КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
ГУБА АНТОНІНА ОЛЕКСАНДРІВНА
УДК 532.5
СТАЦІОНАРНІ ТА РІВНОМІРНО-ОБЕРТОВІ КОНФІГУРАЦІЇ
ТОЧКОВИХ ВИХОРІВ
01.02.05 - механіка рідини, газу та плазми
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ – 2008
Дисертацією є рукопис
Робота виконана у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
МЕЛЕШКО В’ячеслав Володимирович,
Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
завідувач кафедри теоретичної та прикладної механіки
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
НІКІШОВ Володимир Іванович,
Інститут гідромеханіки НАН України,
заступник директора
кандидат фізико-математичних наук, доцент
ЧЕРНІЙ Дмитро Іванович,
Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
доцент кафедри обчислювальної математики
Захист відбудеться 16 квітня 2008 року о 14.30 годині на засіданні
спеціалізованої вченої ради К26.001.21 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, вул. Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет, ауд. 41.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58).
Автореферат розісланий 5 березня 2008 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради
кандидат фізико-математичних наук А.В. Ловейкін
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Теорія вихрових рухів представляє собою один з найкращих підходів до розуміння природи хаотизації потоку та початкового розвитку турбулентності. У випадку нев’язкої рідини вихрова динаміка забезпечує фізичний приклад нелінійних гамільтонових систем нескінченної розмірності та представляє постійний інтерес у зв’язку з дослідженнями хаотичних властивостей динамічних систем. Динаміка вихрових структур являється важливим розділом фізики рідини, газу та плазми, так як всі реальні течії являються вихровими. Особлива увага дослідників традиційно приділена двовимірним вихровим структурам. Зменшення розмірності задачі дозволяє суттєво спростити дослідження, виявити основні властивості та закономірності взаємодії масштабних вихрових структур та з меншими зусиллями досягти необхідних результатів.
Задачі про пошук конфігурацій точкових вихорів, зокрема стаціонарних та рівномірно-обертових конфігурацій вихорів однакової інтенсивності, крім механіки рідини, мають важливе значення в області небесної механіки, фізики надтекучого гелію II. Вивчення руху конфігурацій з невеликою кількістю вихорів поблизу границь найпростішої форми (прямолінійної або колової) дає уявлення про вплив геометрично більш складних границь на природу порядку та хаосу. Дослідження еволюції точкових вихорів, що розміщені по концентричних колах має велике значення для аналізу вихрових доріжок Кармана, що в свою чергу дозволяє вивчати процеси вихроутворення за тілами зі слабкими обтікаючими властивостями. Рівномірно-обертові моделі точкових вихорів застосовуються при пошуку та аналізі стійких конфігурацій вихрових структур, що впливають на формування атмосферних циклонів і океанографічних течій, при проектуванні апаратури в хімічній промисловості.
Задача про формування динамічними системами із скінченою кількістю степенів вільності стаціонарних та рівномірно-обертових конфігурацій належить до найбільш цікавих задач механіки рідини, газу та плазми. Пошук таких конфігурацій та аналіз їх стійкості потребує глибокого розуміння особливостей динаміки руху систем, що розглядаються, й суттєвого звуження діапазонів параметрів багатомірних систем, розробки нових алгоритмічних підходів чисельно-аналітичного розв’язання задачі, що й обумовлює актуальність даної дисертації.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, що складають дисертаційну роботу, виконані у відповідності до держбюджетної теми “Механіка рухомих деформівних середовищ та експериментальні методи механіки і низькочастотного електромагнітного зв’язку телесистем для похилого і горизонтального буріння нафтогазових свердловин” (№ 01БФ038-02), яка виконувалась у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (2001-2005), а також у рамках проекту INTAS 04-80-7297 “Vortex Dynamics” (2005-2007).
Мета і завдання дослідження. Метою представлених досліджень являється пошук нових стаціонарних та рівномірно-обертових симетричних та несиметричних конфігурацій систем точкових вихорів в ідеальній нестисливій рідині на необмеженій площині.
Для досягнення означеної мети ставились наступні завдання:
- проаналізувати особливості та основні закономірності взаємодії систем точкових вихорів на необмеженій площині;
- розробити ефективний чисельно-аналітичний метод для пошуку нових стаціонарних та рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності;
- провести класифікацію отриманих симетричних та несиметричних стаціонарних та рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності відповідно до даних, що містяться в сучасній літературі;
- проаналізувати стійкість знайдених конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності.
Об’єктом дослідження являються стаціонарні та рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів в ідеальній нестисливій рідині на необмеженій площині.
Предмет дослідження – вплив кількості точкових вихорів однакової інтенсивності на розташування та стійкість стаціонарних та рівномірно-обертових конфігурацій та проведення аналогового експерименту.
