Теория оболочек

Введение. Основные определения

Конструктивные формы современных машин и сооружений чрезвычайно разнообразны. Выбор формы детали, узла или сооружения определяется многими факторами: их назначением, условиями работы, технологией изготовления, стоимостью, а также методами расчета. Одним из самых распространенных типов современных и перспективных конструкций являются тонкостенные оболочки. Тонкие пластины и оболочки находят исключительно широкое применение в конструкции самых разнообразных инженерных сооружений. По этой причине создание надежных совершенных конструкций непосредственно зависит от уровня развития теории тонких пластин и оболочек.

Тонкая оболочка может быть определена как тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами. Таким образом, для оболочечных конструкций характерна тонкостенность.

К оболочкам относятся, в частности, тонкостенные пространственные системы, очерченные по криволинейным поверхностям. Оболочки способны выдерживать разнообразные виды нагрузок и обеспечивать изоляцию от окружающей среды. Им можно придать обтекаемую форму и на их основе получить относительно легкие конструкции, что имеет огромное значение в авиакосмической промышленности

Снижение материалоемкости конструкции - важный фактор для многих машин и агрегатов. Выгодно это и в строительных сооружениях. Оболочки позволяют эффективно решать проблему минимизации массы.

В настоящее время оболочки можно видеть повсюду. Высотные здания и телебашни, спортивно-концертные комплексы, крытые стадионы и рынки, цистерны и резервуары, трубопроводы и градирни, самолеты и ракеты, надводные и подводные корабли, автомобили в существенной части состоят из оболочек. Транспортные конструкции характеризуются не только возможностью достижения высоких скоростей, аэродинамическим совершенством форм, грузоподъемностью. Они воплощают также идеи оптимальности, экономичности, весового совершенства.

Оболочки как элементы конструкций известны давно. Это и паровой котел, и водопровод в древнем Риме. С давних времен известны емкости для хранения жидкостей и зерна, криволинейные своды перекрытий в строительстве. Но решающую роль в самых различных областях современной техники оболочки стали играть последние несколько десятилетий.

Термин "оболочка" относится к числу перегруженных и в него можно вкладывать разный смысл. Далее под оболочками понимаются конструкции, способные выполнять силовые, эксплуатационные, технологические, архитектурные и эстетические функции.

При математическом моделировании с понятием оболочки в первую очередь связывается представление о геометрической поверхности. В механике деформируемого твердого тела и строительной механике классификация объектов (тел) основана на особенностях их формы и соотношении характерных размеров.

Принято различать и выделять элементы конструкций, один размер которых намного больше двух других. Это стержни, кольца, арки. Тела, у которых один размер намного меньше остальных, образуют класс оболочек и пластин.

Основная проблема теории тонких упругих оболочек состоит в сведении трехмерной задачи теории упругости к двумерной задачи. Таким образом, развитие общей теории тонких упругих пластин и оболочек идет по пути сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным. Для решения этой проблемы предложено большое число методов, которые по классификации С.А. Амбарцумяна могут быть объединены в три группы: метод гипотез, метод разложения общих уравнений теории упругости по толщине оболочки и асимптотический метод. Все эти методы интенсивно развиваются, дополняя друг друга.

Список обозначений

a₁, a₂ - криволинейные ортогональные координаты срединной поверхности S_o оболочки на линиях главных кривизн; для оболочки вращения a₁ ─ продольная, a₂-окружная координаты; z ─ координата по нормали  к S;

А₁, А₂ -коэффициенты Лямэ; k₁, k₂ -главные кривизны;

U, V, W - компоненты вектора перемещений произвольной точки оболочки;

u, v, w - компоненты вектора перемещений точек поверхности S_o;

q ₁, q₂ - углы поворота нормали ;

e_jk - компоненты тензора деформаций;

E₁₁, E₂₂, E₁₂ - компоненты тангенциальной деформации на S: растяжения-сжатия по направлениям координат a₁ и a₂ и сдвиг;

K₁₁, K₂₂, K₁₂ - компоненты изгибной деформации: изменения главных кривизн и кручение;

T₁₁, T₂₂, S - тангенциальные внутренние усилия, приведенные к S_o: усилия растяжения-сжатия и сдвига;

M₁₁, M₂₂, H - изгибающие и крутящий моменты;

Q₁₁, Q₂₂ - перерезывающие силы;

q₁, q₂, q₃ - компоненты внешней поверхностной нагрузки, приведенные к S;

E, n - модуль Юнга и коэффициенты Пуассона материала оболочки;

y_j -унифицированные обозначения основных независимых переменных в разрешающих системах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

f_j - операторы правых частей канонических систем ОДУ;

Рассмотрим элемент произвольной тонкой оболочки, пусть в дальнейшем

h - толщина оболочки, принимаемая в дальнейшем постоянной.

