Распределение Ландау

Введение

Математическое моделирование процессов взаимодействия ионизирующего излучения с объектами сложной геометрии и внутренней структуры имеет важное значение во многих приложениях. В частности, в рамках задач рентгеновской диагностики материалов и конструкций требуется определить и исследовать рентгеновские изображения объектов, а при изучении электромагнитного воздействия проникающего излучения необходимо проанализировать распределение потоков релятивистских электронов, возникающих в результате взаимодействия ионизирующего излучения с материалами объектов.

Математическое моделирование процессов трансформации проникающего излучения в материалах объектов проводилось в большом количестве научных работ. В одних работах используются и развиваются сеточные методы решения уравнения переноса излучения. В других разрабатываются вычислительные алгоритмы, основанные на статистическом моделировании методом Монте-Карло процессов переноса и взаимодействия излучения с веществом. Преимущество метода Монте-Карло перед альтернативными методами, основанными на численном решении кинетического уравнения, определяется удобством и приспособленностью этого метода к решению сложных граничных задач в многокомпонентных средах.

1. Основная часть

В данной работе будет рассматриваться взаимодействие электронов с веществом.

Прохождение пучка эл-в с энергией Е0 через образец сопровождается многообразными явлениями, часть из которых схематично изображена на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Основные процессы при взаимодействии с веществом

Среди них – прежде всего рассеяние и дифракция электронов, генерация рентгеновского излучения, фотонов низкой энергии и другие процессы. Интенсивность процесса характеризуется сечением процесса, обозначаемым σ и имеющим размерность. Если образец имеет толщину t, плотность атомов N, плотность ρ, и атомный вес A, то интенсивность процесса, скажем, рассеяния, будет

QТt = NtσT = N0σТρt/A,

где N0 – число Авогадро. Значок T означает интенсивность полного или интегрального сечения, в отличие от дифференциального, описывающего угловое распределение,

dσ/dΩ = (1/(2πsinθ)) dσ/dθ.

Вместо сечения, имеющего размерность площади, часто используют среднюю длину пробега между последовательными актами взаимодействия (mean free path), приводящими к наблюдаемому процессу

Λ = 1/Q = A/(N0σρ).

В данной работе стоит задача о рассеянии электронов, поэтому рассмотрим данный процесс более подробно.

Для типичных толщин образцов (100 нм), большинство электронов проходят его не испытав рассеяния (unscattered electrons), либо испытав один акт столкновения (single scattering), кратное число (1<n<20) столкновений (plural scattering) или многократное (n>20) рассеяние (multiple scattering). Столкновения бывают упругими и неупругими.

Упругое рассеяние (elastically scattered electrons). Упругие столкновения – это такие, при которых энергия не расходуется на возбуждение атомов среды. Направление движения электрона может изменяться, но энергия практически не изменяется, т.е. Е ≈ Е0. Мы будем разделять упругое рассеяние на изолированном атоме и на системе атомов.

Упругое рассеяние на изолированном атоме. Проходя мимо атома на большом удалении от него, эл-н взаимодействует с эл-нами внешней оболочки и испытывает рассеяние на небольшой угол. Если же эл-н налетает на атом с малым прицельным параметром, то рассеяние может быть на большой угол, вплоть до 180º. С большой вероятностью электрон будет рассеян вперед, однако имеется малая вероятность рассеяния на большой угол (>90º). Упругое рассеяние на малые углы обычно вызвано рассеянием на электронах, а на большие углы – на ядрах.

Обратнорассеянные эл-ны имеют энергию, близкую к начальной и несут информацию о поверхности. Поскольку рассеяние никогда не является истинно упругим (как минимум, эл-н испускает тормозное излучение), то разделение на упругое и неупругое рассеяние является достаточно условным.

Сечение упругого рассеяния описывается формулой Резерфорда:

dσ(θ)/dΩ = e4Z2/[16E02sin4 (θ/2)]

Проинтегрировав по углу от 0 до π, для интегрального сечения будем иметь: σn = 1.62 10–24 (Z/E0) 2cot2 (θ/2).

Здесь сечение не учитывает электронную экранировку заряда ядра. Помимо этого, оно для нерелятивистских скоростей. Экранировку учитывают введением параметра Бора a0=4πħ2ε0/(m0e2)= 0.0529 нм, где ε0 – диэлектрическая константа, и введением поправки на экранирование.

Релятивизм эл-в учитывают введением соответствующей поправки для длины волны электрона

λ = 2πħ/{2m0E0 [1+E0/(2m0c2)]}1/2

В результате для дифференциального сечения получаем

dσ(θ)/dΩ=λ4 Z2/{64π4 (a0) 2 [sin2 (θ/2)+(θ0/2)2]2

Это т.н. экранированная релятивистская формула Резерфорда, хорошо работающая до энергий 300–400 кэВ и для Z<30. Важно помнить, что сечение рассеяния (σ, Q) эл-нов уменьшается с ростом энергии Е0.

Упругое рассеяние на системе атомов в отличие от классического корпускулярного подхода, описывается в рамках волнового механизма взаимодействия. Формула Резерфорда, даже с поправками на экранировку и релятивизм не могут точно описать процесс рассеяния, поскольку она игнорирует волновую природу электронов.