Метод дослідження базується на розв’язанні нелінійної алгебраїчної системи рівнянь, що описує рух точкових вихорів однакової інтенсивності в ідеальній нестисливій рідині на необмеженій площині. В якості початкового наближення вибирається стаціонарна конфігурація вихорів порядку та стаціонарна точка потоку рідини. В стаціонарній точці рідини розміщується точковий вихор, інтенсивність якого, по мірі проведення ітерацій, поступово збільшується від нуля до інтенсивності решти вихорів. На кожному ітераційному кроці розв’язується нелінійна система алгебраїчних рівнянь порядку за допомогою чисельного методу Ньютона-Рафсона.
Аналіз стійкості знайдених конфігурацій проводився шляхом чисельного інтегрування (метод Рунге-Кутта 4 порядку) гамільтонової системи руху точкових вихорів.
Наукова новизна одержаних результатів. Спираючись на основні закономірності динаміки точкових вихорів на необмеженій площині та на основні властивості рівнянь руху в гамільтоновій формі, було отримано наступні нові наукові результати:
- представлено новий чисельно-аналітичний метод для пошуку рівномірно-обертових конфігурацій систем точкових вихорів однакової інтенсивності на необмеженій площині, який базується на аналізі стаціонарних точок поля швидкості в рівномірно-обертовій конфігурації системи з меншою кількістю вихорів;
- доповнено відомий, так званий, “Лос-Аламоський каталог” стійких вихрових конфігурацій (структури 83, 91 та 101 в наведених позначеннях), які розміщені по концентричних колах при ;
- знайдено послідовність нових несиметричних рівномірно-обертових конфігурацій систем точкових вихорів однакової інтенсивності. Показано, що такі структури виникають у системах, починаючи з 5 точкових вихорів, а не 8 вихорів;
- показано, що загальна кількість несиметричних конфігурацій збільшується по мірі збільшення кількості точкових вихорів в системах, що розглядаються;
- проведено чисельний аналіз стійкості вихрових конфігурацій, дослідження показали, що більшість з симетричних конфігурацій являються стійкими, тоді як несиметричні конфігурації являються нестійкими відносно малих збурень початкових координат.
Практичне значення одержаних результатів. Практичне значення досліджень визначається широким колом вказаних вище застосувань задачі, наявністю комплексу програм та алгоритмів, які досліджують явище, а також великою кількістю отриманих чисельних результатів. Матеріали дисертації використовуються в спеціальному курсі „Динаміка концентрованих вихорів”, що читається на механіко-математичному факультеті КНУ імені Тараса Шевченка.
Апробація результатів роботи. Основні результати по темі дисертації доповідались та обговорювались на наступних конференціях:
IV Міжнародна конференція “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (м.Донецьк, червень 2006);
Міжнародна конференція “Dynamical system modeling and stability investigation (DSMSI)” (м.Київ, травень 2007);
Міжнародна конференція “Euler Equations: 250 Years On (EE 250)” (France, Aussois, June 2007);
Міжнародна науково-технічна конференція пам’яті акад. В.І. Моссаковського (1919-2006) “Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій” (м.Дніпропетровськ, жовтень 2007).
У повному обсязі робота доповідалась на:
семінарі “Сучасні проблеми механіки” Київського національного університету імені Тараса Шевченка під керівництвом член.-кор. НАН України Улітка А.Ф. та проф. Мелешка В.В. (м. Київ, грудень 2007);
Республіканському семінарі при Інституті гідромеханіки НАН України під керівництвом академіка НАН України Грінченка В.Т. (м.Київ, січень 2008).
Публікації та особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи викладені у 7 працях, з них 3 опубліковані у рецензованих наукових журналах із переліку фахових видань ВАК України для здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.02.05 – механіка рідини, газу та плазми [1,2,3] та 4 тез доповідей наукових конференцій [4,5,6,7].
Всі результати роботи отримані автором самостійно. У роботах, виконаних у співавторстві, теоретичні дослідження та чисельні розрахунки виконані здобувачем. Постановка задач належить науковому керівнику Мелешко В.В. та Х. Арефу – співавтору по роботі [3]. Обговорення отриманих результатів виконані спільно з усіма співавторами.
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі змісту, вступу, 5 розділів, висновків, списку використаних джерел. Викладена на 127 сторінках, із них 102 сторінки основного тексту, 20 рисунків, 6 таблиць, бібліографічні посилання складено з 148 джерел.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі шляхом критичного аналізу та порівняння з відомими розв’язаннями наведеної задачі подано інформацію про актуальність досліджень, сформульовано мету та наукову новизну роботи, представлено питання, що виносяться на захист, а також практичне значення одержаних результатів.
У першому розділі представлено узагальнений огляд літератури по темі дисертації, проаналізовано процес виникнення основних напрямків досліджень у даній області. Зазначені невирішені проблеми, аналіз яких дозволив сформулювати основні завдання дисертації.
