Дослідження властивостей технологічного агрегата як многомірної системи

Розрахунково-пояснювальна записка

До курсової роботи з основ теорії систем та системного аналізу:

Дослідження властивостей технологічного агрегата як многомірної системи

Одеса - 2010

1. Еквівалентні та апроксимаційні перетворення моделі 1.1 Нелінійна модель агрегату

На прикладі розглянемо конкретну технічну систему - змішувальний бак:

Рисунок 1. Модель бака.

F₁,F₂,F - витрати рідини на притоці і витоці системи, м³/с;

C₁,C₂,C - концентрація на витоці і притоці системи, кмоль/м³;

h - рівень рідини в бакові, м; S - площа бака, м²;

V - об'єм рідини в бакові, м³;

Запишемо рівняння системи в стаціонарному (встановленому) стані, коли притік дорівнює витоку (рівняння матеріального балансу):

F₁₀+F₂₀-F₀=0; C₁,

де індекс 0 означає встановлений стан.

Записавши умови балансу кінетичної і потенціальної енергії на виході із бака

,

де

p - густина рідини, кг/м³;

w - швидкість витоку, м/с;

q - прискорення вільного падіння,q=9.81 м/с²;

і припускаючи, що

d - діаметр вихідного трубопроводу, м.

Одержимо:

 чи, відповідно,

, де

k - коефіцієнт.

При зміні витрат у системі відбувається накопичення речовини і перехід до нового встановленого стану. Цей перехідний процес описується диференціальними рівняннями

де dv/dt - приріст об'єму рідини,  - приріст маси рідини.

Наведемо цю систему у стандартному вигляді:

Позначимо:

− зміна у часі відхилення витрати від номінального щодо першого каналу

 − теж щодо другого каналу

 − зміна у часі відхилення об'єму від номінального у бакові;

− відхилення концентрації від номінальної;

 - зміна втрати на виході;

 - зміна концентрації на виході.

1.2 Нелінійна модель в стандартній формі

Розглянемо поповнення бака від 0 до номінального значення витрати з урахуванням приросту поданого лінеаризованій моделі. Таким чином, розглянемо стрибок u₁=0,03; u₂=0.

Позначивши , рівняння бака запишемо у вигляді системи:

  

Перше рівняння є нелінійним зі змінними що розділяються

З урахуванням того, що  запишемо:

,

чи підставляючи

Виразимо

Підставляємо  та

Таблиця 1.

y1	0.141	0.142	0.143	0.144	0.145	0.146	0.147	0.148	0.149	0.150	0.151
t, с	0	1.5	3.188	5.116	7.357	10.026	13.315	17.585	23.643	34.072	68.958

1.3 Отримання квадратичної моделі

Рівняння квадратичної моделі має вигляд:

Матриці з підстановкою номінального режиму:

1.4 Запис білінійної моделі

 

1.5 Лінеаризована модель

Лінеаризуємо залежність , розклавши її на ряд Тейлора.

  

З урахуванням раніше викладеного запишемо:

; (т.к ), где ;

Припустивши у випадку остатку . Тоді підставивши похідну , отримаємо

;

В результаті маємо

Представивши цю систему в матричній формі:

Тоді матриці А і В запишуться в вигляді

,

Для визначення матриці С необхідно встановити зв'язок між векторами x и y. Оскільки , , то

;  , то

Тоді

Система буде мати вигляд

Коефіцієнти моделі системи:

  

1.6 Модель в дискретному часі

система в дискретному часі має вид:

dt=14,89 c.

Таким чином

Задавшись , , тоді

Результати подальших ітерацій представлено в таблиці:

Таблиця 3.

Збурення	Реакція виходу системи y (t)
u1=0 u2=0,01	y1 y2	0 0	0,003298 0,00452	0,005299 0,00469	0,00773 0,006183	0,006512 0,006795	0,00725 0,00702	0,00769 0,00713
час t, с		0	14,894	29,787	44,681	59,574	74,468	89,362

1.7 Перетворення моделі у форму Ассео

   

 

1.8 Обчислення МПФ системи

; ; ; n=2; i=1;

Таким чином

1.9 Структурні схеми системи в початковій формі, формі Ассео, ЗЗП

 

Рисунок 2. Структурна схема системи в початковій формі.