Обозначим через R₁, R₂- главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки S. R=min {R₁, R₂}.

Основным геометрическим параметром оболочки является параметр тонкостенности или относительная толщина, определяемый отношением e=h/R.

Принята достаточно условная классификация оболочек по ее толщине на тонкие, средней длины и толстые оболочки.

Будем считать оболочку тонкой, если ее относительная толщина значительно меньше единицы. Обычно оболочки считают тонкими при значении e<1/20. Значения 1/20 < e < 1/10 соответствуют оболочке средней толщины, а e > 1/10 - толстой оболочке.

Для незамкнутых оболочек можно задать характерный размер размер a. Тогда параметр тонкостенности можно определить как e = min (h/a, h/R).

Поверхность оболочки S, равноотстоящая от лицевых поверхностей S₊ и S _- называется ее срединной поверхностью.

 

Криволинейные, ортогональные системы координат

Правило дифференцирования базисных векторов криволинейной ортогональной системы координат определяется следующим образом:

 

e_s,t = - (H_t,s /H_s) e_t - d_stÑH_t

Ñ = e_m (…),_m / H_m

Здесь H_{m -} параметры Ляме координатной системы, имеющие вид

 

= (r_{, i}) ²; Hi = ½r_{, i}½.

 

Здесь r_{, I -} радиус - вектор произвольной точки тела оболочки. В частности:

e_1,1 = (H_1,1/H₁) e₁ - (H_1,1/H₁) e₁ - (H_1,2/H₂) e₂ - (H_1,3/H₃) e₃

e_1,2 = (H_2,1/H₁) e₂; e_3,2 = (H_2,3/H₃) e₂; H_i (a₁, a₂, a₃)

Запишем условие совместности, которое в принятых обозначениях имеет вид:

(e_1,1),₂ = (e_1,2),₁

₍e_1,2),₁ = ( (H_2,1/H₁) e₂),₁ = (H_2,1/H₁),₁ e₂ + (H_2,1/H₁) (H_1,2/H₂) e₁;

(e_1,1),₂ = - [ (H_1,2/H₂) e₂ + (H_1,3/H₃) e₃],₂ =

= - (H_1,2/H₂),₂ e₂ + (H_1,2/H₂) ( (H_2,1/H₁) e₁+ (H_2,3/H₃) e₃) -

(H_1,3/H₃),₂ e₃ - (H_1,3/H₃) (H_2,3/H₃) e₂

Тогда, приравнивая коэффициенты при базисных векторах, получим:

e₁: (H_2,1H_1,2) / (H₁H₂) - (H_2,1H_1,2) / (H₁H₂) º 0 - тождество

e₂: (H_2,1/H₁),₁ + (H_1,2/H₂),₂ + (H_1,3 × H_2,3) / = 0

e₃: (H_1,2 × H_2,3) / (H₂H₃) - (H_1,3/H₃),₂ = 0

Круговая перестановка индексов приводит к шести уравнениям совместности параметров Ляме.

 

Некоторые сведения из теории поверхностей

Рассмотрим произвольную гладкую поверхность и систему декартовых координат x, y, z.

Пусть r = r (a₁, a₂) - радиус-вектор произвольной точки срединной поверхности оболочки. Рассмотрим производные r по переменным a₁ и a₂

 

r_,1 = r_1; r_,2 = r₂

Введем в рассмотрение базис

 

r₁ /½r₁½= e₁ r₂ /½r₂½= e₂

 

и обозначим ½r_a½ = A_a на срединной поверхности S (a₃ =0). В этом случае r_i = A_i e_i

Составим скалярные произведения:

 

r_a× r_b =G_ab; G₁₁ =; G₂₂ =

G₁₂ = G₂₁ = 0 для ортогональной системы координат

При этом образуется тензор второго ранга = G_ab r_a r_b, который называется первым фундаментальным тензором поверхности.

ds² = (dr) ² = (r_,1 da₁ + r_,2 da₂) ² =

= (r₁da₁ + r₂ da₂) ² = G₁₁d + 2G₁₂ da₁da₂ +C₂₂ d =

= d + d;

Коэффициенты А₁ и А₂ являются коэффициентами первой квадратичной формы и называются параметрами Ляме. Первая квадратичная форма определяет так называемую внутреннюю геометрию поверхности и определяет метрику поверхности. Введем в рассмотрение единичный вектор внешней нормали к поверхности N. Запишем очевидное соотношение N × N =1 и продифференцируем его по a₁, a₂:

2N × N_{, i} = 0; очевидно, вектор N_{, I} лежит в касательной плоскости к поверхности S и может быть представлен в виде разложения N_{, i} = B_ij r_j.