Відзначено великий внесок у дослідження в області вихрової динаміки робіт таких науковців: Г.Гельмгольц, фундаментальна стаття якого поклали початок теорії вихорів (1858), Е.Г. Борд, А.В. Борисов, Н.С. Васильєв, Д.Н. Горячев, В.Ф. Козлов, Л.Г. Куракін, В.В. Мелешко, Е.А. Новіков, М.А. Соколовський, Л.Г. Хазін, В.І. Юдович, H. Aref, S. Boatto, L.J. Campbell, D. Crowdy, D. Dritschel, W. Grebli, T.H. Havelock, H. Kirchhoff, J.Marshall, P.K. Newton, K.O`Neil, H. Poincare, P.G. Saffman, M.M. Sano, G.J.F.van Heijst, J.J. Thomson, W. Thomson, H. Villat та багатьох інших.
У другому розділі визначено основні поняття теорії вихрових рухів на необмеженій площині, виписано загальні рівняння, що описують рух систем точкових вихорів інтенсивності на необмеженій площині в ідеальній нев’язкій рідині. Вихорі розміщені на комплексній площині та мають координати, при відсутності зовнішнього потенціального потоку рівняння руху точкових вихорів на необмежені рідині.
Виписано перші інтеграли рівнянь руху систем точкових вихорів, що пов’язані безпосередньо з незалежністю функцій від часу та її інваріантністю відносно паралельного переносу та повороту координат:
Представлено основні властивості систем вихорів.
Властивість 1. Якщо для даної конфігурації вихорів одночасно змінити знаки всіх інтенсивностей, то в усі наступні моменти часу система буде проходити через ті ж конфігурації, через які пройшла до цього моменту.
Властивість 2. Нехай в момент часу існує конфігурація, в якій всі вихорі колінеарні, тобто лежать на одній прямій. Тоді конфігурації в момент часу для будь-яких являються відображенням одна одної відносно цієї прямої.
Властивість 3. Система вихорів не може проходити більше, ніж через дві колінеарні конфігурації. Час, необхідний для переходу з однієї колінеарної конфігурації в іншу, завжди однаковий в процесі руху.
Властивість 4. Якщо дві системи та складаються з однакової кількості вихорів, до того ж інтенсивність кожного вихору першої систем пропорційна множнику інтенсивності другої системи , то початкові положення обох конфігурацій подібні. При цьому, масштаби довжин системи рівні масштабам довжин системи, помноженим на множник. Тоді наступна конфігурація другої системи через проміжок часу буде подібна до конфігурації першої системи через час. Час та пов’язаний співвідношенням.
Властивість 5. Якщо інтенсивності вихорів мають однаковий знак, то взаємна відстань між вихорами обмежена під час всього руху.
Властивість 6. При умові фазові потоки системи на площині порядку інтегралів траєкторно-еквівалентні, якщо постійні інтегралів пов’язані співвідношенням.
Наведено означення стаціонарних конфігурацій. До стаціонарних конфігурацій відносяться:
положення рівноваги, при яких швидкість кожного вихору конфігурації дорівнює нулеві;
твердотільні трансляції, при яких вихорі рухаються з постійною швидкістю;
відносні рівноваги, при яких вихорі обертаються навколо деякого центра (центра завихрення) як тверде тіло з постійною кутовою швидкістю;
конфігурації колапсу, при яких всі вихорі прямують до центру завихрення (або віддаляються від нього), а відстані між ними зменшуються таким чином, що конфігурація залишається геометрично подібною до початкової.
В представленій дисертаційній роботі під стаціонарними конфігураціями розуміємо лише відносні рівноваги точкових вихорів, а саме поняття стаціонарного руху розглядаємо лише для гамільтонових систем. Тому стаціонарними вважаємо ті конфігурації, які рівномірно обертаються навколо центра завихрення з постійною кутовою швидкістю.
Функція току рідини, зумовлена конфігурацією точкових вихорів інтенсивності , визначається з виразу:
Поле швидкості потоку рідини пов’язане з полем функції току рівняннями:
Також проведено аналогію з задачами небесної механіки та представлено теореми про кількість деяких конфігурацій, зокрема колінеарних.
Третій розділ дисертації присвячено пошуку стаціонарних конфігурацій рівномірно намагнічених сталевих голок, що рухаються в рідині. Даний експеримент вперше було відтворено Майєром (1878), і саме завдяки цьому експерименту набула розвитку одна з найцікавіших задач вихрової динаміки про рівномірне обертання систем точкових вихорів.
Слід відмітити, що вперше на аналогію між обертанням вихрових структур та електромагнітними явищами звернув увагу Гельмгольц в своїй визначній роботі, яка поклала початок теорії вихрових рухів (1858). І хоча повної аналогії між плаваючими магнітами та точковими вихорами не існує, все ж таки, результати, знайдені експериментально, мають певну аналогію з чисельними та аналітичними розрахунками. В розділі описано експериментальну установку та представлено основні результати експерименту.
