Финансовая математика

Задание 1

Правило торговца.

Кредит в Z = 15 000 руб. выдан на N = 10 месяцев под i = 10% годовых. Договор предусматривает погашение двумя промежуточными платежами. Первая выплата в сумме R1 = 600 руб. производится через n1 = 6 месяцев, вторая выплата в сумме R2 = 9 000 руб. - через n2 = 9 месяцев. Найти выплату в конце срока кредита.

Решение.

Продолжительность кредита в долях года равна

T =10/12=5/6.

Тогда долг (кредит с процентами) составит 15 000(1 + 0,1⋅0,83) = 16 245.

Интервал времени (в долях года) от момента первого платежа до окончания срока кредита

t1 =(10-6) /12=1/3.

Сумма первого платежа с процентами равна

R1=(1+ i t1) = 600(1+0,1·1/3) =620.

Остаток долга после первого платежа будет равен

Z1 = 16245-620=15625.

Интервал времени (в долях года) от момента второго платежа до окончания срока кредита

t2 =(10-9) /12=1/12.

Сумма второго платежа с процентами равна

R2=(1+ i t2) =9000(1+0,1·1/12) =9075.

Остаток долга будет равен

Z2 = 15625-9075=6550.

Отсюда следует, что в конце срока кредита погашающий платеж равен

R3= 6550 руб.

Таким образом, заемщиком будет выплачена сумма

R1+ R2+R3= 600+9000+6550=16150 руб.

При этом его долг кредитору составляет 16 245 руб.

Задание 2

Клиент получил ссуду Р = 200000 руб. сроком на n = 8 лет под 6% процентов годовых. Погашение кредита производится в конце каждого года равными долями.

Вычислить размер ежегодного платежа и его разбиение на погашение основного долга и погашение процентов. Вычисления по формулам проверить с помощью функций ПЛТ, ОСПЛТ, ПРПЛТ.

Решение.

Клиент должен каждый год выплачивать банку сумму

R=P∙ i/(1-(1+i) - n) =200000∙0,06/(1-(1+0,06) - 8) =32207, 19

Этот ответ можно получить, используя таблицу коэффициентов приведения a(i,k),

R=P/(a(6%,8)) =200000/6, 20979=32207, 19

найдем выплаты по процентам и основного долга в конце первого года, т.е. при j = 1, Z0 = P = 200 000:

D1 = i·Z0 = 0,06·200 000 = 12 000,B1 = R - D1 = 32207,19 - 12000 =20207, 19.

Тогда остаток долга в конце первого года будет равен

Z1 = Z0 - B1 = 200 000 - 20207,19 = 179792,81.

В конце второго года, т.е. при j = 2 выплаты по процентам

D2 = i·Z1 = 0,06·179792,81 ≈ 10787,57,выплаты основного долга

B2 = R - D2 = 32207,19 - 10787,57 = 21419,62.

Тогда остаток долга в конце второго года будет равен

Z2= Z1 - B2 = 179792,81 - 21419,62 = 158373, 19.

В конце третьего года, т.е. при j = 3 выплаты по процентам

D3= i·Z2 = 0,06·158373,19 ≈ 9502,39,

выплаты основного долга

B3 = R - D3 =32207,19 -9502,39= 22704,8.

Тогда остаток долга в конце третьего года будет равен

Z3 = Z2 - B3 = 158373,19 - 22704,8 =135668,39.

В конце четвертого года, т.е. при j = 4 выплаты по процентам

D4 = i·Z3 = 0,06·135668,39 =8140,10,выплаты основного долга

B4 = R - D4 =32207,19 -8140,10= 24067,08.

Тогда остаток долга в конце четвертого года будет равен

Z4 = Z3 - B4 = 135668,39 - 24067,08 = 111601,31.

В конце пятого года, т.е. при j = 5 выплаты по процентам

D5 = i·Z4 = 0,06·111601,31 =6696,08,выплаты основного долга

B5 = R - D5 =32207,19 -6696,08= 25511,11.

Тогда остаток долга в конце пятого года будет равен

Z5 = Z4 - B5 = 111601,31 - 25511,11 = 86090,2.

В конце шестого года, т.е. при j = 6 выплаты по процентам

D6 = i·Z5 = 0,06·86090,2 =5165,41,выплаты основного долга

B6 = R - D6 =32207,19 -5165,41= 27041,78.

Тогда остаток долга в конце шестого года будет равен

Z6 = Z5 - B6 = 86090,2 - 27041,78= 59048,42.

В конце седьмого года, т.е. при j = 7 выплаты по процентам

D7 = i·Z6 = 0,06·59048,42=3542,91,выплаты основного долга

B7 = R - D7 =32207,19 -3542,91= 28664,28.

Тогда остаток долга в конце седьмого года будет равен

Z7 = Z6 - B7 = 59048,42 - 28664,28= 30384,14.

В конце восьмого года, т.е. при j = 8 выплаты по процентам

D8 = i·Z7 = 0,06·30384,14 =1823,05,выплаты основного долга

B8 = R - D8 =32207,19 -1823,05= 30384,14.

Тогда остаток долга в конце восьмого года будет равен

Z8 = Z7 - B8 = 30384,14 - 30384,14= 0.