При этом вводится в рассмотрение тензор второго ранга

= B_ab × r_a × r_b,

являющийся вторым фундаментальным тензором поверхности, а его компоненты B_{ab -} коэффициентами второй квадратичной формы поверхности, определяющей внешнюю геометрию поверхности.

В главных осях тензор может быть записан в виде:

= = k₁e₁e₁ + k₂e₂e₂

k₁ = 1/R₁; k₂ = 1/R₂ –

главные кривизны

В дальнейшем координатные линии выбираются вдоль главных осей кривизны. Пусть в дальнейшем

I₁ = k₁ + k₂ - первый инвариант (средняя кривизна)

I₂ = k₁ × k₂ - второй инвариант (гауссова кривизна)

 

Специальная система координат в теории оболочек

 

N = e₁ ´ e₂

Для любой точки тела оболочки:

r (a₁,a₂,a₃) = r (a₁,a₂) + a₃N

 = (r_{, i}) ² = (r_{, i} + (a₃N), i) ² = (r_i + a₃B_ij r_j) ² (B₁₂ = B₂₁ =0)

= (r₁ + a₃ N_,1) ² = (r₁ + a₃ × B₁₁ r₁) ² =  (1 + a₃k₁) ²

H₁ = A₁ (1 + a₃k₁); H₂ = A₂ (1 + a₃k₂); (½r_i½= A_i)

 = N × N = 1 ® H₃ = 1 –

параметры Ляме в специальной системе координат

 

Соотношения Гаусса и Кодацци

Уравнения совместности параметров Ляме:

(H_2,1/H₁),₁ + (H_1,2/H₂),₂ + (H_1,3× H_2,3) /= 0

(H_1,2 × H_2,3) / (H₂H₃) - (H_1,3/H₃),₂ = 0

В специальной системе координат

H_b = A_b (1 + a₃k_b); H₃ = 1 (b = 1,2)

Рассмотрим срединную поверхность a₃ = 0

(A_2,1/A₁),₁ + (A_1,2/A₂),₂ + k₁A₁ k₂A₂ = 0 –

соотношение Гаусса.

A_1,2 k₂ - (A₁k₁),₂ = 0, (A₁k₁),₂ = A_1,2 k₂

при замене индексов получаем два соотношения Кодацци

(A₂k₂),₁ = A_2,1 k₁

Вектор перемещений

u = R - r = u₁e₁ + u₂e₂ + u₃e₃

 

R - текущая конфигурация

r - отсчетная конфигурация

 

u_{, i} = (u_ke_k), i = (u_k), ie_k + u_k (e_k), i

Дифференцирование ортов в специальной системе координат

e_1,1 = - e₂ (H_1,2/H₂) - e₃ (H_1,3/H₃) = - e₂ 1/ (A₂ (1 + a₃k₂)) × [A₁ (1 + a₃k₁)],₂ -

e₃ × [A₁ (1 + a₃k₁)],₃ = - e₂ 1/ (A₂ (1 + a₃k₂)) [A_1,2 + a₃ (A₁k₁),₂] - e₃ A₁k₁ =

= - e_{2 (}A_1,2 (1 + a₃k₂)) / (A₂ (1 + a₃k₂)) - e₃ A₁k₁ =

= - e₂ (A_1,2/A₂) - e₃ A₁k₁;

e_1,2 = e₂ (H_2,1/H₁) = e₂ 1/ (A₁ (1 + a₃k₁)) [A_2,1 + a₃ (A₂k₂),₁] =

= e_{2 (}A_2,1 (1 + a₃k₁)) / (A₁ (1 + a₃k₁)) = e₂ (A_2,1/A₁);

e_1,3 = e_{3 (}H_3,1/H₁) = 0 (т.к H₃ = 1)

e_2,1 = e₁ (A_1,2/A₂) - получаем из e_1,2 заменой (1«2)

e_2,3 = e_{3 (}H_3,2/H₂) = 0 e_3,2 = e_{2 (}H_2,3/H₃) = e₂ A₂k₂

e_3,1 = e_{1 (}H_1,3/H₃) = e₁ A₁k₁ e_3,3 = 0 (H₃ = 1)