В експерименті декілька намагнічених сталевих голок (експеримент проводився з кількістю голок від 2 до 12) розміщувались в корки та занурювались у посудину з водою діаметром 14-16 см та висотою 12 см. Голки розміщувались таким чином, що всі їх додатні полюси знаходились вище поверхні води. До посудини з намагніченими голками зверху над поверхнею площини води підводився сильний магніт протилежним з голками полюсом. Внаслідок чого додатні полюси намагнічених голок відштовхувались одна від одної з силами, величини яких змінювались обернено пропорційно квадрату відстаней між ними, та утворювали через деякий проміжок часу (1 - 1,2 хв.) нерухомі конфігурації. Коли кількість намагнічених голок менше чотирьох, вони розміщувались у вершинах правильних трикутника та чотирикутника.
Отримані конфігурації намагнічених точкових голок при кількості плаваючих голок від 5 до 10 представлені на рис.1. Видно, що 5 та 6 магнітів можуть знаходиться в вершинах правильних многокутників, як без магніту в центрі многокутника, так і з розміщеним в центрі многокутника магнітом, схематично це можна представити у вигляді 4+1 та 5+1. Конфігурація 7 магнітів розміщується, відповідно до запропонованої схеми, у вигляді 7=6+1. Аналогічно, 8=7+1 та 8=6+2; для 9 магнітів 9=8+1 та 9=7+2; 10 магнітів розташовуються у вигляді 10=7+3 та 10=8+2.
Під час відтворення експерименту були також помічені конфігурації намагнічених голок, що розміщувались несиметричним чином, або симетрично відносно вісі, і перебували у даному положенні деякий час нерухомо (приблизно 10-15 сек.). Потім вони продовжували рухатись та приймали стійке симетричне положення. Деякі з цих „нестійких конфігурацій” зображено на рис.2. З рисунку видно, що помічені положення вихорів мають певну аналогію з чисельно отриманими та представленими в роботі несиметричними конфігураціями точкових вихорів. Зокрема, конфігурація „тимчасово стійких” намагнічених голок (а) аналогічна до чисельно отриманої несиметричної конфігурації семи точкових вихорів 71 (лише повернуту на кут ), а конфігурація (с) – схожа на конфігурацію 91 - несиметричну конфігурацію 9 вихорів. Зрозуміло, що отримані конфігурації є нестійкими, але помічені аналогії з чисельними розрахунками ще раз підтверджують важливість експерименту Майєра для вихрової динаміки.
У четвертому розділі дисертації розглянуто рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів однакової інтенсивності. У цьому випадку рівняння руху вихорів мають вигляд.
Розглядається випадок, коли система точкових вихорів рівномірно обертається навколо центру завихрення з постійною кутовою швидкістю , тому розв’язок системи рівнянь.
Функція току рідини зумовлена конфігурацією точкових вихорів, що обертаються з постійною кутовою швидкістю, приймає вигляд:
В даному розділі запропоновано новий метод для побудови рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності, його чисельна реалізація суттєво спрощує обсяг обчислень при знаходженні нових конфігурацій систем точкових вихорів. Метод базується на розв’язанні нелінійної алгебраїчної системи рівнянь руху точкових вихорів. В якості початкового наближення вибирається стаціонарна конфігурація точкових вихорів та стаціонарна точка потоку рідини в системі координат, що обертається. В стаціонарній точці рідини розміщується точковий вихор, інтенсивність якого, по мірі проведення ітерацій, поступово збільшується від нуля до інтенсивності решти вихорів. При цьому поле швидкостей не зазнає змін. На кожному ітераційному кроці розв’язується нелінійна система алгебраїчних рівнянь порядку , в результаті визначається нова рівномірно-обертова конфігурація з вихором.
Таким чином, для переходу від рівномірно-обертової конфігурації точкових вихорів до системи, що складається з вихору, використовується наступна схема:
1) Вибираємо в якості вихідної системи довільну конфігурацію рівномірно-обертових точкових вихорів.
2) Визначаємо кутову швидкість обертання системи точкових вихорів.
3) Знаходимо в потоці рідини, що розглядається, точки, в яких наведена швидкість збоку вихорів та зовнішнього потоку дорівнює нулеві або має екстремальні значення.
4) В нерухомих точках рідини розміщуємо додатковий точковий вихор інтенсивності та поступово з певним кроком збільшуємо інтенсивність цього вихору до 1. На кожному кроці розв’язується система нелінійних рівнянь відносно невідомих.
5) При розв’язок системи дає нове положення рівномірно-обертової конфігурації системи точкового вихору.