Теперь проверим вычисления с помощью функций ПЛТ, ОСПЛТ, ПРПЛТ

кредит	200 000,00
срок	8		ежегодная выплата R
проц ставка	6%		-32 207, 19р.
	год	основные Bi	проценты Di	остатки долга Zi
	0			200 000,00
	1	-20 207, 19р.	-12 000,00р.	179 792,81р.
	2	-21 419,62р.	-10 787,57р.	158 373, 19р.
	3	-22 704,80р.	-9 502,39р.	135 668,39р.
	4	-24 067,08р.	-8 140,10р.	111 601,31р.
	5	-25 511,11р.	-6 696,08р.	86 090, 20р.
	6	-27 041,78р.	-5 165,41р.	59 048,42р.
	7	-28 664,28р.	-3 542,91р.	30 384,14р.
	8	-30 384,14р.	-1 823,05р.	0,00р.

Задание 3

Проект рассчитан на два года и требует инвестиции в I0 = $ 15 000. В конце первого года доход составит R1= $ 7 000, а в конце второго года - R2= $ 12 000.

Найти при заданной ставке приведения i=10%:

1) чистый приведенный доход NPV;

2) чистый наращенный доход NFV;

3) cрок окупаемости без учета и с учетом времени;

4) внутреннюю ставку дохода.

Вычисления по формулам проверить помощью функций ЧПС и ВСД.

Решение.

Из формулы при n = 2, i = 10% найдем чистый приведенный доход n

NPV=∑ * Rk / (1+i) k-I0

k=1

NPV=7000/1,1+12000/1,12-15000=6363,64+9917,36-15000=1281

или NPV=R1*v(10%,1) +R2*v(10%,2) - I0

=7000*0,909091+12000*0,826446-15000=6363,64+9917,36-15000=1281

Заметим, что величина $ 6363,64 соответствует современной стоимости $ 7 000, а величина инвестиции $ 9 917,36 соответствует современной стоимости $ 12 000.

NFV = (1+i) 2 ·NPV = 1,12 · 1281 = 1550,01

Найдем срок окупаемости без учета времени по формуле

R1+R2+…+R [nok] +R [nok] +1=I0,

что приводит к уравнению

7000 + 12000x = 15 000.

Отсюда дробная часть срока окупаемости

x=7000/12000=0,58

Срок окупаемости равен 1 + x = 1,58.

Срок окупаемости с учетом времени по формуле:

v(i,1) R1+v(i,2) R2+…+v(i, [nok]) R [nok] +xv(i, [nok] +1) R [nok] +1=I0

приводит к уравнению

7000/1,1+12000/1,12x=15000; 7000*v(10%,1) +12000*v(10%,2) x=15000;

6363,64+9917,36x=15000; x=(15000-6363,64) /9917,36=0,87

Срок окупаемости с учетом времени поступления доходов равен 1,87.

Внутреннюю ставку дохода по определению находим из решения уравнения относительно i.

7000/(1+i) +12000/(1+i) 2=15000 или

15000х2-7000х-12000=0

где x = 1 + i. Сокращая на 1000, получим квадратное уравнение

15x2 - 7x - 12 = 0.

Положительный корень этого уравнения x1= 1,1577

Отсюда находим, что внутренняя ставка дохода

IRR = x1- 1 = 1,1577 - 1 =0,1577.

Вычисления по формулам проверим в Excel с помощью функций ЧПС и ВСД.

	Исходные данные
ставка приведения	инвестиции	доходы
		в конце 1 года	в конце 2 года
10%	-15 000,00р.	7000	12000
	Решение
приведенные доходы	16 280,99р.
чистый приведенный доход	1 280,99р.
внутренняя ставка дохода	16%

Задание 4

На финансовом рынке может сложиться одна из четырех ситуаций A1, A2, A3, A4.

В условиях полной неопределенности инвестор выбирает из четырех финансовых операций F1, F2, F3, F4. Доходы инвестора определяются матрицей

 

Определить оптимальный выбор финансовой операции по критериям Вальда и Сэвиджа.

1. Оптимальный выбор финансовой операции по критерию Вальда.

Найдем наихудший исход каждой финансовой операции, т.е. определим наименьшее число в каждой строке матрицы доходов:

a1= 14, a2= 8, a3= 11, a4= 12.

Согласно правилу Вальда, наибольшее среди найденных чисел определяет оптимальный доход. Следовательно, оптимальный доход равен 14, и он гарантируется выбором финансовой операции F1.

2. Оптимальный выбор финансовой операции по критерию Сэвиджа.

Сначала получим из матрицы доходов матрицу рисков. Для этого в каждом столбце матрицы доходов найдем наибольшее число

b1=17, b2=18, b3=18, b4=17.

Вычитая из наибольшего значения столбца все его элементы, получаем столбец матрицы рисков. Следовательно, матрица рисков имеет вид

Q=

Найдем наихудший исход каждой финансовой операции, т.е. определим наибольший риск в каждой строке матрицы рисков:

q1= 4, q2= 9, q3= 7, q4= 6.

Согласно правилу Сэвиджа наименьшее среди найденных чисел определяет оптимальный доход. Следовательно, оптимальный доход равен 4, и он гарантируется выбором финансовой операции F1.