В волновом подходе взаимодействие описывается амплитудой, или фактором атомного рассеяния, который соотносится с дифференциальным сечением как

|f(θ)|2 = dσ(θ)/dΩ.

Именно волновому характеру электронов обязано такое явление как дифракция.

Неупругое рассеяние. Энергия таких электронов (inelastically scattered electrons) Е<Е0 – (energy loss electrons) теряется на а) коллективное взаимодействие с многими атомами; б) генерацию процессов, приводящих к вылету вторичных электронов; в) генерацию рентгеновских лучей (рис. 1.1). На следующем рисунке представлено Сечение различных процессов неупругого рассеяния в Al в зависимости от энергии эл-в, предполагая малоугловое рассеяние (θ~00). Р-возбуждение плазмонов; K, L – ионизация К- и L – оболочек, генерация быстрых (FSE) и медленных электронов (SE). Для сравнения приведено также сечение упругого рассеяния (Е).

2. Постановка задачи

Необходимо найти распределение по энергии частиц, прошедших путь l. P (Δ|l) – распределение частиц по потерям энергии на пути l. Уравнение для функции P (Δ|l) имеет вид:

(∂/ ∂l) P (Δ|l) + Σ(E₀ – Δ) P (Δ|l) – ₀∫^∆Σ_s(Q; E₀ – Δ + Q) P (∆ – Q|l) dQ = 0; P (Δ|l)|_l=0 = δ(∆), где

Σ_s(Q; E) – дифференциальное по переданной энергии Q сечение рассеяния,

∆= E₀ – E.

Приближенным решением данного уравнения является

P (Δ|l)=(1/ξ)φ(λ),

где ξ – начальная энергия частиц, φ(λ) – универсальная функция Ландау.

В основе решения представленной задачи используется метод Монте-Карло.

Метод Монте-Карло в задачах переноса частиц в веществе сводится к построению большого числа траекторий частиц, представляющих некоторые ломаные линии, прямолинейные участки которых соответствуют свободным пробегам до столкновений. Свободный пробег, результат столкновения (поглощение или рассеяние), а также характеристики электрона после столкновения (энергия и направление движения рассеянной частицы) разыгрываются из соответствующих вероятностных распределений. Результаты выборки из конечного числа траекторий обрабатываются статистическими методами. Результатом моделирования является распределение частиц, вылетевших из объекта, по энергии и направлению движения.

3. Алгоритм решения поставленной задачи

Проводится розыгрыш равномерно распределенной случайной величины γ в интервале (0,1) для определения потерь энергии частицы.

Рассчитывается начальная скорость частицы по формуле:

V²=c²(1-m²c⁴/(E+ mc²)²)

Рассчитывается минимальная потеря энергии одной частицей:

Q’=exp(V²/c²) I²(1 – V²/c²)/2mV²,

где I – ионизационный потенциал атома (для алюминия I=13,5Z эВ=175,5)

Потери энергии частицей:

Q=1/((1/Q’)-γ (1/Q’ – 1/E))

Полное сечение:

Σ(E)= (1/Q’ – 1/E) k(mc²+E)²/ mc²(2 mc²E+ E²),

где k – константа, зависящая от параметров вещества (в данном случае алюминий)

k=2πρN_АZr_e²mc⁴/M

π – число Пи 3,14

ρ – Плотность алюминия 2,7 г/см³

N_А – число Авогадро 6e23 моль

Z – порядковый номер алюминия в таблице Менделеева 13

r_e – 2.818e^-13 см – классический радиус электрона

M – молярная масса алюминия 27 г/моль

mc² – энергия покоя электрона 0.511e⁶

с – скорость света 299792458 м/c

Проводиться розыгрыш равномерно распределенной случайной величины γ для определения длины пробега электрона.

Расчет длины пробега электрона:

L= – lnγ/ Σ(E)

Частицы регистрируются в заданной координате

Z*(Z*₁=Lmax/100, Z*₂=Lmax/10,

Lmax – максимальный пробег частицы). После чего частицы, дошедшие до данной точки, распределяются по потерям энергий с шагом в 1Кэв.

Заключение

В процессе работы алгоритм был реализован на языке программирования C++. По полученным данным были построены соответствующие графики для разных значений точки регистрации частиц, а также графики распределения Ландау. По графику распределения частиц по потерям энергии для расстояния Z*₂, можно утверждать, что полученные данные сходятся с теоретическими в определенных значениях. Для сравнения график распределения частиц по потерям энергии для расстояния Z*₁. Погрешности в данной работе носят систематический характер.

Список литературы

1.  М.Е. Жуковский, М.В. Скачков. «Статистические модели электронной эмиссии. Модель «Утолщенных траекторий»». М.: Препринт, Институт прикладной математики РАН, 2007.

2.  A.M. Кольчужкин, В.В. Учайкин. «Введение в теорию прохождения частиц через вещество». М.: Атомиздат 1978.

3.  И.М. Соболь «Метод Монте-Карло». М.: Наука 1968.

4.  Лекции Научно-исследовательского института ядерной физики им. Д.В. Скобельцына.

Приложение

P (Δ|l) – распределение частиц по потерям энергии на пути l.

Δ – потери энергии, КэВ.