 

Удлинения, сдвиги и повороты элемента сплошной среды

а) Рассмотрим удлинения

dr - в отсчетной конфигурации, dR - в текущей конфигурации

dR = dr × ; R (= e_k (…),_k / H_k)

R = r + u

 (r + u) = r +u = u

Рассмотрим относительное удлинение

(½dR½-½dr½) /½dr½ = e; ½dR½ = dS; ½dr½ = ds;

dS² - ds² = dR × dR - dr × dr = dr ×× dr × - dr × dr =

= dr ××× dr - dr ×× dr = dr (×-×) × dr =

= 2dr × × dr; = 0,5 (× - ) - тензор деформаций Грина

 = 0,5 [ ( +u) ( +u^T) - ] = 0,5 (u +u^T +u×u^T)

dr = e ds ® e = dr /½dr½ - единичный вектор

dS² - ds² = 2ds² e×e^G × e

(dS² - ds²) /ds²= (dS/ds) ² - 1 = 2e×e^G×e

dS/ds = (1 + 2e×e^G×e) ^1/2;

e_e = (dS - ds) /ds = (1 + 2e×e^G×e) ^1/2 - 1 - удлинение

Пусть e = e₁; = (1+2) ^1/2 - 1 = 1 + + … - 1 =  » e₁₁

e = 0,5 (Ñu +Ñu^T) - линейный тензор деформаций Коши.

Деформации сдвига

Выделим два прямолинейных волокна, направление которых определяется единичными векторами m₁ и m₂

dr₁ = m₁ds₁; dr₂ = m₂ds₂;

ds_i= ½dr_i½ - длины элементов волокон до деформаций

Деформации сдвига характеризуется изменением угла q₁₂

cos q₁₂ - cos Q₁₂ = (dr₁× dr₂) / (ds₁× ds₂) - (dR₁× dR₂) / (dS₁× dS₂) =

= m₁ × m₂ - [ (dr₁×× dr₂) / ds₁ (1+e_m1) ds₂ (1+e_m2)] =

= m₁ × m₂ - m₁×× m₂ = m₁× ( - ) × m₂ = - 2m₁×× m₂;

Пусть m₁ = e₁; m₂ = e₂; m₁ × m₂ = 0

cos q₁₂ = 0 0 - cos Q₁₂ = -2

cos Q₁₂ = cos (p/2 - g₁₂) = 2 = sin g₁₂ = g₁₂

g₁₂ - угол сдвига; g₁₂ » e₁₂, если g₁₂ - небольшой

Повороты

Рассмотрим материальное волокно dr = e ds

 

w = (dr ´ dR) / (½dr½×½dR½) - вектор поворота материального волокна

½w½= sin j

w - нормаль, относительно которой происходит поворот

w = (dr ´ (dr×)) / (ds×ds (1 + e_e)) = e ´ (e×) =

= e ´ [e × (u)] = e ´ e + e ´ (e × u) = e ´ (e ×u)

Пусть e = e_t - базисные вектора t = 1,2,3

w_t - вектор поворота материального волокна t

w_t = e_t ´ (e_t × u) = e_t ´ (e_t × u_kj e_k e_j) =

u = u_kj e_k e_j= e_t ´ (u_kj d_tk e_j) = e_t ´ u_tj e_j =

= u_tj '_tjk e_k = w_tk e_k = w_t, где w_tk = u_tj '_tjk

'_tjk - символы Леви-Чивита, которые определяются:

СЛЧ = 0, если среди r,s,t есть одинаковые

=+1, если индексы r,s,t - различные ® 123, 231, 312

= -1, если этот порядок нарушается

'_rst = e_r × (e_s ´ e_t)

w_tk характеризует поворот орта t относительно орта k.

