Основная задача механики

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным s.

В задании приняты следующие обозначения: m₁, m₂, m_3, m₄ – массы тел 1, 2, 3, 4; R₃ – радиус большой окружности; δ – коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

Таблица 1.

m1, кг	m2, кг	m3, кг	m4, кг	R3	δ, см	s, м
m	1/2m	5m	4m	25	0,20	2

Решение

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

 (1)

где T₀ и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системе; - сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

Так как в начальном положении система находится в покое, то Т₀=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

 (2)

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3 и 4:

Т = Т₁ + Т₂ + 4Т₃ + Т₄. (3)

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

 (4)

Кинетическая энергия барабана 2, совершающего вращательное движение,

, (5)

где J_2x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:

, (6)

w₂ – угловая скорость барабана 2:

.(7)

После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:

. (8)

Кинетическая энергия колеса 3, совершающего плоскопараллельное движение:

, (9)

где V_C3 – скорость центра тяжести С₃ барабана 3, J_3x – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:

, (10)

w₃ – угловая скорость барабана 3.

Мгновенный центр скоростей находится в точке С_V. Поэтому

, (11)

. (12)

Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:

. (13)

Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно

. (14)

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):

Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:

или

. (15)

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).

Работа силы тяжести :

 (16)

Работа силы тяжести :

(17)

Работа пары сил сопротивления качению :

(18)

где

 (19)

(20)

(21)

Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем:

 (22)

Работа силы тяжести :

 (17)

Работа силы тяжести :

 (23)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (24):

.

Подставляя заданные значения, получаем:

Или

. (24)

Согласно теореме (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (16) и (24):

,

откуда выводим

м/с.

Дано:

R₂=30; r₂=20; R₃=40; r₃=40

X=C₂t²+C₁t+C₀

При t=0 x₀=7 =0

t₂=2 x₂=557 см

X₀=2C₂t+C₁

C₀=7

C₁=0

557=C₂ *5²+0*5+7

25C₂=557-7=550

C₂=22

X=22t²+0t+7

=V=22t

a==22

V=r₂₂

R₂₂=R₃₃

₃=V*R₂/(r₂*_R3)=(22t)*30/20*40=0,825t

₃=₃=0,825

V_m=r₃*₃=40*(0,825t)=33t

a^t_m=r₃

=0,825t

a^t_m=R₃=40*0,825t=33t

aⁿ_m=R₃²₃=40*(0,825t)²=40*(0,825(t)²

a=

***********************************

Дано :R₂=15; r₂=10; R₃=15; r₃=15

X=C₂t²+C₁t+C₀

При t=0 x₀=6 =3

t₂=2 x₂=80 см

X₀=2C₂t+C₁

C₀=10

C₁=7

80=C₂ *2²+3*2+6

4C₂=80-6-6=68

C₂=17

X=17t²+3t+6

=V=34t+3

a==34

V=r₂₂

R₂₂=R₃₃

₃=V*R₂/(r₂*_R3)=(34t+3)*15/10*15=3,4t+0,3

₃=₃=3,4

V_m=r₃*₃=15*(3,4t+0,3)=51t+4,5

a^t_m=r₃

=3,4t

a^t_m=R₃=15*3,4t=51t

aⁿ_m=R₃²₃=15*(3,4t+0,3)²=15*(3,4(t+0,08)²

a=

Решение второй задачи механики

 

Дано:

m=4.5 кг; V₀=24 м/с;

R=0.5V H;

t₁=3 c;

f=0.2;

Q=9 H; F_x=3sin(2t) H.

Определить: x = f(t) – закон движения груза на участке ВС

 

Решение:

 

1) Рассмотрим движение на промежутке АВ

 

 

учитывая, что R=0.5V H;

Разделяем переменные и интегрируем

2) Рассмотрим движение на промежутке ВС (V₀=V_B)

Дано:

m=36 кг

R=6 см=0,06 м

H=42 см=0,42 м

y_C=1 см=0,01 м

z_С=25 см=0,25 м

АВ=52 см=0,52

М=0,8 Н·м

t₁=5 с

Найти реакции в опорах А и В.

Решение

Для решения задачи используем систему уравнений, вытекающую из принципа Даламбера:

 (1)

Для определения углового ускорения ε из последнего уравнения системы (1) найдем момент инерции тела относительно оси вращения z по формуле

, (2)

где J_z1− момент инерции тела относительно центральной оси С_z1, параллельной оси z; d – расстояние между осями z и z₁.

Воспользуемся формулой

, (3)

где α, b, g - углы, составленные осью z₁ с осями x, h, z соответственно.

Так как α=90º, то

. (4)

Определим моменты инерции тела ,  как однородного сплошного цилиндра относительно двух осей симметрии h, z

;

.

Вычисляем

;

.

Определяем угол g из соотношения

;

;

.

Угол b равен

;

.

По формуле (4), вычисляем

.

Момент инерции тела относительно оси вращения z вычисляем по формуле (2):

,

где d=y_C;

.

Из последнего уравнения системы (1)

;

.

Угловая скорость при равноускоренном вращении тела

,

поэтому при ω₀=0 и t=t₁=5 c

.

Для определения реакций опор следует определить центробежные моменты инерции  и  тела. , так как ось х, перпендикулярная плоскости материальной симметрии тела, является главной осью инерции в точке А.