  

Рисунок 3. Структурна схема системи в формі Ассео.

  

Рисунок 4. Структурна схема системи у зовнішньозв'язанному поданні.

1.10 Лінеаризована модель в непереривному і дискретному часі з датчиками і ВМ

a) в непереривному часі

  

Рисунок 5. Структурна схема системи в неперервному часі з датчиками і ВМ.

 

б) в дискретному часі

Рисунок 6. Структурна схема системи в дискретному часі з датчиками і ВМ.

 

1.11 Умова правомірності децентралізації

Система в формі Ассео:

 

, ,,

Спектральна норма матриці , тобто максимальне сингулярне число матриці:

, .

Спектральна норма матриці F:

Тоді:

Похибка складає:

Можна допустити, що децентралізація є допустимою.

2. Аналіз якісних властивостей системи

А)  

Матриця являється гурвіцевою.

Б)

max s1 (A) =||A||2=0.067<1

Відповідно, матриця А є нільпотентною.

Перевірити, чи є система (А, В, С) сталою, керованою, спостережною, ідентифікованою з вектором-стовпцем х = (1; 1.25), параметрично інваріантною, мінімально фазовою, розчеплюваною, мінімально.

А) сталість:

Відповідно система являється сталою.

Відповідно система являється сталою.

Б) керованість:

;  

По першому входу:

Система керована по першому входу.

По другому входу:

Система керована по другому входу.

В) спостережність:

Система спостережна.

Г) ідентифікованість:

Система є ідентифікована.

Д) параметрична інваріантність:

Система не інваріантна відносно відхилення dA.

Система не інваріантна відносно відхилення dB.

 

Система не інваріантна відносно відхилення dС.

Е) мінімальнофазовість і астатичність:

  

система являється мінімально фазовою і статичною.

Ж) розчеплюваність:

 det=0.016

Система є розчеплюваною.

3. Дослідження процесів в системі і аналіз кількісних властивостей системи 3.1 Побудова графіків розгінних кривих непереривної системи

Побудова графіку розв'язання у (t) для системыи {А, В, С}, якщо

 и

 

Таблиця 4.

Збурення	Реакція виходу системи y (t)
u1=0,01 u2=0	y1 y2	0 0	0,00435 0,00445	0,00681 0,00609	0,00820 0,0067	0,00898 0,00692	0,00942 0,00700	0,00967 0,00703
u1=0 u2=0,01	y1 y2	0 0	0,00435 0,037	0,00681 0,051	0,00820 0,056	0,00898 0,058	0,00942 0,059	0,00967 0,059
час t, с		0	14,3	28,6	42,9	57,2	71,5	85,8

Рисунок 7. Розгінна крива витрати рідини для неперервної системи при збуренні 0 і 0,01.

Рисунок 8. Розгінна крива концентрації для неперервної системи при збуренні 0.

Рисунок 9. Розгінна крива концентрації для неперервної системи при збуренні 0,01.

3.2 Побудова графіків кривих разгону дискретної системи

Система в дискретному часі має вид:

dt=14,89 c.

Таким чином

Задавшись , , тоді

Результати подальших ітерацій представлено в таблиці:

Таблиця 5.

Збурення	Реакція виходу системи y (t)
u1=0 u2=0,01	y1 y2	0 0	0,003298 0,00452	0,005299 0,00469	0,00773 0,006183	0,006512 0,006795	0,00725 0,00702	0,00769 0,00713
час t, с		0	14,894	29,787	44,681	59,574	74,468	89,362

Рисунок 10. Характеристика витрати рідини в дискретному часі.

Рисунок 11. Характеристика концентрації в дискретному часі.

3.3 Побудова графіків кривих разгону нелінійної системи

Розглянемо поповнення бака від 0 до номінального значення витрати з урахуванням приросту поданого лінеаризованій моделі. Таким чином, розглянемо стрибок u₁=0,03; u₂=0.

