Статика твердого тела

Задание С3

 

Дано:

P₁=13,0 kH

M=30,0 kH*M ;

M_B - ?

 

Решение:

 

I система

P₂=9,0 kH Σ_x=0;

R_A*cos30^o – X^I_C=0;

q=3,0 kH/M Σ_y=0;

R_A*cos60^o – P₁ – Y^I_C=0

ΣM_C=0;

M+P₁*3-2,5*R_A=0;

;

;

 

Проверка

ΣM_A=0;

;

;

-26 - 4+30=0;

0=0; верно.

II система

Σ_x=0;

;

;

Σ_y=0;

;

;

;

ΣM_B=0;

;

;

;

;

Проверка

ΣM_C=0;

;

;

;

0=0; верно.

 

Дано:

R=20cм; r=10cм; R=30cм; ; x=6cм; ; x=356cм; t=2c; t=5c.

 

Определить

1)  Уравнение движения груза;

2)  -?

3)  -?

 

Решение:

1) Уравнение движения груза 1 имеет вид:

(1)

Коэффициенты  могут быть определены из следующих условий:

при t=0 x=6cм, (2)

при t=2c x=356cм. (3)

Скорость груза 1:

(4)

Подставляя (2) и (3) в формулы (1) и (4), находим коэффициенты

с=6см, с=5, с

Таким образом, уравнение движения груза

1

2) Скорость груза 1

(6)

Ускорение груза 1

3) Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза  и угловые скорости колёс  и .

В соответствии со схемой механизма:

 откуда

или с учетом (6) после подстановки данных:

Угловое ускорение колеса 3:

Скорость точки М, её вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам:

 

Результаты вычислений для заданного момента времени  приведены в табл. 1.

Скорости и ускорения тела 1 и точки М показаны на рис. 1.

Таблица 1

57	26	1.9	0.867	19	36.1	19	40.80

В 20. Д – 1

Дано: V_A = 0, a = 45°, f = 0,3, d = 2 м, h = 4 м.

Найти: ℓ и t.

Решение: Рассмотрим движение камня на участке ВС. На него действует только сила тяжести G. Составляем дифференциальные уравнения движения в проекции на оси X , Y: = 0 ,  = G ,

Дважды интегрируем уравнения: = С₁ , = gt + C₂ ,

x = C₁t + C₃ , y = gt²/2 + C₂t + C₄ ,

Для определения С₁, C₂ , C₃, C₄ , используем начальные условия (при t = 0): x₀ = 0 , y₀ = 0 , = V_B×cosa, = V_B×sina ,

Отсюда находим:

= С₁ , Þ C₁ = V_B×cosa, = C₂ , Þ C₂ = V_B×sina

x₀ = C₃ , Þ C₃ = 0 , y₀ = C₄ , Þ C₄ = 0

Получаем уравнения:

= V_B×cosa , = gt + V_B×sina

x = V_B×cosa×t, y = gt²/2 + V_B×sina×t

Исключаем параметр t :

y = gx² + x×tga ,

2V²_B×cos²a

В точке С x = d = 2 м , у = h = 4 м. Подставляя в уравнение d и h , находим V_B :

V²_B = gx² = 9,81×4 = 19,62 , Þ V_B = 4,429 м/с

2×cos²a×(y - x×tga) 2×cos²45°×(4 - 2tg45°)

Рассмотрим движение камня на участке АВ. На него действуют силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F. Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X₁:

= G×sina - F , (F = f×N = fG×cosa) Þ = g×sina - fg×cosa,

Дважды интегрируя уравнение, получаем:

= g×(sina - f×cosa)×t + C₅ , x₁ = g×(sina - f×cosa)×t²/2 + C₅t + C₆ ,

По начальным условиям (при t = 0 x₁₀ = 0 и = V_A = 0) находим С₅ и С₆:

C₅ = 0 , C₆ = 0,

Для определения ℓ и t используем условия: в т.B (при t = t) , x₁ = ℓ , = V_B = 4,429 м/с. Решая систему уравнений находим:

= g×(sina - f×cosa)×t Þ 4,429 = 9,81×(sin45° - 0,3×cos45°)×t , Þ t = 0,912 с

x₁ = g×(sina - f×cosa)×t²/2 ℓ = 9,81×(sin45° - 0,3×cos45°)×0,912²/2 = 2,02 м .