Аналіз системи рівнянь та її розв’язків показує, що нова конфігурація вихорів визначається, в першу чергу, початковим наближенням (конфігурацією точкових вихорів) та вибором точки, в якій розміщується додатковий вихор змінної інтенсивності. Дослідження показали, що стаціонарних точок в рідині може бути декілька, однак не кожна з них може привести до нової конфігурації точкових вихорів. Слід відмітити, що при розв’язанні системи нелінійних рівнянь точковий вихор, спочатку розміщений в різні стаціонарні точки потоку рідини, може потрапляти в одні й ті самі рівномірно-обертові конфігурації систем точкових вихорів.
При чисельній реалізації методу інтенсивність вихору збільшувалась дискретно на кожному кроці розв’язання задачі. При розв’язанні системи рівнянь застосовувався метод Ньютона-Рафсона.
В результаті досліджень сформовано доповнений аналог (фрагмент при), так званого, „Лос-Аламоського каталогу”, який вважається найбільш повним зібранням стійких вихрових конфігурацій для , що розміщуються на вкладених одне в одне концентричних колах (рис.4). Отриманий фрагмент каталогу, принаймні при , відрізняється від вищевказаного наявністю трьох нових конфігурацій 83, 91 та 101. В роботі класифіковано отримані вихрові структури на правильні, полігональні та розміщені по концентричних колах, а також проведено порівняльний аналіз з класами рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів, наведеними в літературі.
Метод знаходження рівномірно-обертових вихрових конфігурацій дозволив також знайти несиметричні вихрові структури, які виникають. Їх кількість збільшується зі збільшенням кількості вихорів (при та по одній конфігурації, при по три конфігурації, при - сім конфігурацій та при - дев’ять конфігурацій). Побудовано каталог несиметричних конфігурацій. Більшість з представлених несиметричних вихрових структур являються новими. Також в роботі побудовано лінії току всіх знайдених рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності.
Таблиця 1. Значення інваріантів руху симетричних конфігурацій
| № | Конфігурація | H1 | I1 | P1 | Q1 | H2 | I2 | P2 | Q2 |
| 1 | 31 | -0,131598 | 2,999912 | 0 | 0 | -0,12812 | 2,91456 | 0 | 0 |
| 2 | 41 | -0,318666 | 6,0025 | 0 | 0 | -0,31376 | 5,88125 | 0 | 0 |
| 3 | 51 | -0,598126 | 10,0004 | 0 | 0 | -0,59516 | 9,92763 | 0 | 0 |
| 4 | 52 | -0,587235 | 9,99824 | 0 | 0 | -0,58089 | 9,84139 | 0 | 0 |
| 5 | 61 | -0,978449 | 15,0088 | 0 | 0 | -0,97531 | 14,9318 | 0 | 0 |
| 6 | 62 | -0,979375 | 15,0005 | 0 | 0 | -0,97286 | 14,839 | 0 | 0 |
| 7 | 71 | -1,47966 | 20,9971 | 0 | 0 | -1,47326 | 20,8384 | 0 | 0 |
| 8 | 81 | -2,09398 | 28,0026 | 0 | 0 | -2,08775 | 27,848 | 0 | 0 |
| 9 | 82 | -2,08098 | 27,9975 | 0 | 0 | -2,07392 | 27,822 | 0 | 0 |
| 10 | 83 | -2,08257 | 28,0044 | 0 | 0 | -2,07392 | 27,7895 | 0 | 0 |
| 11 | 91 | -2,82632 | 35,9983 | 0 | 0 | -2,82035 | 35,8501 | 0 | 0 |
| 12 | 92 | -2,8233 | 35,9958 | 0 | 0 | -2,81691 | 35,8191 | 0 | 0 |
| 13 | 101 | -3,6893 | 45,0015 | 0 | 0 | -3,68155 | 44,8086 | 0 | 0 |
У п’ятому розділі побудовано траєкторії руху всіх отриманих конфігурацій точкових вихорів без збурень та з малими збуреннями початкових координат. Інтегрування проводилось за допомогою методу Рунге-Кутта 4 порядку.
Проведено чисельний аналіз стійкості всіх знайдених рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів Для цього в початкове положення вихорів вносилось мале збурення, таке, що не змінювало положення центру завихрення та мінімально змінювало енергетичні параметри системи точкових вихорів. В таблиці 1 наведено значення інваріантів руху симетричних систем точкових вихорів, що представлені на рис.4; - інваріанти незбурених систем вихорів, - інваріанти збурених систем при значенні збурення початкових координат . Аналогічно в табл.2 представлено значення інваріантів руху несиметричних конфігурацій вихорів (рис.5 та рис.6) при збуренні початкових координат .
