Математические методы в экономике

Содержание

Задание 1

Задание 2

Список литературы

Задание 1

Стоимостной МОБ включает пять отраслей:

1.  тяжелая промышленность;

2.  легкая промышленность;

3.  строительство;

4.  сельское и лесное хозяйство;

5.  прочие отрасли.

1) Необходимо составить плановый МОБ, если спрос на конечную продукцию на следующий год по всем отраслям увеличится на (4+n)%.

2) Проследить эффект распространения, вызванный увеличением спроса на продукцию тяжелой промышленности дополнительно на (2+n/2)%.

3) Определить равновесные цены в предположении (4+n/3)%-го роста заработной платы по каждой отрасли. Проследите эффект распространения, вызванный дополнительным ростом заработной платы в легкой промышленности на 5% (считайте, что доли заработной платы в добавленной стоимости по отраслям соответственно равны 0,5, 0,517, 0,499, 0,345, 0,547).

  Таблица 1 - Таблица межотраслевых потоков

	1	2	3	4	5
1	46,07	3,28	17,64	6,19	4,82
2	3,92	38,42	0,84	0,86	2,25
3	0	0	0	0	0
4	0,52	27,22	1,01	16,18	0
5	16,08	10,1	4,73	0,34	0,4

  Таблица 2 - Таблица конечных продуктов

1	48,18
2	91,16
3	43,8
4	28,33
5	3,04

Таблица 3 - Таблицы стоимости фондов и затрат труда

Стоимость фондов	200	110	130	250	80
Стоимость затрат труда	100	80	50	35	33

Решение:

Введем следующие обозначения:

– общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли;

– объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью (i, j = 1, 2, ... п);

– объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления.

Тогда

Перепишем эту систему уравнений

введя коэффициенты прямых затрат . Обозначим Х – вектор валового выпуска, Y – вектор конечного продута, А = (а_ij) – матрица прямых затрат, (i, j = 1, 2, ... п). Тогда соотношения баланса перепишутся в матричном виде:  Это соотношение называется матричным уравнением Леонтьева.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании таково вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Перепишем последнее уравнение в виде  

Если  то решение задачи межотраслевого баланса записывается  

Матрица  называется матрицей полных затрат.

Представим исходные данные задачи в виде одной таблицы – матрицы межотраслевого баланса:

	ОТРАСЛЬ	1	2	3	4	5	Конечный продукт	Валовой продукт
1	тяжелая промышленность	46,07	3,28	17,64	6,19	4,82	48,18	126,18
2	легкая промышленность	3,92	38,42	0,84	0,86	2,25	91,16	137,45
3	строительство	0	0	0	0	0	43,8	43,8
4	сельское и лесное хозяйство	0,52	27,22	1,01	16,18	0	28,33	73,26
5	прочие отрасли	16,08	10,1	4,73	0,34	0,4	3,04	34,69

1) Матричные вычисления произведем с помощью пакета Excel. Итак, матрицы

.

Матрица полных затрат

По условию задачи, спрос по всем отраслям должен увеличиться на 8%, т.е. вектор конечного продукта должен стать .

Тогда искомый вектор валового выпуска

Составим новую матрицу межотраслевого баланса (с точностью до второго знака после запятой). Для этого воспользуемся формулами:

;

;

;

.

Промежуточные вычисления (с точностью до 2-го знака после запятой:

=.

После чего новая матрица межотраслевого баланса будет выглядеть:

	ОТРАСЛЬ	1	2	3	4	5	Конечный продукт	Валовой продукт
1	тяжелая промышленность	60,438	74,404	58,72	72,679	71,33	3875,28	4212,85
2	легкая промышленность	43,375	35,122	43,712	45,307	43,227	4424,46	4635,2
3	строительство	0	0	0	0	0	3804,54	3804,54
4	сельское и лесное хозяйство	43,828	34,105	43,825	40,993	43,092	4380,10	4585,94
5	прочие отрасли	25,413	28,346	24,929	30,096	28,756	4350,89	4488,43

 

2) Проследить эффект распространения, вызванный увеличением спроса на продукцию тяжелой промышленности дополнительно на 6%, т.е. конечный продукт станет равным

.

В результате этого изменения эффект распространения будет заключаться в том, что новый вектор валового выпуска будет иметь вид

Для нахождения эффекта распространения привлечем уравнение для цен:

P = A^T P + v, откуда P = (E – A^T)^-1v.

Обратная матрица Леонтьева (E – A^T)^-1 – ценовой матричный мультипликатор – матричный мультипликатор ценового эффекта распространения.

Этот мультипликатор эффекта распространения найдем с помощью пакета Excel, сначала транспонируя матрицу А, затем отнимая ее от единичной матрицы и находя обратную матрицу. Проводя эти вычисления, получим:

.

Этот результат в качестве промежуточного будет использован в следующем пункте при расчете равновесной цены.

3) Отношение v_j = V_j/X_j – называют долей добавленной стоимости, а вектор v = (v₁,…,v_n) – вектор долей добавленной стоимости. В матричном виде уравнение для цен будет иметь следующий вид

P = A^T P + v.

Решая уравнение это относительно Р, получим

P = (E – A^T)^-1v.

По условию задачи, вектор v = (0,5, 0,517, 0,499, 0,345, 0,547).

Тогда, с помощью пакета Excel, найдем равновесные цены:

.

