Определение спектра амплитудно-модулированного колебания

Пензенский государственный университет

Кафедра «РТ и РЭС»

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы»

на тему

«Определение спектра

амплитудно-модулированного колебания»

Задание выполнил студент группы 01РР2 Чернов С. В.

Задание проверил

Куроедов С. К.

Пенза 2003
Содержание

1. Формулировка задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Шифр задания и исходные данные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3. Аналитическая запись колебания U_W(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4. Определение коэффициентов а_n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5. Определение коэффициентов b_n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6. Определение постоянной составляющей А₀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

7. Определение амплитуд A_n и начальных фаз Y_n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

8. Временная диаграмма колебания, представляющего собой сумму

найденной постоянной составляющей и первых пяти гармоник

колебания u_W(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

9. Построение графиков АЧХ и ФЧХ ограниченного спектра

колебания u_W(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

10. Аналитическая запись АМ колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

11. Построение графиков АЧХ и ФЧХ АМ колебания . . . . . . . . . . . . . . 11

12. Определение ширины спектра АМ колебания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1. Формулировка задания

Определить спектр АМ колебания u(t) =U_m(t)cos(w₀t+y₀), огибающая амплитуды которого связана линейной зависимостью с сигналом сообщения U_c(t), т.е. U_m(t).=U₀+ U_c(t)

(коэффициент пропорциональности принят равным единице).

Сигнал сообщения U_c(t) представляет собой сумму первых пяти гармоник периодического колебания u_W(t) (см. раздел 3). Найденный аналитически спектр сигнала сообщения и АМ колебания должен быть представлен в форме амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик. Необходимо кроме того определить парциальные коэффициенты глубины модуляции m_n. Несущая частота определяется как w₀=20W₅, где W₅ – частота пятой гармоники в спектре колебания u_W(t). Значение амплитуды U₀ несущей частоты w₀ принимается равным целой части удвоенной суммы , где U_n – амплитудное значение гармоники спектра колебания u_W(t).

2. Шифр задания и исходные данные

Шифр задания: 17 – 3

Исходные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1.

U1, В	U2, В	T, мкс	t1, мкс
3	3	250	60

Временная диаграмма исходного колебания

3. Аналитическая запись колебания U_W(t)

Сначала выполним спектральный анализ заданного колебания u_Ω(t). Для этого, пользуясь графической формой колебания и заданными параметрами, запишем его аналитически. Весь период Т колебания разбиваем на три интервала: [0;t₁], [t₁;t₂] и [t₂; T] (точка  является серединой интервала [t₁; T]). Первый интервал представлен синусоидой, второй и третий – линейными функциями. В общем виде аналитическая запись сигнала будет выглядеть так:

при ,

u_Ω(t)= при , (1)

при .

Частота синусоиды  (в знаменателе записан период этой синусоиды).

Значения k₁ и b₁ определяем из системы уравнений

;

,

получаемой путем подстановки во второе уравнение системы (1) значений времени t₁ и  и соответствующих им значений колебания u_Ω(t) (u_Ω(t₁)=0, u_Ω(t)=-U₂). Решение указанной системы уравнений дает , . Аналогично определяем k₂ и b₂. В третье уравнение системы (1) подставляем значения t₂ и T и соответствующие им значения колебания u_Ω(t) (u_Ω(t₂)=-U₂, u_Ω(T)=0).

;

.

Решив систему, получаем ,

В результате изложенного система уравнений (1) принимает вид

при ,

u_Ω(t)= при , (2)

при .

Для дальнейших расчетов определим:

 мкс;

 рад/с

 рад/с

Для разложения сигнала в ряд Фурье вычислим значения а_n, b_n, А_n и φ_n первых пяти гармоник.

4. Определение коэффициентов a_n

Посчитаем каждый из интегралов отдельно:

;

,

первый интеграл интегрируем по частям:

, ,

, .

;

аналогично интегрируем:

.