Аналіз траєкторій руху показав, що симетричні конфігурації вихорів, представлені в роботі (рис.4), являються стійкими відносно малих збурень початкових
Таблиця 2. Значення інваріантів руху несиметричних конфігурацій
| № | Конфігурація | H1 | I1 | P1 | Q1 | H2 | I2 | P2 | Q2 |
| 1 | 51 | -0,586692 | 10 | 0 | 0 | -0,58663 | 9,99845 | 0 | 0 |
| 2 | 61 | -0,974332 | 15 | 0 | 0 | -0,97426 | 14,9983 | 0 | 0 |
| 3 | 71 | -1,4651 | 21 | 0 | 0 | -1,46503 | 20,9982 | 0 | 0 |
| 4 | 72 | -1,4441 | 21 | 0 | 0 | -1,44403 | 20,9983 | 0 | 0 |
| 5 | 73 | -1,42046 | 21 | 0 | 0 | -1,4204 | 20,9985 | 0 | 0 |
| 6 | 81 | -2,07041 | 28 | 0 | 0 | -2,07034 | 27,9984 | 0 | 0 |
| 7 | 82 | -2,05269 | 28 | 0 | 0 | -2,05263 | 27,9985 | 0 | 0 |
| 8 | 83 | -2,05647 | 28 | 0 | 0 | -2,05638 | 27,998 | 0 | 0 |
| 9 | 91 | -2,82233 | 36 | 0 | 0 | -2,82225 | 35,9982 | 0 | 0 |
| 10 | 92 | -2,78345 | 36 | 0 | 0 | -2,78339 | 35,9987 | 0 | 0 |
| 11 | 93 | -2,80028 | 36 | 0 | 0 | -2,8002 | 35,9979 | 0 | 0 |
| 12 | 94 | -2,78741 | 36 | 0 | 0 | -2,78733 | 35,9981 | 0 | 0 |
| 13 | 95 | -2,79871 | 36 | 0 | 0 | -2,79862 | 35,9977 | 0 | 0 |
| 14 | 96 | -2,75592 | 36 | 0 | 0 | -2,75585 | 35,9982 | 0 | 0 |
| 15 | 97 | -2,80823 | 36 | 0 | 0 | -2,80816 | 35,9983 | 0 | 0 |
| 16 | 98 | -2,78123 | 36 | 0 | 0 | -2,78117 | 35,9984 | 0 | 0 |
| 17 | 101 | -3,67984 | 45 | 0 | 0 | -3,67975 | 44,9977 | 0 | 0 |
| 18 | 102 | -3,65191 | 45 | 0 | 0 | -3,65185 | 44,9985 | 0 | 0 |
| 19 | 103 | -3,64413 | 45 | 0 | 0 | -3,64407 | 44,9984 | 0 | 0 |
| 20 | 104 | -3,65781 | 45 | 0 | 0 | -3,65776 | 44,9987 | 0 | 0 |
| 21 | 105 | -3,65231 | 45 | 0 | 0 | -3,65223 | 44,998 | 0 | 0 |
| 22 | 106 | -3,67236 | 45 | 0 | 0 | -3,67229 | 44,9982 | 0 | 0 |
| 23 | 107 | -3,6799 | 45 | 0 | 0 | -3,67983 | 44,9983 | 0 | 0 |
| 24 | 108 | -3,67847 | 45 | 0 | 0 | -3,67842 | 44,9987 | 0 | 0 |
| 25 | 109 | -3,68155 | 45 | 0 | 0 | -3,68147 | 44,9982 | 0 | 0 |
При цьому встановлено, що включена в, так званий, „Лос-Аламоський каталог” конфігурація 10 вихорів (випадок 3+7) являється нестійкою. І, навпаки, аналогічна конфігурація 10 вихорів (випадок 2+8) виявляється стійкою відносно малих збурень початкових координат.
Всі несиметричні конфігурації, отримані в роботі (рис.5 та рис.6), являються нестійкими відносно малих збурень початкових координат. Починаючи з другого періоду обертання, траєкторії руху незбурених систем вихорів відхиляються більше ніж на 1 порядок по відношенню до траєкторій руху вихорів без збурення початкових координат , тобто вихорі починають рухатись неперіодичним чином.
ВИСНОВКИ
Основні результати дисертаційної роботи сформульовано у такий спосіб:
1) Представлено новий чисельно – аналітичний метод знаходження рівномірно-обертових конфігурацій систем точкових вихорів однакової інтенсивності в ідеальній нев’язкій рідині на необмеженій площині. Метод базується на розв’язанні нелінійної алгебраїчної системи рівнянь руху точкових вихорів, де в якості початкового наближення вибрано стаціонарну конфігурацію порядку та стаціонарну точку потоку рідини в системі координат, що обертається з постійною кутовою швидкістю, рівною кутовій швидкості обертання вихрової системи порядку. Представлений метод дозволяє визначити як стійкі, так і нестійкі конфігурації рівномірно-обертових систем однакових точкових вихорів.