Дано:

АВ=20 см.

АС=6 см.

 см/с

a=15 cм/c

 

Найти: , , a, a, ,

 

Решение:

 

ОА=ОВ=14,1 см.

=0,7=

СP=см.

=

= 

 см/с

a=15 см/,

т.к. ползуны двигаются по направляющим и совершают только поступательное движение.

 см/

 см/

9,85 см/

 см/с

Ответ:

 см/с

 см/с

9,85 см/

=15 см/

Статика твердого тела

I. Плоская система сил система произвольно расположенных сил

Определение реакций опор твердого тела

На схеме показаны три способа закрепления бруса. Задаваемая нагрузка и размеры (м) во всех трех случаях одинаковы.

Р = 10 кН, q = 4 кН/м, исследуемая реакция Y_A

Определить реакции опор для того способа закрепления бруса, при котором исследуемая реакция Ya имеет наименьший модуль.

Дано: схемы закрепления бруса ( а, б, в): Р = 10 кН; q = 4 кН/м.

Определить реакции опор для того способа закрепления, при котором реакция Y_A имеет наименьшее числовое значение.

 

Решение

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к конструкции. Действие связей на конструкцию заменяем их реакциями (рис. 2): в схеме а — X_А, Y_А, Y_В в схеме б — Y’_А, Y’_В и R_C, в схеме в — Y”_А , R_C, R_D. Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем равнодействующей

Q = q • 4 = 16 кН.

Чтобы выяснить, в каком случае реакция Y_A является наименьшей, найдем ее для всех трех схем, не определяя пока остальных реакций

Для схемы а

Из первого уравнения подставляем Y_B во второе, получаем:

 8,67 кH

Для схемы б

Из первого уравнения подставляем Y’_B во второе, получаем:

13 кН

Для схемы в

Из первого уравнения подставляем R_D во второе, получаем:

5 кН

Таким образом, реакция Y_A имеет наименьшее числовое значение, при закреплении бруса по схеме в.

Определим остальные опорные реакции для этой схемы.

В схеме а:

 

В схеме б:

8 кН

В схеме в:

Определить реакции опор для способа закрепления бруса, при котором Ма имеет наименьшее числовое значение.

 

Дано:

Р=20

М=10 кН* q М

q=2 кН/м

Ма = ?

Решение

1. Даны три исходные схемы закрепления бруса мысленно в схемах отбросим связи в точках опор, заменяя их реакциями связей.

2. Равномерно-распределённую нагрузку «q» заменяем равнодействующей «Q» и приложим её в центре действия нагрузки «q» , получим

Q=q*L

Q=2*2=4кН.

3. Для каждой схемы составим минимальное число уравнений равновесия для определения исследуемой реакции.

Cоставим уравнения равновесия:

 

Ma(fr)=0 ; Ma+M-4P*cos45-3Q=0

Отсюда Ma будет

 

Ma=-M+P*sin45-3Q=-10+56+12=58kH*м

Ya=.58kH*м

Мa(Fk)=0; Ма -4P*sin45+M-3Q-2Xв=0

F(кх)=0; - Хв+Р*cos45=0 Xв=14кН

Отсюда Ма будет:

Ма=4Р*sin45+3Q+2Xв-M=56+12+28=86кН*м

 Ма=86кН

Ma(Fk)=0; Ма+М-4Р*cos45-3Q+4Rc*cos45+2Rc*cos45=0

F(кх)=0; Rc*cos45+Pcos45=0 Rc=20кН

 

Отсюда Ма будет:

 

Ма=-М+4P*cos45+3Q-6Rc*cos45=-10+56+12-84=26кН*м

Таким образом, исследуемая наименьшая реакция будет при закреплении бруса по схеме в). Найдём все реакции.

Составим для этой схемы три уравнения равновесия:

 

 Fкх=0 Rc*cos45+Pcos45=0

 Fкy=0 Ya-P*cos45-Q+Rc*cos45=0

 Ма(Fк)=0 Ма+М-4Р*cos45-3Q+4Rc*cos45+2Rc*cos45=0

Rc=20кН

Yа= P*cos45+Q-Rc*cos45=7+4-14=3кН

Ма=-М+4P*cos45+3Q-6Rc*cos45=-10+56+12-84=26кН*м

 

Ответ: Ма=26кН.