Запишем выражение для а_n, как функции порядкового номера n гармоник колебания U_W(t):

.

Подставляя ранее вычисленные значения k₁ b₁, k₂, b₂, заданное значение U₁ и значения n=1,2,…, находим численные значения пяти коэффициентов a_n:

В

В

В

В

В.

Заносим полученные результаты в таблицу 2.

5. Определение коэффициентов b_n

.

Расчет каждого из интегралов произведём отдельно:

;

, ,

, .

;

.

Запишем выражение для b_n, как функции порядкового номера n гармоник колебания U_W(t):

.

Подставляя ранее вычисленные значения k₁ b₁, k₂, b₂, заданное значение U₁ и значения n=1,2,…, находим численные значения пяти коэффициентов b_n:

В

В

В

В

В.

Занесём полученные данные в таблицу 2.

6. Определение постоянной составляющей А₀

В.

7. Определение амплитуд A_n и начальных фаз Y_n

Значения A_n и Ψ_n вычисляем с помощью полученных ранее коэффициентов a_n и b_n.

,

.

В,

В,

В,

В,

В;

рад,

рад,

рад,

рад,

рад.

Полученные результаты заносим в таблицу 2.

Таблица 2

n	1	2	3	4	5
an	1.641	0.033	-0.368	-0.237	-0.128
bn	1.546	0.548	0.442	0.028	-0.093
An	2.254	0.549	0.575	0.239	0.159
Ψn	0.756	1.511	2.264	3.023	-2.512

8. Временная диаграмма колебания, представляющего собой сумму найденной постоянной составляющей и первых пяти гармоник

t, мкс

u(t) – заданное колебание,

S(t)=S1(t)+ S2(t)+ S3(t)+ S4(t)+ S5(t)+A0,

S1(t) – первая гармоника,

S2(t) – вторая гармоника,

S3(t) – третья гармоника,

S4(t) – четвертая гармоника,

S5(t) – пятая гармоника,

A0 – постоянная составляющая.

9. Построение графиков АЧХ и ФЧХ ограниченного спектра колебания u_W(t)

Пользуясь данными таблицы 2, строим АЧХ и ФЧХ сигнала сообщения u_c(t), представляющего собой, в соответствии с заданием, сумму первых пяти гармоник колебания u_W(t).

АЧХ колебания u_W(t)

ФЧХ колебания u_W(t)

  10. Аналитическая запись АМ колебания

В качестве модулирующего колебания (сигнала сообщения) используем только первые пять гармоник спектра колебания u_W(t) (постоянную составляющую А₀ отбрасываем). В соответствии с этим искомое амплитудно-модулированное колебание запишем как

 рад/с – несущая частота.

Значение амплитуды U₀ несущей частоты w₀ принимается равным целой части удвоенной суммы , где U_n – амплитудное значение гармоники спектра колебания U_W(t).

,

В.

 – начальная фаза несущего колебания.

 – парциальные коэффициенты глубины модуляции.

Вычислим значения парциальных коэффициентов:

,

,

,

,

.

Полученные результаты заносим в таблицу 3.

Представим АМ колебание в форме суммы элементарных гармоник

.

Вычислим значения :

В,

В,

В,

В,

В.

Полученные результаты заносим в таблицу 3.

Таблица 3.

n	1	2	3	4	5
mn	0.3221	0.0784	0.0822	0.0341	0.0227
Bn, В	1.127	0.274	0.288	0.119	0.079

11. Построение графиков АЧХ и ФЧХ АМ колебания

Воспользовавшись численными значениями U₀, ω₀, B_n, Ω, Ψ₀, Ψ_n, построим графики АЧХ и ФЧХ амплитудно-модулированного колебания.

АЧХ АМ колебания

ФЧХ АМ колебания

12. Определение ширины спектра АМ колебания

Ширина спектра АМ колебания равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего низкочастотного сигнала.

 рад/с.