2) Сформовано доповнений аналог (фрагмент при ), так званого, „Лос-Аламоського каталогу”, який вважається найбільш повним зібранням стійких вихрових конфігурацій для , що розміщуються на вкладених одне в одне концентричних колах (рис.4). Отриманий фрагмент каталогу, принаймні при , відрізняється від вищевказаного наявністю трьох нових конфігурацій 83, 91 та 101. В роботі класифіковано отримані вихрові структури та проведено порівняльний аналіз з класами рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів, наведеними в літературі. Суттєвою відмінністю від знайдених в літературі рівномірно-обертових конфігурацій вихорів являється наведення точних (до десятого порядку малості) початкових координат в декартовій системі координат як для симетричних, так і для несиметричних вихрових структур.
3) Знайдено ряд несиметричних вихрових структур. Побудовано каталог несиметричних конфігурацій при (рис.5 та рис.6). Більшість з представлених несиметричних вихрових структур являються новими.
4) Побудовано траєкторії руху отриманих рівномірно-обертових систем точкових вихорів без початкового збурення та з малим збуренням початкових координат.
5) Проведено чисельний аналіз стійкості всіх представлених рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів. Показано, що всі симетричні конфігурації вихорів, представлені на рис.4, являються стійкими відносно малих збурень початкових координат. Всі несиметричні конфігурації (рис.5 та рис.6), являються нестійкими відносно малих збурень початкових координат.
6) Побудовані в роботі каталоги симетричних та несиметричних конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності відіграють важливу роль та дозволяють сформувати ряд нових задач вихрової статики. Зокрема, несиметричні вихрові структури являються досить цікавою та новою задачею, їх можна використовувати в якості початкового наближення при побудові нових розв’язків системи рівнянь руху точкових вихорів в ідеальній нестисливій рідині на необмеженій площині.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Губа А.О., Гуржій О.А., Мелешко В.В. Рівномірно-обертові конфігурації точкових вихрів // Вісник Київського Університету. - Серія фіз.-мат. науки. - 2006. - Вип.1. - С.100-104.
2. Губа А.О. Про особливості одного алгоритму знаходження рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів // Вісник Київського Університету. – 2007. – Т.18. – С.103-106.
3. Ареф Х., Мелешко В.В., Губа А.А., Гуржий А.А. Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей // Прикладна гідромеханіка. – 2007. – Т.9, №2-3. – С.5-24.
4. Мелешко В.В., Губа А.А. Равномерно вращающиеся конфигурации точечных вихрей // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: Зб. наук. пр. – Донецк: Юговосток, 2006. - С. 250-252.
5. Губа А.О. Дослідження стійкості розв’язків нелінійних диференціальних рівнянь руху однакових точкових вихорів // Dynamical system modeling and stability investigation (DSMSI): Міжнар. конфер. КНУ імені Т.Шевченка, 22-25 травня 2007. – К., 2007. – С. 39.
6. Guba A. Stability of uniformly rotating configurations of point vortices // Euler Equations: 250 Years On (EE 250), - Aussois, France, June 18-23 2007. – Poster session. – http://www.oca.eu/etc7/EE250/abstracts/GUBA.pdf.
7. Guba A.O., Meleshko V.V. Stability of uniformly rotating configurations of point vortices // Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій: Міжнар. наук.-техн. конфер. пам’яті академіка НАН Україна В.І.Моссаковського (1919-2006), 17-19 жовтня 2007 р. – Дніпропетровськ, 2007. – С. 173-174.
АНОТАЦІЇ
Губа А.О. Стаціонарні та рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.05 – механіка рідини, газу та плазми, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.
Дисертація присвячена знаходженню стаціонарних та рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності в ідеальній нестисливій рідині на необмеженій площині.
В роботі представлено новий метод знаходження рівномірно-обертових конфігурацій систем точкових вихорів однакової інтенсивності . Метод базується на розв’язанні нелінійної алгебраїчної системи рівнянь руху точкових вихорів. Представлений метод дозволяє визначити як стійкі, так і нестійкі конфігурації точкових вихорів на площині.
Побудовано каталог симетричних конфігурацій точкових вихорів при . Класифіковано отримані вихрові структури на правильні, полігональні та розміщені по концентричних колах Проведено порівняльний аналіз з класами рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів, наведеними в літературі.
За допомогою запропонованого методу знайдено ряд несиметричних вихрових структур. Побудовано каталог несиметричних конфігурацій при . Більшість з представлених несиметричних вихрових структур являються новими. Наведено всі точні початкові координати вихорів в декартовій системі координат як для симетричних, так і для несиметричних рівномірно-обертових вихрових структур.
Побудовано траєкторії руху всіх отриманих конфігурацій точкових вихорів без початкового збурення та з малим збуренням початкових координат. Інтегрування проводилось за допомогою методу Рунге-Кутта.
