Теория автоматического управления

1. Анализ устойчивости замкнутой системы   1.1 Анализ устойчивости системы по корням характеристического уравнения

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:

. (1)

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

 (2)

Корни характеристического уравнения (2):

Характеристическое уравнение (2) имеет два правых корня, следовательно, данная замкнутая система неустойчива.

  1.2 Анализ устойчивости системы по алгебраическому критерию

Для характеристического уравнения (2) замкнутой системы коэффициенты a_i, i=0..3,

а₀=0.00008,

a₁=0.0078,

a₂= – 0.03,

a₃=48.

Необходимым условием устойчивости системы является:

a_i>0, i=0..3

Данное условие не выполняется (a₂<0), следовательно, замкнутая система неустойчива.

  1.3 Анализ устойчивости системы по частотным критериям   а) Критерий Найквиста (на комплексной плоскости)

Используя передаточную функцию разомкнутой системы (1) запишем характеристическое уравнение разомкнутой системы:

. (3)

Найдем корни характеристического уравнения (3):

Характеристическое уравнение разомкнутой системы (3) имеет один правый корень, следовательно, разомкнутая система неустойчива.

Построим годограф Найквиста. Для этого определим частотную передаточную функцию разомкнутой системы и ее действительную и мнимую части.

 (4)

 (5)

 (6)

Используя выражения (5) и (6), заполним таблицу:

Таблица 1.3.1

w	0	-	-	∞
P	-48	0	-	0
Q	0	-	0	0

Построим годограф Найквиста (Рис. 1.3.1):

Рис. 1.3.1

Для случая, когда разомкнутая система неустойчива критерий Найквиста звучит следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста охватывал особую точку (; ) в положительном направлении на угол , где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы (3) равно единице (l=1), полученный годограф не охватывает особую точку (-1, j0) на угол lπ=π (годограф охватывает особую точку в направлении по часовой стрелке), следовательно, критерий Найквиста не выполняется и система неустойчива.

б) Критерий Найквиста (на плоскости ЛЧХ)

Построим ЛЧХ заданной системы, для этого определим расчетные выражения для L(w) и φ(w):

 (7)

 (8)

Для построения асимптотической ЛАЧХ найдем параметры:

ЛФЧХ системы также можно построить как геометрическую сумму ЛФЧХ отдельных звеньев системы.

Графики расчетных ЛЧХ, построенные по формулам (7) и (8) изображены на рисунке (1.3.2):

Рис. 1.3.2

 

w_ср(частота среза) – частота, соответствующая пересечению ЛАЧХ с осью lgw;

w_кр(критическая частота) – частота, соответствующая пересечению ЛФЧХ уровня –π;

Система устойчива, если выполняется условие:

w_ср< w_кр

Данное условие не выполняется, следовательно, система неустойчива. Аналогичный вывод можно сделать по асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ системы, построенной как сумма отдельных звеньев, входящих в систему, изображенной на рисунке (1.3.3):

в) Критерий Михайлова

Используя характеристическое уравнение замкнутой системы (2) введем функцию Михайлова:

, где

,

.

Для заданной системы функция Михайлова примет вид:

 (9)

 (10)

Графическое изображение функции Михайлова на комплексной плоскости при  называется годографом Михайлова. Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещественной положительной полуоси и при увеличении частоты до ∞ проходил последовательно в положительном направлении n квадрантов, нигде не обращаясь в ноль.

Используя выражения (9) и (10), заполним таблицу:

Таблица 1.3.3

w	0	77,625	-	∞
X(w)	47	0	-	-∞
Y(w)	0	-39,748	0	-∞

Построим годограф Михайлова (Рис. 1.3.4):

Рис. 1.3.4

Полученный годограф начинается на вещественной положительной полуоси, проходит 2 квадранта в отрицательном направлении, таким образом, критерий Михайлова не выполняется, следовательно, система неустойчива.

 
2. Построение области устойчивости в плоскости параметра К_р

Построим область устойчивости, используя критерий Гурвица.

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы в общем виде:

.

Для конкретного случая характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

 (11)

Для устойчивости системы К_Р должно удовлетворять необходимому условию

Рис. 2.1

Но заметим, что исходный К_Р удовлетворяет этому условию, и его изменением устойчивости замкнутой системы добиться невозможно, т. к. в ХУ ЗС (2.3) а₂<0, и зависит этот коэффициент от постоянных времени.

Построим область устойчивости в плоскости параметра Т₂

Необходимое условие устойчивости:

 

Достаточное условие устойчивости для системы третьего порядка по критерию Гурвица имеет вид:

 

Учитывая все условия:

Рис. 2.2

 
3. Коррекция системы

Для обеспечения устойчивости системы необходимо ввести корректирующее звено с передаточной функцией вида:

Структурная схема скорректированной системы (Рис. 3.1):

Рис. 3.1

Передаточная функция скорректированной разомкнутой системы имеет вид:

 (12)

Определим параметр Т из условия обеспечения минимального запаса устойчивости (L_зап=5 дБ).