Введем тензор второго ранга = w_tk e_t e_k - тензор поворота

w₁₁ = 0; w₁₂ = u_1j '_1j2 = - u₁₃; w₁₃ = u_1j '_1j3 = u₁₂

w₂₁ = u_2j '_2j1 = u₂₃; w₂₂ = 0; w₂₃ = - u₂₁

w₃₁ = u_3j '_3j1 = - u₃₂; w₃₂ = u_3j '_3j2 = u₃₁;

w₃₃ = 0;

Определим компоненты градиента вектора перемещений в специальной системе координат:

(= e_{s (}…),_s / H_s; H_i = A_{i (}1 + a₃k_i) i = 1,2 H₃ = 1

“o” - в дальнейшем опускаем

Ñu = e_s (u₁e₁ + u₂e₂ + u₃e₃),_s / H_s = e_{1 (}u_1,1/H₁) e₁ + e_{1 (}e_1,1 /H₁) u₁ + e_{2 (}u_1,2/H₂) e₁ +

+ e_{2 (}e_1,2 /H_{2 )} u₁ + e_{3 (}u_1,3/H₃) e₁ + e_{3 (}e_1,3 /H₃) u₁ + e_{1 (}u_2,1/H₁) e₂ + e_{1 (}e_2,1 /H₁) u₂ +

+ e_{2 (}u_2,2/H₂) e₂ + e_{2 (}e_2,2 /H₂) u₂ + e_{3 (}u_2,3/H₃) e₂ + e_{3 (}e_2,3 /H₃) u₂ + e_{1 (}u_3,1/H₁) e₃ +

+ e_{1 (}e_3,1 /H₁) u₃ + e_{2 (}u_3,2/H₂) e₃ + e_{2 (}e_3,2 /H₂) u₃ + e_{3 (}u_3,3/H₃) e₃

После подстановки выражений e_k,j (j,k = 1,2,3)

H_i = A_i (1 + a₃k_i) i = 1,2; H₃ = 1

h/2 £ a₃ £ h/2; учитывая, что h/R_i " 1, т.е. оболочка тонкая, получим:

u₁₁ = u_1,1/A₁ + (A_1,2 / (A₁A₂)) u₂ + u₃k₁

u₁₂ = u_2,1/A₁ - (A_1,2 / (A₁A₂)) u₁

u₁₃ = u_3,1/A₁ - u₁k₁

u₂₁ = u_1,2/A₂ - (A_2,1 / (A₁A₂)) u₂

u₂₂ = u_2,2/A₂ + (A_2,1 / (A₁A₂)) u₁ + u₃k₂

u₂₃ = u_3,2/A₂ - u₂k₂

u₃₁ = u_1,3 u₃₂ = u_2,3 u₃₃ = u_3,3

 = 0,5 (Ñu + Ñu^T) Þ e_ii = u_ii

Для удлинений имеем:

e₁₁ = u₁₁; e₂₂ = u₂₂; e₃₃ = u₃₃;

Для деформаций сдвига соответственно:

e₁₂ = 0,5 (u₁₂ + u₂₁) = 0,5 [ (A₂/A₁) (u₂/A₂),₁ + (A₁/A₂) (u₁/A₁),₂]

e₁₃ = 0,5 (u₁₃ + u₃₁) = 0,5 (u_3,1/A₁ + u_1,3 - u₁k₁)

e₂₃ = 0,5 (u₂₃ + u₃₂) = 0,5 (u_3,2/A₂ + u_2,3 - u₂k₂)

Углы поворота определяются через перемещения следующим образом: w_ii = 0

w₁₂ = - u₁₃ = - u_3,1/A₁ + u₁k₁

w₂₁ = u₂₃ = u_3,2/A₂ - u₂k₂; w₁₃ = u₁₂

w₂₃ = - u₂₁ w₃₁ = - u₃₂ = - u_2,3; w₃₂ = u₃₁ = u_1,3.

 

Теория малых удлинений и малых квадратов углов поворота

Рассмотрим тензор нелинейных деформаций Грина:

 = 0,5 (Ñu + Ñu^T + Ñu × Ñu^T) =  + 0,5Ñu × Ñu^T

Его нелинейная часть определяется следующим образом:

Ñu × Ñu^T = u_mn e_m × e_n × u_ij e_j e_i = u_mn u_ij d_nj e_m×e_i =

= u_mn u_in e_m e_i; Þ e_mi = e_mi + 0,5u_mn u_in

Таким образом, компоненты тензора деформаций можно записать в виде:

e₁₁ = e₁₁ + 0,5 ()

e₁₂ = e₁₂ + 0,5 (u₁₁u₂₁ + u₁₂u₂₂ + u₁₃u₂₃)

e₁₃ = e₁₃ + 0,5 (u₁₁u₃₁ + u₁₂u₃₂ + u₁₃u₃₃)

e₂₁ = e₂₁ + 0,5 (u₂₁u₁₁ + u₂₂u₁₂ + u₂₃u₁₃)

e₂₂ = e₂₂ + 0,5 ()

e₃₁ = e₃₁ + 0,5 (u₃₁u₁₁ + u₃₂u₁₂ + u₃₃u₁₃)

e₃₂ = e₃₂ + 0,5 (u₃₁u₂₁ + u₃₂u₂₂ + u₃₃u₂₃)

e₃₃ = e₃₃ + 0,5 ()

e₂₃ = e₂₃ + 0,5 (u₂₁u₃₁ + u₂₂u₃₂ + u₂₃u₃₃)