Проведено чисельний аналіз стійкості всіх представлених рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів. Показано, що всі симетричні конфігурації вихорів, представлені на рис.4, являються стійкими відносно малих збурень початкових координат. Всі несиметричні конфігурації (рис.5 та рис.6), являються нестійкими відносно малих збурень початкових координат.
Ключові слова: точковий вихор, стаціонарні та рівномірно-обертові конфігурації, інтенсивність, метод Рунге-Кутта, траєкторії руху, стійкість, збурення початкових координат.
АННОТАЦИЯ
Губа А.А. Стационарные и равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей. – Рукопись.
Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы, Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Киев, 2008.
Диссертация посвящена нахождению стационарных и равномерно-вращательных конфигураций точечных вихрей равной интенсивности в идеальной несжимаемой жидкости на неограниченной плоскости.
В работе представлено новый метод нахождения равномерно-вращательных конфигураций систем точечных вихрей одинаковой интенсивности, который основан на решении нелинейной алгебраической системы уравнений движения точечных вихрей. В качестве начального приближения выбирается стационарная точка потока жидкости. В эту стационарную точку помещается точечный вихрь, интенсивность которого, по мере проведения итераций, постепенно увеличивается от нуля до интенсивности остальных вихрей конфигурации. На каждом итерационном шаге решается нелинейная система алгебраических уравнений порядка , в результате определяется новая равномерно-вращательная конфигурация точечных вихрей с вихрем. Представленный метод позволяет определить как устойчивые, так и неустойчивые конфигурации точечных вихрей на плоскости.
Построено каталог симметричных конфигураций точечных вихрей. Полученные вихревые структуры классифицированы на правильные, полигональные и расположенные по концентрическим окружностям. Проведено сравнительный анализ с классами равномерно-вращательных конфигураций точечных вихрей, представленными в литературе.
С помощью предложенного метода найдено ряд несимметричных вихревых структур. Построено каталог несимметричных конфигураций при . Большинство из представленных несимметричных вихревых структур являются новыми. Приведены все точные начальные координаты вихрей в декартовой системе координат как для симметричных, так и для несимметричных равномерно-вращательных вихревых структур.
Построены траектории движения всех полученных конфигураций точечных вихрей без начального возмущения и с малым возмущением начальных координат. Интегрирование проводилось с помощью метода Рунге-Кутта.
Найдено энергетические параметры систем точечных вихрей без возмущения начальных координат и с возмущениями. Показано, что 2 из 4 параметров не изменяются под действием возмущений, остальные изменяются минимально.
Проведено численный анализ устойчивости всех представленных равномерно-вращательных конфигураций точечных вихрей. Показано, что все симметричные конфигурации вихрей, представленные на рис.4, являются устойчивыми относительно малых возмущений начальных координат. Все несимметричные конфигурации (рис.5 и рис.6), являются неустойчивыми относительно малых линейных возмущений начальных координат.
Ключевые слова: точечный вихрь, стационарные и равномерно-вращательные конфигурации, интенсивность, метод Рунге-Кутта, траектории движения, устойчивость, возмущения начальных координат.
ABSTRACT
Guba A.O. Stationary and uniformly rotating configurations of point vortices. – Manuscript.
Thesis for the Candidate’s Degree in Physics and Mathematics by specialty: 01.02.05 - Mechanics of liquid, gas and plasma, Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2008.
This thesis is devoted to the searching of stationary and uniformly rotating configurations of point vortices of identical intensity in an ideal incompressible fluid on an unbounded plane.
A new method for finding uniformly rotating configurations of systems of point vortices of identical intensity is presented. The method is based on solving the nonlinear algebraic system of equations of motion of point vortices, which allows defining both steady and unsteady point vortex configurations on a plane.
A catalogue of symmetric configurations of point vortices is listed. The vortex structures classified on correct, polygonal and placed on concentric circles. A comparative analysis is conducted with classes of uniformly rotating point vortex configurations as found in the literature.
By applying this new method, a series of asymmetrical vortex structures was found, which are listed in a catalogue. The majority of the presented asymmetrical vortex structures is new. All of exact initial co-ordinates of vortices are resulted in the cartesian system of co-ordinates both for symmetric and for asymmetrical uniformly rotating vortex structures.
By the method of Runge-Kutta the trajectories of the point vortex configurations are established both without initial perturbations and with small perturbations of the initial positions.
The numerical analysis of Routh’s stability is conducted for all of the presented uniformly rotating point vortex configurations. It is shown that all the symmetric point vortex configurations, presented in Fig.4, are stable when subjected to small perturbations. All asymmetrical configurations (Fig.5 and Fig.6) are unstable with respect to small perturbations of the initial vortex positions.
Key words: point vortex, stationary and uniformly rotating configurations, intensity, Runge-Kutta`s method, trajectories of motion, stability, perturbations of the initial vortex positions.
0 комментариев