724	101,6172
6	10,7-12,7	3	14,83	8,02	64,3204	192,9612
ИТОГО		24	6,81			533,4632

;

0,9	-5,91	34,9281
2,6	-4,21	17,7241
5,5	-1,31	1,7161
4,1	-2,71	7,3441
4,9	-1,91	3,6481
0,9	-5,91	34,9281
1,3	-5,51	30,3601
6,4	-0,41	0,1681
2,8	-4,01	16,0801
0,8	-6,01	36,1201
0,7	-6,11	37,3321
4,9	-1,91	3,6481
12,1	5,29	27,9841
12,2	5,39	29,0521
11,8	4,99	24,9001
8,5	1,69	2,8561
7,1	0,29	0,0841
2,9	-3,91	15,2881
14	7,19	51,6961
4,8	-2,01	4,0401
15,7	8,89	79,0321
11,8	4,99	24,9001
16,6	9,79	95,8441
10,2	3,39	11,4921
163,5		591,1664

Общая дисперсия

в) коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации показывает, что 90,2% колеблемости результативного признака объясняется колеблемостью факторного признака.

г) теоретическое корреляционное отношение

где - сумма квадратов вследствие регрессии

- общая сумма квадратов

4) Оценка надежности полученных коэффициентов

где - средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции

t – коэффициент доверия

t = 2,56 при вероятности 0,9895

76,3 > 2.56

Рассчитанные коэффициенты тесности связи надежны с вероятностью 0.9895.

5) Модель тренда имеет вид:

Сделаем прогноз стоимости продукции для стоимости ОПФ 14 млрд. руб.

Т.е. при стоимости ОПФ 14 млрд. руб. объем валовой продукции составит 16,7 млрд. руб.