или, подставляя выражения для углов поворота:

e₁₁ = e₁₁ + 0,5 ()

e₂₂ = e₂₂ + 0,5 ()

e₃₃ = e₃₃ + 0,5 ()

e₁₂= e₁₂ + 0,5 (-e₁₁w₂₃ + e₂₂w₁₃ - w₁₂w₂₁)

e₁₃= e₁₃ + 0,5 (e₁₁w₃₂ - w₁₃w₃₁ - w₁₂w₃₃)

e₂₃= e₂₃ + 0,5 (- w₃₂w₂₃ -e₂₂w₃₁ + e₃₃w₂₁)

(u₂₁ = -w₂₃; u₂₃ = w₂₁; u₃₁ = w₃₂; u₁₂ = w₁₃; u₃₂ = -w₃₁;

u₃₁ = w₃₂; u₁₁ = e₁₁; u₂₂ = e₂₂; u₃₃ = e₃₃)

Введем следующие предположения:

e_ii << 1 - деформации растяжения -сжатия малы

предполагаем, что величины поворотов w₁₃ << 1; w₂₃ << 1, а в отношении остальных величин можно принять, что << 1

w_ij - угол поворота i-го орта относительно j-го орта. Таким образом из соотношений (…) следует:

e₁₁ = e₁₁ + 0,5

e₂₂ = e₂₂ + 0,5

e₃₃ = e₃₃ + 0,5 ()

e₁₂= e₁₂ - 0,5w₁₂ w₂₁

e₁₃= e₁₃ + 0,5 (e₁₁w₃₂ - w₁₃w₃₁ - w₁₂w₃₃)

e₂₃= e₂₃ + 0,5 (- w₃₂w₂₃ -e₂₂w₃₁ + e₃₃w₂₁)

 

Гипотезы Кирхгофа-Лява

Результаты, полученные в предыдущих параграфах, основаны на геометрических и статических соображениях. Однако их недостаточно для полного построения теории оболочек. При выборе соотношений, связывающих компоненты деформаций с перемещениями и усилия и моменты с компонентами деформаций приходится принимать некоторые упрощающие подходы. Первый заключается в том, что оболочку рассматривают как трехмерное упругое тело. Решение соответствующих уравнений теории упругости разыскиваются путем разложения всех величин в ряды по степеням точки оболочки от срединной поверхности. Этот подход, предложенный в теории пластин А. Коши, позволяет при удержании достаточного числа членов (при условии сходимости рядов) получить решение близкое к точному. Этот метод весьма громоздок, поэтому в большинстве случаев идут по другому пути. Во втором подходе предложенном также при построении теории пластин Г. Кирхгоффом принимаются гипотезы, аналогичные тем, которые используются в теории балок:

прямолинейные и нормальные к срединной поверхности волокна недеформированной оболочки остаются прямолинейными и нормальными к деформированной срединной поверхности и не меняют своей длины;

нормальные напряжения на площадках, параллельных площадкам срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с другими напряжениями.

Первая гипотеза имеет геометрический характер, вторая - статический. Теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгоффа, была построена, в основном А. Лявом, поэтому в теории оболочек гипотезы 1 и 2 принято называть гипотезами Кирхгоффа-Лява. Иногда их называют гипотезой жесткой (недеформированной) нормали или гипотезой сохранения нормали.

Гипотеза 1 используется только для записи зависимостей деформации оболочки от перемещений, гипотеза 2 - для записи зависимостей деформаций от напряжений. В первом случае предполагается, что в нормальных сечениях отсутствуют сдвиги e₁₃ = e₂₃ = 0, и поперечные деформации e₃₃ = 0. Во втором случае допускается, что нормальное напряжение s₃₃ незначительно влияет на деформации e₁₁ и e_22, так что эти деформации выражаются через нормальные напряжения s₁₁, s₂₂ и s₃₃ << {s₁₁, s₁₂, s₂₂}. Таким образом гипотезу 1 нельзя понимать в буквальном смысле, поскольку в действительности в оболочках имеют место поперечные сдвиги - поперечные или как их иногда называют перерезывающие силы не равны нулю.