При этом эффект распространения, вызванный дополнительным ростом заработной платы в легкой промышленности на 5% (считая, что доли заработной платы в добавленной стоимости по отраслям соответственно равны 0,5, 0,517, 0,499, 0,345, 0,547) дается мультипликатором эффекта распространения:

.

  Задание 2

Условие задания:

Имеются данные экономического развития США за 1953-1974 гг.

Год	Валовой национальный продукт, млрд. долл.	Объем загруженного капитала, млрд. долл	Количество отработанных часов, млрд. час.
1953	623,6	380,53	136,07
1954	616,1	354,20	131,12
1955	657,5	400,66	134,16
1956	671,6	415,15	136,04
1957	683,8	418,83	134,77
1958	680,9	384,87	130,44
1959	721,7	431,04	133,87
1960	737,2	435,65	134,99
1961	756,6	432,28	134,25
1962	800,3	471,65	137,36
1963	832,5	499,75	138,72
1964	876,4	535,09	141,00
1965	926,3	593,96	145,39
1966	984,4	644,26	150,88
1967	1011,4	647,58	152,67
1968	1058,1	628,43	155,51
1969	1087,6	711,58	159,20
1970	1085,6	628,06	156,49
1971	1122,4	696,74	155,85
1972	1185,9	770,96	159,56
1973	1255,0	850,63	165,41
1974	1248,0	848,39	165,51

Необходимо определить:

1.  Параметры А, a и b степенной производственной функции;

2.  Расчетные значения ВНП;

3.  Оценить точность полученной модели;

4.  Эластичность выпуска и производства;

5.  Для 1974 года построить изокванту и изоклинали.

Решение:

1. Определение параметров А, a и b степенной производственной функции проведем с помощью пакета Excel. Будем искать параметры производственной функции в виде , где , причем a и b положительные.

Сначала исследуем зависимость . С помощью пакета Excel получим:

Из соображений  примем вид степенной производственной функции:

.

2. С помощью пакета Excel найдем расчетные значения ВНП:

Год	Валовой национальный продукт, млрд. долл.	Объем загруженного капитала, млрд. долл	Количество отработанных часов, млрд. час.	Расчет ВНП	отклонение расчета от факта
1953	623,6	380,53	136,07	855,3352	231,7352
1954	616,1	354,2	131,12	816,2174	200,1174
1955	657,5	400,66	134,16	857,6237	200,1237
1956	671,6	415,15	136,04	874,7891	203,1891
1957	683,8	418,83	134,77	870,5739	186,7739
1958	680,9	384,87	130,44	830,7576	149,8576
1959	721,7	431,04	133,87	872,6536	150,9536
1960	737,2	435,65	134,99	880,6296	143,4296
1961	756,6	432,28	134,25	875,189	118,589
1962	800,3	471,65	137,36	910,9795	110,6795
1963	832,5	499,75	138,72	931,7497	99,24966
1964	876,4	535,09	141	960,2843	83,88431
1965	926,3	593,96	145,39	1009,978	83,67786
1966	984,4	644,26	150,88	1061,032	76,63217
1967	1011,4	647,58	152,67	1072,016	60,6156
1968	1058,1	628,43	155,51	1078,676	20,57574
1969	1087,6	711,58	159,2	1134,152	46,55247
1970	1085,6	628,06	156,49	1083,671	-1,92939
1971	1122,4	696,74	155,85	1109,87	-12,53
1972	1185,9	770,96	159,56	1160,042	-25,8576
1973	1255	850,63	165,41	1223,118	-31,8823
1974	1248	848,39	165,51	1222,84	-25,1598

3. Оценим точность полученной модели, для этого выполним графическое представление результатов вычислений.

Как можно видеть из табличных значений и графического представления, расчетные значения, по крайней мере, повторяют тенденцию фактических значений с ошибкой порядка ±7%.

4. Оценим эластичность производственной функции по объему загруженного капитала и количеству отработанных часов, т.е. эластичность функции z по переменной х и эластичность функции z по переменной у.

В общем виде эластичность степенной производственной функции от двух переменных будет выглядеть следующим образом:

;

.

Для рассматриваемой функции:

.

.

Таким образом, ВНП пропорционален коэффициентам a и b, но не коэффициенту А.

5. Для 1974 года построим изокванту и изоклинали.

Графическое изображение функции представлено изоквантой. Она подобна кривой безразличия, только отличие состоит в том, что изокванта количественно определена. Объем выпуска, соответствующий конкретной изокванте может быть достигнут при различном сочетании капитала и труда.

Итак, для 1974 года уравнение для построения изокванты выглядит:

.

Отсюда .

Изокванта выглядит:

Изоклиналь :

Изоклиналь :

Список литературы

1.  «Математическая статистика» Л.Н. Павлова, Юнити-Дана, 2003 г., 269с.

2.  «Теория вероятностей и математической статистики для экономистов», Морошкин В.А., Финансы и статистика, 2004 г., 112с.

3.  «Система национальных счетов», В.В. Ковалев, Финансы и статистика, 2001 г., 144с.

4.  Семенов С.Д. «Экономическая теория», Финансы и статистика, 2000 г., 768с.

5.  «Теория вероятности и математическая статистика. Учебное пособие для ВУЗов» Гмурман В.Е., Высшая школа, 2000г., 479с.