Центробежный момент инерции тела  определим по формуле

,

где , т.е.

.

Тогда

.

Подставляя известные величины в систему уравнений (1), получаем следующие равенства

Отсюда

Ответ: , , , .

 

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

 

Задание: по заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Исходные данные:

x=5cos(pt²/3); y= -5sin(pt²/3);  (1)

t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).

Решение:

Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Получим уравнения траектории в координатной форме.

x² + y² = (5cos(pt²/3))² + (-5sin(pt²/3))²;

Получаем x² + y² = 25, т. е. траекторией точки является окружность, показанная на рис. 1.

Вектор скорости точки

 (2)

Вектор ускорения точки

Здесь V_x , V_{y ,} a_x, a_y – проекции скорости и ускорения точки на соответствующие оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1)

(3)

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

V=Ö(V_x² + V_y²); (4)

и модуль ускорения точки:

а =Ö(а_х² +а_у²). (5)

Модуль касательного ускорения точки

а_t=|dV/dt|, (6)

а_t= |(V_xa_x+V_ya_y)/V| (6’)

Знак “+” при dV/dt означает, что движение точки ускоренное, знак “ - “ - что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки

а_п= V²/p; (7)

p – радиус кривизны траектории.

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:

a_n =Ö(а² -a_t²); (8)

После того как найдено нормальное ускорение по формуле (8), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

p=V²/ a_n. (9)

Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8), (9) для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице

Координаты см		Скорость см/с			Ускорение, см/с2					Радиус см
х	у	Vx	Vy	V	ax	ay	a	at	an	p
2.5	-2.5Ö3	-5p/Ö3	-5p/3	10p/3	-20.04	13.76	24.3	10.5	21.9	5

Ниже на рисунке показано положение точки М в заданный момент времени.

Дополнительное задание:

 

z=1.5t x=5cos(pt²/3); y= -5sin(pt²/3); t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).

Найдем скорости и ускорения дифференцируя по времени уравнения движения

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

V=Ö(V_x² + V_y²+V_z²);

и модуль ускорения точки:

а =Ö(а_х² +а_у²+ а_z²).

V=;

a=24.3 см/с;

Касательное ускорение точки

а_t= |(V_xa_x+V_ya_y+ V_za_z)/V|

a_t=(-9.069*(-20.04)+(-5.24)*13.76+1.5*0)/10.58=10.36 см/с

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:

a_n =Ö(а² -a_t²);

a_n=21.98 см/с².

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

p=V²/ a_n. р=5.1 см

Результаты вычислений для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице

Координаты см			Скорость см/с				Ускорение, см/с2						Радиус см
x	y	z	Vx	Vy	Vz	V	ax	ay	az	a	at	an	p
2.5	-4.33	1.5	-9.07	-5.24	1.5	10.58	-20.04	13.76	0	24.3	10,36	21.98	5.1

Задание: точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Дано:

 

ОМ=Sr=120pt² см;

j_е=8t² – 3t рад ;

t1=1/3 c; R=40 см.

Решение:

 

1) Положение точки М на теле D определяется расстоянием S_r=ОМ

при t=1/3 c S_r=120p/9=41.89 см.

При t=1/3с V_r=80p=251.33 см/с.

a_rt=d²S_r/dt² a_rt=240p=753.98 см/с²

a_rn=V_r²/R a_rn=(80p)²/40=1579.14 см/с²

2) V_e=w_er , где r- радиус окружности, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М.

a=OM/R. r=R*sina=40*sin(p/3)=34.64 см.

w_е=dj_e/dt=16t-3 при t=1/3 w_е=7/3=2.33 с^-1

V_e=80.83 см/с.

а_е^ц=w_e²r а_е^ц=188.6 см/с².

а_е^в=e_еr e_е= d²j_e/dt²=16 с^-2 а_е^в=554.24 см/с².

3)

а_с=2*w_еV_rsin(w_е, V_r) sin(w_е, V_r)=90-a=p/6 a_c=585.60 см/с²

4)

V=Ö(V_e²+V_r²) V=264.01 см/с

Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций.

a_x=a_е^в+а_с

a_y=a_rncos(p/3)+a_rtcos(p/6)

a_z=-а_е^ц - a_rncos(p/6)+a_rtcos(p/3)

а=Ö(a_x²+a_y²+a_z²)

Результаты расчетов сведены в таблицу

we, c-1	Скорость см/с			eе с-2	Ускорение , см/с2
	Ve	Vr	V		аец	aев	arn	аrt	ас	ax	ay	az	а
2.33	80.8	251.3	264	16	188.6	554	1579	754	586	1140	1143	-1179	1999

Определение реакций опор твердого тела

Дано:

 

Q=10 kH;

G=5 kH;

a=40 см; b=30 см; c=20 см;

R=25 см; r=15 см.

 

Задание:

Найти реакции опор конструкции.

Решение:

 

Для определения неизвестных реакций составим уравнения равновесия.

Из уравнения (4) определяем P, а затем находим остальные реакции опор. Результаты вычислений сведем в таблицу.

Силы, кН
Р	ХА	ZA	XB	ZB
5.15	-0.17	2.08	-3.34	2.92

Проверка.

Составим уравнения относительно точки В.