Гипотезы Кирхгоффа-Лява просты и физичны. Они позволяют свести трехмерную задачу определения напряженно-деформированного состояния оболочки к двумерной. Исследование поведения элемента оболочки в рамках этих гипотез сводится к исследованию поведения ее срединной поверхности. Следует отметить, что теория, построенная на гипотезах Кирхгоффа-Лява, является существенно приближенной. Принятие этих гипотез вносит погрешность порядка h/R, где h - толщина оболочки, R - минимальный линейный размер срединной поверхности.

Рассмотрим элемент тонкой оболочки со срединной поверхностью S. До деформирования в исходной конфигурации радиус-вектор произвольной точки оболочки, не лежащей на срединной поверхности может быть представлен в виде:

r (a₁, a₂, a₃) = r (a₁, a₂) + a₃n

 

r (a₁, a₂) - радиус-вектор проекции точки на S до деформации.

После деформирования (в актуальной конфигурации)

 

R (a₁, a₂, a₃) = P (a₁, a₂) + a₃N

 

P (a₁, a₂) - радиус-вектор проекции точки на S после деформации

Тогда вектор перемещений запишется в виде:

 

u = R - r = P - r + a₃ (N - n) = = u° (a₁, a₂) + a₃u¹ (a₁, a₂)

 

u° - вектор перемещений точек, лежащих на S

В координатной форме соответственно:

u₁ =  (a₁, a₂) + a₃ (a₁, a₂)

u₂ =  (a₁, a₂) + a₃ (a₁, a₂)

u₃ =  (a₁, a₂)

При этом компоненты вектора перемещений u₁ и u₂ линейным образом зависят от координаты a_3, а функция поперечногопрогиба постоянна по толщине в силу недеформируемости нормали.

Рассмотрим детальнее геометрическую гипотезу Кирхгоффа-Лява. Тот факт, что нормаль к срединной поверхности S в процессе деформирования остается нормалью приводит к соотношениям:

e₁₃ = 0, e₂₃ = 0

Таким образом

u_3,1/A₁ + u_1,3 - u₁k₁ = 0

/A₁ +  - ( + a₃) k₁ = 0

 (1 - a₃k₁) - k₁ + /A₁ = 0

считая оболочку достаточно тонкой, пренебрегаем членом a₃k₁ << 1

 (a₁, a₂) = -/A₁ + k₁

  (a₁, a₂) = -/A₂ + k₂

w₁₂ = - u_3,1/A₁ + u₁k₁ = -/A₁ + k₁ + a₃k₁=

= - /A₁ + k₁ + a₃k₁ (-/A₁ + k₁) =

= (-/A₁ + k₁) (1 + a₃k₁) =  (1 + a₃k₁) » =

= -/A₁ + k₁ = q₁ (a₁, a₂) - угол поворота на поверхности S.

Аналогично:

w₂₁ = u_3,2/A₂ - u₂k₂ » = /A₂ - k₂ = -  = - q₂ (a₁, a₂)

Обозначим:  = u;  = v; = w тогда можно записать:

u₁ = u + a₃q₁, u₂ = v + a₃q₂, u₃ = w

Введем в рассмотрение плоский вектор перемещений и поворотов:

 

u = ue₁ + ve₂

q = q₁e₁ + q₂e₂

Тензор кривизны в главных осях можно представить в виде:

= k₁e₁e₁ + k₂e₂e₂; k_i = 1/R_i

Окончательно кинематические соотношения, соответствующие теории Кирхгоффа-Лява запишутся в виде:

q = -Ñw + × u Ñ = e_s (1/A_s) (¶/¶s) (s = 1,2)

u (a₁, a₂, a₃) = u₁e₁ + u₂e₂ = u (a₁, a₂) + a₃q (a₁, a₂)

u₃ = w (a₁, a₂)

С учетом проведенных выкладок для компонентов тензора деформаций имеем:

e₁₁ = e₁₁ + 0,5 =  + a₃

= /A₁ + A_1,1 / (A₁A₂)  + k₁ + 0,5

= q_1,1/A₁ + A_1,1 / (A₁A₂) q₂ (w₁₂ = q₁)

e₂₂ = e₂₂ + 0,5

= /A₂ + A_2,1 / (A₁A₂)  + k₂ + 0,5

= q_2,2/A₂ + A_2,1 / (A₁A₂) q₁

e₁₂= e₁₂ - 0,5w₁₂w₂₁ = e₁₂ + 0,5q₁q₂ =  (w₂₁ = -q₂)