Запас по амплитуде определяется на критической частоте – частоте, на которой функция φ(w) принимает значение, равное -π

Расчетное выражение для φ(w):

, отсюда

 (13)

Расчетное выражение для L(w):

 (14)

Подставим найденное выражение Т (13) в функцию L(w) (14):

На критической частоте значение функции L(w), исходя из условия обеспечения минимального запаса устойчивости, должно быть равно не менее 5 дБ.

Из данного выражения найдем w_кр

w_кр=308,4185, следовательно,

Т=0,001198

Анализируя данное значение и область устойчивости, найденную в п. 2, можно сделать вывод, что введение корректирующего звена с передаточной функцией  обеспечит не только устойчивость системы, но и более чем минимальный запас устойчивости по амплитуде.

4. Построение и анализ ЛЧХ системы и годографа Найквиста скорректированной системы

Используя передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы (12), запишем характеристическое уравнение скорректированной разомкнутой системы:

 (15)

Найдем корни характеристического уравнения (15):

Уравнение (15) имеет один правый корень, следовательно, скорректированная разомкнутая система неустойчива.

Построим годограф Найквиста. Для этого определим частотную передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы и ее действительную и мнимую части.

 (16)

 (17)

Используя выражения (16) и (17), заполним таблицу:

Таблица 4.1

w	0	-	328,8237	∞
P	-48	0	-0,485	0
Q	0	-	0	0

Построим годограф Найквиста (Рис. 4.1):

 

Рис. 4.1

Для случая, когда разомкнутая система неустойчива критерий Найквиста звучит следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста охватывал особую точку (; ) в положительном направлении на угол , где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы равно единице (l=1), полученный годограф охватывает особую точку (-1, j0) на угол lπ=π, следовательно, критерий Найквиста выполняется и система устойчива.

Построим ЛЧХ разомкнутой скорректированной системы:

Определим расчетные выражения для L(w) и φ(w):

 (18)

 (19)

Для построения асимптотической ЛАЧХ найдем параметры:

ЛФЧХ системы также можно построить как геометрическую сумму ЛФЧХ отдельных звеньев системы.

Графики расчетных ЛЧХ, построенные по формулам (18) и (19), изображены на рисунке (4.2):

Рис. 4.2

 

w_ср(частота среза) – частота, соответствующая пересечению ЛАЧХ с осью lgw;

w_кр(критическая частота) – частота, соответствующая пересечению ЛФЧХ уровня –π;

Система устойчива, если выполняется условие:

w_ср< w_кр

Данное условие выполняется, следовательно, система устойчива. Запас устойчивости по амплитуде: L_зап= 5,8 дБ

Запас устойчивости по фазе: φ_зап=0,2 рад

Аналогичный вывод можно сделать по асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ системы, построенной как сумма отдельных звеньев, входящих в систему.

 
5. Анализ качества системы в переходном режиме

Определим прямые показатели качества, для этого построим переходную характеристику:

, где (20)

 (21)

 

Ф(s) – передаточная функция скорректированной замкнутой системы.

Переходная характеристика, построенная по формуле (20), изображена на рисунке (5.1):

Рис. 5.1

По рисунку (5.1) определим: h_max=0.3; h_уст=0.17; h(0)=0, время регулирования на уровне 0.05 (h_уст-h(0)).

Коридор: [0.95 (h_уст-h(0)); 1.05 (h_уст-h(0))].

Коридор: [0.1615; 0.1785].

Время регулирования: t_рег= 0,15 с.

Перерегулирование равно:

 (5.3)

.

Определим показатель коллебательности. Используя передаточную функцию скорректированной замкнутой системы (21), запишем частотную передаточную функцию скорректированной замкнутой системы:

Выделим действительную и мнимую части:

Модуль частотной передаточной функции замкнутой системы:

 (22)

Построим амплитудно-частотную характеристику, используя выражение (22) (Рис. 5.2):

Рис. 5.2

По рисунку (5.2) определим: ; .

Показатель колебательности M есть отношение максимальной ординаты амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы к начальной ординате:

Определим запасы устойчивости системы.

Найдем критическую частоту – частоту, на которой значение φ(w) равняется –π.

 (23)

 

w_кр=328,824

Рассчитаем запас по амплитуде:

 (24)

Запас по амплитуде: L_зап= 5,797 дБ

Найдем частоту среза – частоту, на которой значение L(w) равняется 0, используя выражение (24):

w_ср=232,624

Рассчитаем запас по фазе, используя выражение (23):

Запас по фазе: φ_зап=0,168 рад.

 
6. Анализ качества системы в установившемся режиме

Установившаяся ошибка системы равна:

 (25)

ε_устХо=С₀Х₀(t)+ С₁Х'₀(t)+…

ε_{уст f}=С₀F₀(t)+ С₁F'₀(t)+…

Так как в заданном случае задающее и возмущающее воздействия – константы, необходимо найти лишь первые коэффициенты функций ошибок.

Запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по задающему воздействию:

Установившаяся ошибка системы по задающему воздействию:

Запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по возмущению:

Установившаяся ошибка системы по задающему воздействию:

Рассчитаем установившуюся ошибку системы, используя выражение (25):

Приведем размерность установившейся ошибки к размерности входного сигнала:

;

Система является статической как относительно возмущения, так и относительно задающего воздействия, установившаяся ошибка системы равна 7/282.