Расчет переходных процессов в дискретных системах управления

Предмет:

"Теория автоматического управления"

Тема:

"Расчет переходных процессов в дискретных системах управления"

Рассмотрим схему дискретной системы автоматического управления, приведенную на рис. 1.

Рис. 1

Для выхода системы можно записать следующие соотношения между входным и выходным сигналом

 (1)

Выражение для выходной величины во временной форме имеет вид

 (2)

Определим переходную функцию дискретной системы. Дискретное преобразование единичного воздействия x(t) = 1 (t) равно x(z) = z/(z-1).

Переходную функцию определим из соотношений

 (3)

Получили выражение для расчета переходной функции дискретной системы.

Определим функцию веса дискретной системы. Дискретное изображение единичного импульса x(t) = d(t) равно x(z) = 1.

Весовую функцию определим из соотношений

 (4)

Получили выражение для расчета функции веса дискретной системы.

Установившееся значение временных характеристик можно определить с помощью теоремы о конечном значении дискретной функции.

Для переходной функции

. (5)

Для весовой функции

 (6)

Определим связь между переходной функцией и функцией веса дискретной системы. Для области z можно записать следующие соотношения

Откуда

 (7)

Как следует из выражения (7) функция веса в каждый дискретный момент времени может быть определена как разность между текущим и предыдущим значением переходной функции

Пример 1. Для заданной системы (рис. 2.) рассчитать переходный процесс, если x(t) = 1 (t).

Рис. 2

 

Решение

Выходной дискретный сигнал равен:

При этом

Если x(t) = 1 (t) то . Для  

Подставим x(z) и K (z,e) в выражение для выходного дискретного сигнала

Определим значения полюсов – z_k их число – n и кратность – m: z₁ = 1; n = 1; m = 2.

Выражение для переходного процесса имеет вид:

Пример 2. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 3.), если x(t) = 1 (t).

Решение:

Выходной дискретный сигнал равен:

При этом

.

Если x(t) = 1 (t), то .

Для  

Подставим x(z) и K (z,e) в выражение для выходного дискретного сигнала

Выражение для переходного процесса имеет вид:

Пример 3. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 4), если x(t) = 1 (t).

Рис. 4

 

Решение:

Выходной дискретный сигнал равен:

При этом

Если x(t) = 1 (t), то .

Если , то , где

Подставим x(z) и K (z,e) в выражение для выходного дискретного сигнала

Определим значения полюсов – z_k их число – n и кратность – m:

z₁ = 1; z₂ = d; n = 2; m = 1.

Выражение для переходного процесса имеет вид:

Пример 4. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 5), если x(t) = 1 (t).

Рис. 5

 

Решение:

Выходной дискретный сигнал равен:

При этом

Если x(t) = 1 (t), то .

Передаточная функция соединения равна:

Дискретная передаточная функция соединения равна:

Подставим x(z) и K (z,e) в выражение для выходного дискретного сигнала

Определим значения полюсов – z_k их число – n и кратность – m: z₁ = 1; n = 1; m = 2.

Выражение для переходного процесса имеет вид:

Пример 5. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 6), если x(t) = 1 (t).

Рис. 6

Решение:

Определим передаточную функцию разомкнутой непрерывной части:

Выполним дискретное преобразование:

Передаточная функция замкнутой дискретной системы:

Подставим x(z) и K_з(z,e) в выражение для выходного дискретного сигнала

Определим значения полюсов – z_k их число – n и кратность – m:

z₁ = 1, z₂ = 1 – k_v T = A, n = 2, m = 1.

Выражение для переходной функции имеет вид:

Пример. Для заданной системы (рис. 7) рассчитать переходный процесс, если x(t) = 1 (t), а алгоритм функционирования цифровой части описывается уравнением:

X Y

Рис. 7

Решение: Исходную схему можно представить в виде (рис. 8)

Рис. 8

Определим передаточную функцию разомкнутой непрерывной части

Выполним дискретное преобразование

Определим передаточную функцию цифрового автомата, в соответствии с алгоритмом его функционирования

Определим передаточную функцию разомкнутой дискретной системы:

Передаточная функция замкнутой дискретной системы:

где s₁, s₂ корни характеристического уравнения

при этом s₁+ s₂ = 1+a+k_v T; s₁ s₂ = a.

Подставим x(z) и K_з(z,e) в выражение для выходного дискретного сигнала

Определим значения полюсов – z_k их число – n и кратность – m

z₁=1, z₂=s₁, z₃=s₂, n=2, m=1.

Выражение для переходной функции имеет вид:

Литература

1.  Бронштейн И.Н., Семендяев К.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. – М.: Наука, 1989

2.  Васильев В.И., Ильясов Б.Г. Интеллектуальные системы управления: Теория и практика: Учеб. пособие для вузов. Издательство: Радиотехника, 2009. – 392 с.

3.  Голенцев Э., Клименко С.В. Информационное обеспечение систем управления. ФЕНИКС, 2002. – 350 с.

4.  Долятовская В.Н., Долятовский В.А. Исследование систем управления, 2004. – 255 с.