 = 0,5 [ (A₂/A₁) (/A₂),₁ + (A₁/A₂) (/A₁),₂] + 0,5q₁q₂

 = 0,5 [ (A₂/A₁) (q₂ /A₂),₁ + (A₁/A₂) (q₁/A₁),₂]

Введем в рассмотрение плоский тензор деформаций

= e₁₁e₁e₁ + e₁₂ (e₁e₂ + e₂e₁) + e₂₂e₂e₂

Он может быть записан в другой форме:

 = + a₃, где

 = e₁e₁ +  (e₁e₂ + e₂e₁) + e₂e₂ (b = 0,1)

Таким образом использование геометрической гипотезы Кирхгоффа-Лява приводит к линейному распределению перемещений и деформаций по толщине оболочки. В компактной форме можно записать:

= 0,5 (Ñu+ Ñu^T) + w + 0,5qq

= 0,5 (Ñq + Ñq^T)

 характеризует деформации растяжения-сжатия срединной поверхности S,  - изменение кривизн и кручение срединной поверхности.

Определение напряженного состояния оболочки

dS = H₂ da₂da₃ = A₂ (1 + a₃k₂) da₂da₃

S₁₁ =  A₂ (1 + a₃k₂) da₃da₂= A₂da₂×

×  (1 + a₃k₂) da₃, A₂da₂ –

длина средней линии.

Введем усилия на единицу длины:

T₁₁ = S_11/ (A₂da₂)  (1 + a₃k₂) da₃

Аналогично:

T₁₂ =  (1 + a₃k₂) da₃;

T₂₂ =  (1 + a₃k₁) da₃;

T₂₁ =  (1 + a₃k₁) da₃

T_ab - усилия растяжения-сжатия в срединной поверхности оболочки. В дальнейшем:

T_ab = da_{3 (}a, b) = 1,2, = T_abe_ae_b = T₁₁e₁e₁ + T₂₂e₂e₂ + T_{12 (}e₁e₂ + e₂e₁)

Введем изгибающие моменты

М_ab = a₃da₃

= M₁₁e₁e₁ + M₂₂e₂e₂ + M_{12 (}e₁e₂ + e₂e₁)

Q_b = da_3, b = 1,2 s_b - перерезывающие силы

Q = Q₁e₁ + Q₂e₂

Свяжем напряженное состояние с ее деформир.:

Замечание о возможности использования линейных физич. соотношений

Материал: однородный, изотропный

Обобщенный закон Гука:

e₁₁ = (1/E) [s₁₁ - n (s₂₂ + s₃₃)] e₁₂ = (1/2m) s₁₂

e₂₂ = (1/E) [s₂₂ - n (s₁₁ + s₃₃)] e₂₃ = (1/2m) s₂₃

e₃₃ = (1/E) [s₃₃ - n (s₁₁ + s₂₂)] e₁₃ = (1/2m) s₁₃

E = 2m (1 + n)

Теория - геометр. нелинейная, но физич. - линейная.

По 2-ой гипотезе Кирхгофа-Лява:

s₃₃ = 0

s₁₁ - ns₂₂ = Ee₁₁ Þ s₁₁ = E / (1-n²) (e₁₁ + ne₂₂)

s₂₂ - ns₁₁ = Ee₂₂ s₂₂ = E / (1-n²) (e₂₂ + ne₁₁)

s₁₂ = 2m e₁₂ E / (1 + n) e₁₂

T₁₁ = da₃ = / (1-n²) (e₁₁ + ne₂₂) da₃ =

= E / (1-n²)

= (Eh) / (1-n²)  - т.к материал - однород.

B = (Eh) / (1-n²) - жесткость на растяж. - cжатие

T₁₁ = B; T₂₂ = B;

T₁₂ = (Eh) (1+n)  = B (1-n)

M₁₁ = =

= E / (1-n²)

= (E) / (1-n²) =

= (Eh³) / (12 (1-n²))

M₁₁ = D, D = (Eh³) / (12 (1-n²)) - жесткость на изгиб (цилиндрическая жесткость)

M₂₂ = D; M₁₂ = D (1-n) .