Передатні функції імпульсних автоматичних систем та оцінка їх якості

1. Передатні функції імпульсних автоматичних систем

Структурні зображення і передатні функції складають основу для інженерних розрахунків імпульсних автоматичних систем. Вони дозволяють у значній мірі полегшити рішення задач дослідження.

Для дослідження динамічних властивостей системи в першу чергу необхідно визначити її передатні функції, що, як відомо, установлюють залежність між вхідним впливом і реакцією системи (ланки). Звичайно в розгляд уводять, як і при дослідженні безупинних систем, такі передатні функції: передатну функцію розімкнутої імпульсної системи і передатну функцію помилки.

Передатною функцією розімкнутої імпульсної системи називається відношення зображень у смислі дискретного перетворення Лапласа вихідного і вхідного імпульсних сигналів при нульових початкових умовах:

Аналогічно визначається ця передатна функція в смислі Z – перетворення:

.

Основне завдання полягає в тому, щоб визначити передатну функцію W(z) по відомій передатній функції приведеної безупинної частини системи W(p). Цю задачу вирішують у такій послідовності:

1. По передатній функції W(p) у результаті застосування зворотного перетворення Лапласа знаходять функцію ваги ПНЧ:

2. По функції ваги ПНЧ w(t) визначають аналітичне вираження для відповідної дискретної функції ваги w(n).

3.  Шукану передатну функцію W(z) одержують як Z - перетворення дискретної функції ваги ПНЧ:

Основна передатна функція замкнутої імпульсної системи дозволяє обчислити реакцію замкнутої системи х_ВИХ(пТ) на вплив, що задає, Хвх(пт). Її визначають, як і в безупинних системах, відповідно до рівняння замикання через дискретну передатну функцію розімкнутої системи:

. (1)

Передатну функцію замкнутої системи завжди можна подати у вигляді відносини двох поліномів щодо перемінної z:

. (2)

Запишемо цей вираз в розгорнутому вигляді:

. (3)

Ліва частина цього рівняння (у дужках) є характеристичний поліном замкнутої імпульсної системи М(z).

У результаті переходу від зображень до оригіналів у формулі (3) легко одержати відповідне різницеве рівняння системи М(z).

Аналогічно можна одержати різницеве рівняння розімкнутої системи по передатній функції W(z).

Передатна функція помилки визначається через передатну функцію розімкнутої системи за формулою

. (4)

Знаючи вплив, що задається, і цю передатну функцію, можна оцінити динамічну точність імпульсної системи – знайти дискретну функцію помилки ε(nT).

Розглянемо конкретний приклад визначення передатних функцій імпульсної системи. Визначимо передатні функції системи, структурна схема якої зображена на рис. 1.

Рисунок 1 – Структурна схема імпульсної системи

Як видно з рисунка, у прямого ланцюзі системи є найпростіший імпульсний елемент (фіксатор) і безупинна частина (інтегруюча ланка).

Передатна функція приведеної безупинної частини:

 .

Дискретну передатну функцію розімкнутої системи знаходимо відповідно до методики, викладеної вище:

. (5)

Різницеве рівняння розімкнутої системи визначаємо, у разі потреби, безпосередньо з (5):

Знаючи W (z), легко знайти основну передатну функцію замкнутої системи:

. (6)

Динамічні процеси в замкнутій імпульсній системі описуються таким різницевим рівнянням, отриманим з (6) шляхом переходу до оригіналів:

 .

2. Оцінка стійкості імпульсної автоматичної системи

Необхідною умовою працездатності імпульсної системи є її стійкість. Відомі з попередніх лекцій основні визначення стійкості безупинних систем застосовні і до імпульсних систем, але з урахуванням ряду особливостей цих систем.

Звернемося до основного формулювання умови стійкості: імпульсна система стійка, якщо її власний рух з часом загасає.

Як уже відзначалося, на практиці часто обмежуються визначенням дискретної функції X_ВИХ(n) на виході системи. Це рішення можна одержати, наприклад, з формули (4) у вигляді суми вільної і змушеної складової:

Таким чином, умову стійкості системи варто записати так:

Оцінку стійкості імпульсної системи, як і безупинної, звичайно роблять на підставі дослідження характеристичного рівняння замкнутої системи, яке одержують з (3):

 (7)

Це алгебраїчне рівняння має m коренів z_i на площині z. Але, оскільки перемінна z з'явилася в зв'язку з підстановкою , то кожен корінь z_i зв'язаний з коренями p_i на площині p залежністю

Легко помітити, що нульовому кореню, наприклад, p₁=0, відповідає корінь z_i=1, а кореням p_t з негативними дійсними частинами відповідають корені:

Тепер можна дати формулювання математичної умови стійкості: імпульсна автоматична система стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння (7) лежать усередині кола одиничного радіуса, побудованого на початку координат комплексної площини z (рис. 1, точки z₁,, z₂,,z₃, z₄, z₅ ).

Якщо хоча б один з коренів лежить на колі з радіусом R = 1, то система знаходиться на межі стійкості (рис. 2, точка z₆).

За наявності коренів система хитлива (рис. 1, точка z₇).

