Расчеты электростатического поля

7522
знака
0
таблиц
5
изображений

Теорема Гаусса

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552012-1.gifна площадь ΔS и на косинус угла α между вектором http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552022-2.gifи нормалью http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552022-3.gifк площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 1.3.1):

ΔΦ = E ΔS cos α = En ΔS,

где En – модуль нормальной составляющей поля http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552042-4.gif

http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/chapter1/section/paragraph3/images/1-3-1.gif

Рисунок 1.3.1.

К определению элементарного потока ΔΦ


Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S. Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔSi, определить элементарные потоки ΔΦi поля http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552052-5.gifчерез эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552062-6.gifчерез замкнутую поверхность S (рис. 1.3.2):

http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552072-7.gif

В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль.

http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/chapter1/section/paragraph3/images/1-3-2.gif

Рисунок 1.3.2.

Вычисление потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S

Теорема Гаусса утверждает:

Поток вектора напряженности электростатического поля http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552072-8.gifчерез произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0.

http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552082-9.gif

Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q. Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552102-10.gif

где R – радиус сферы. Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4πR2. Следовательно, http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552122-11.gif

Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R0 (рис. 1.3.3).

http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/chapter1/section/paragraph3/images/1-3-3.gif

Рисунок 1.3.3.


Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S, окружающую заряд

Рассмотрим конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS0, а на поверхности S – площадку ΔS. Элементарные потоки ΔΦ0 и ΔΦ через эти площадки одинаковы. Действительно,

ΔΦ0 = E0ΔS0, ΔΦ = EΔS cos α = EΔS '.

Здесь ΔS' = ΔS cos α – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса n.

Так как http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552242-12.gifа http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552242-13.gifследовательно http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552242-14.gifОтсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ0 через поверхность вспомогательной сферы:

http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552252-15.gif

Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q, то поток Φ = 0. Такой случай изображен на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552282-16.gifточечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Φi электрических полей отдельных зарядов. Если заряд qi оказался внутри поверхности S, то он дает вклад в поток, равный http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552302-17.gifесли же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.

Таким образом, теорема Гаусса доказана.

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R. Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).


http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/chapter1/section/paragraph3/images/1-3-4.gif

Рисунок 1.3.4.

Вычисление поля однородно заряженного цилиндра. OO' – ось симметрии

При r ≥ R весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2πrl, так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:

http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552343-18.gif

где τ – заряд единицы длины цилиндра. Отсюда

http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552343-19.gif

Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.

Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно построить замкнутую поверхность для случая r < R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.

Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).


http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/chapter1/section/paragraph3/images/1-3-5.gif

Рисунок 1.3.5.

Поле равномерно заряженной плоскости. σ – поверхностная плотность заряда. S – замкнутая гауссова поверхность

В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:

http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/javagifs/63230164552373-20.gif

где σ – поверхностная плотность заряда, т. е. заряд, приходящийся на единицу площади.

Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.


Информация о работе «Расчеты электростатического поля»
Раздел: Физика
Количество знаков с пробелами: 7522
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 5

Похожие работы

Скачать
6584
17
1

... переключатель П в положение “S”. Далее, помещаем в ванну электроды различной формы ( в зависимости от задания ) и затем, водя по ванне зондом, определяем 4 - эквипотенциальные линии: 1B, 2B, 3B, 4B. И так далее для каждого задания. Задание №1. Исследование электростатического поля плоского конденсатора. Таблица 1. Зависимость потенциала j от расстояния. j = j (x),В x ...

Скачать
24053
1
7

... уходят в бесконечность. На рис. (1.2.3) в соответствии с картиной силовых линий показаны векторы напряженности и силы, действующей на заряды разного знака. 3 Поток напряженности электрического поля. Теорема Гаусса в интегральной форме Пусть n – единичная нормаль к площадке dS (достаточно малой, чтобы пренебречь изменением электрической напряженности Е в пределах площадки). Поток dФэ ...

Скачать
119638
31
15

... .   ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате работы была создана компьютерная программа «Электродвигатель», позволяющая осуществлять расчет и исследование параметров энергосберегающего асинхронного двигателя с индивидуальными номинальными данными. В процессе работы были изучены ·        Методология проектирования и расчета параметров асинхронного двигателя ·        Язык PL/SQL СУБД Oracle 8i ·        ...

Скачать
49075
0
19

... неровностей на поверхнос­ти анода, т.е. происходит его полировка. 2 Расчётная часть 2.1Задание на курсовую работу Расчет разветвлённой электрической цепи постоянного тока. Для заданной электрической цепи необходимо: 1)     Записать систему уравнений по законам Кирхгофа (без расчетов); 2)     Определить все токи и ...

0 комментариев


Наверх