Рисунок 2 – Комплексна площина Z

Визначення коренів характеристичного рівняння (7) при m ³ 3 поєднано з відомими труднощами. Тому на практиці знаходять застосування непрямі оцінки — критерії якості, що дозволяють оцінювати стійкість імпульсних систем без визначення коренів.

До імпульсних систем можна застосувати кожен з відомих критеріїв стійкості безупинних систем. Однак для цього попередньо необхідно зробити білінійне перетворення полінома М(z) у поліном М(w) за формулою

. (8)

Таке перетворення дозволяє відобразити одиничне коло площини Z (рис. 2) у ліву частину комплексної площини p, аналогічну області стійкості безупинних систем на площині p.

До характеристичного рівняння М(w) = 0, що також має порядок т, застосовні алгебраїчні критерії стійкості І. А. Вишнєградского і Гурвіца. Оцінимо стійкість двох конкретних систем.

Приклад 1. Імпульсна система першого порядку має характеристичне рівняння

 .

Після підстановки (8) одержимо

або

Система першого порядку стійка, якщо коефіцієнти її характеристичного рівняння позитивні:

.

Досліджуємо стійкість імпульсної системи з передатною функцією (6) (рис.2).

Характеристичні рівняння цієї системи

Звідси одержуємо дві умови стійкості:

 .

Друга умова розкриває важливу властивість досліджуваного класу систем: стійкість імпульсної системи залежить не тільки від загального коефіцієнта передачі в розімкнутому стані k_v, як це має місце і у безупинних системах, але і від періоду дискретності Т: чим більше Т, тим складніше забезпечити стійкість системи, при незмінному k_v..

Приклад 2. Характеристичне рівняння імпульсної системи другого порядку

Після переходу до перемінного w одержуємо

Система стійка, якщо коефіцієнти її характеристичного рівняння позитивні:

Ці три нерівності дозволяють оцінити стійкість імпульсної системи.

Досліджують стійкість систем третього і вищих порядків за допомогою критерію Гурвіца.

3. Якість процесів у лінійних імпульсних системах

Основні показники якості процесів в імпульсних системах такі ж, як і в безупинних автоматичних системах: час регулювання t_p, величина перерегулювання  і кількість перерегулювань n (показники якості перехідного процесу); точність роботи систем у сталих режимах.

У чому ж особливості дослідження якості імпульсних автоматичних систем?

Оцінюють показники якості перехідного процесу роблять за імпульсною перехідною функцією системи h(пТ) — реакції на одиничну східчасту дискретну функцію Х_вх(пТ) — 1(пТ).

Зображення реакції системи в смислі Z-перетворення знаходять за (1)

Оскільки зображення одиничної дискретної функції

то зображення дискретної перехідної функції імпульсної системи

Як видно з цієї формули, зображення можна подати в загальному випадку у вигляді відношення двох поліномів.

Отже, для того, щоб знайти Н(z), досить знати передатну функцію замкнутої системи Ф(z).

Далі, необхідно по зображенню знайти оригінал h (nТ), тобто здійснити операцію зворотного Z-перетворення. Цю задачу часто вирішують методом розкладання функції в степеневий ряд по негативних ступенях z (діленням полінома чисельника на поліном знаменника). Коефіцієнти отриманого ступеневого ряду дорівнюють дискретним значенням імпульсної перехідної функції в моменти часу t — пТ. Інший метод вимагає розкладання Н (z) на прості дроби.

Розглянемо на прикладі методику оцінки показників якості перехідних процесів імпульсної системи, зображеної на рис. 1, при різних значеннях її параметрів к_v і Т. Зображення перехідної функції системи з урахуванням (8)

 .

1.  При kv=1,5 зображення перехідної функції системи

У результаті ділення чисельника на знаменник знаходимо:

.

Коефіцієнти ступеневого ряду визначають такі значення дискретної перехідної функції-оригіналу:

 і т.д.

Графік перехідної функції для цього випадку зображений на рис. 3, а. Аналіз графіка дозволяє визначити показники якості перехідного процесу: t_p = 5Т сек; s= 50%; п = 4.

Очевидно, що для зменшення величини перерегулювання необхідно зменшувати добуток kv.

Рисунок 3 – Перехідні функції імпульсної системи

2. При к _v T =1 зображення перехідної функції системи

.

Дискрети перехідної функції:

h(0)=0; h(t)=1; h(2T)=1.

З графіка перехідної функції, поданого на рис. 1.б, видно, що при k_v T = 1 у системі має місце оптимальний по швидкодії перехідний процес, оскільки він завершується за один період дискретності Т без перерегулювання.

3. При k_v T =0,5 маємо:

.

Звідси знаходимо:

Графік цієї функції, зображений на рис. 1, в, близький до експоненти. Час регулювання в цьому випадку t_p = 5Тсек.

Проведений аналіз дозволяє зробити важливий висновок про те, що показники якості перехідного процесу імпульсної системи істотно залежать від величини добутку коефіцієнта передачі к_у на період дискретності T.

Точність імпульсної системи оцінюється величиною помилки в сталих режимах. Для розрахунку помилки необхідно знати зображення впливу, що задається, і передатну функцію помилки Ф_f (z). Методика обчислення дискретної функції е (пТ) аналогічна викладеної вище.