Позначивши ,рівняння бака запишемо у вигляді системи:

  

Перше рівняння є нелінійним зі змінними що розділяються

З урахуванням того, що  запишемо:

, чи підставляючи

Виразимо

Підставляємо  та

Таблиця 6.

y1	0.141	0.142	0.143	0.144	0.145	0.146	0.147	0.148	0.149	0.150	0.151
t, с	0	1.5	3.188	5.116	7.357	10.026	13.315	17.585	23.643	34.072	68.958

По отриманим даним побудуємо графік:

Рисунок 12. Лінійна та нелінійна характеристика витрати води.

Так як немає аналітичної залежності , використаємо її кус очно-лінійну апроксимацію, представляючи на проміжкові від  до  функцію  как . Тоді,

;

Отримані дані занесемо в таблицю:

Рисунок 13. Лінійна та нелінійна характеристика концентрації.

3.4 Сталий стан системи

Вичислимо постійне значення системи при умовах

І порівняємо його з результатом розрахунку.

4. Ідентифікація багатомірної математичної моделі по даним експеремента 4.1 Активна ідентифікація

Для дискретної форми системи (F, G, C) провести реалізацію системи.

Запишемо систему у вигляді:

  

Подавши імпульс по першому входу, розрахуємо:

  

 

  

 

Із власних векторів від () і () побудуємо:

 

  

При   

Знайдемо передаточну функцію системи:

.

4.2 Пасивна ідентифікація

Для дискретної форми системи (F, G, C) провести пасивну ідентифікацію системи:

Таблиця 7.

Такт, n	0	1	2	3	4	5
U (n)	0.01	0	0	0.04	0	0
	0	0.01	0.02	0	0.03	0

Використовуючи матриці системи в дискретній формі для заданих значень вектора входу, розрахуємо значення вектора виходу

Результати розрахунку занесемо до таблиці:

Таблиця 8.

Такт, n	1	2	3	4	5	6
y (n)	0.117	0.188	0,349	0.68	0.765	0.464
	-0.00509	0.03787	0.09342	0.01402	0.12438	0.04577

Тогда

Следовательно,   

5. Конструювання багатомірних регуляторів, оптимізуючи динамічні властивості агрегату 5.1 Конструювання П-регулятора, оптимізую чого систему по інтегральному квадратичному критерію

Регулятор стану який оптимізує систему по критерію:

Визначається по співвідношенню: P=LR1 (A,B,Q,R);

 

Притом Q=R=I

Так як матриця С є інвертованою, для створення регулятора виходу немає

Необхідно конструювати спостерігач стану -недосяжний стан вичислюється по формулі . Відповідно регулятор виходу має вид

Позначивши через z задане значення виходу у і припускаючи, що , отримаємо

5.2 Конструювання компенсаторів завдань і вимірюваних збурень

Прийнявши до уваги, що А=В

Якщо при компенсації збурень і завдань зчитувати "вартість" управління, записавши критерій в виді

,

то компенсатори визначаються залежностями

Значення виходу при дії збурення f в системі без компенсаторів при z=0

З оптимальною компенсацією

f

5.3 Конструювання регулятора з компенсатором взаємозв'язків

Следовательно,

Перевіримо чи регулятор дійсно розчіплює систему, тобто матриця передаточних функцій являється діагональною

, , де , .

Знайдемо

1.

2. .

5.4 Конструювання аперіодичного

Аперіодичний регулятор для дискретної системи може бути отриманий із умови . Запишем

5.5 Конструювання децентралізованого регулятора

Використовуючи форму Ассео, запишем:

 

Відповідно, отримаємо

,

Розв'яжим рівняння Ляпунова.

 T=B

5.6 Конструювання надійного регулятора

Якщо матриця G моделяє відмови каналів вимірювання, то регулятор знаходиться в виді

нехай s=0.041

Відповідно, система являеться постійною при любих відхиленнях.

5.7 Конструювання блочно-ієрархічного регулятора

Використаємо регулятор стану і перевіримо чи можна створити послідовність регуляторів стану.

; ; ; ;

Рисунок 14. Схема блочно-ієрархічного регулятора.

5.8 Конструювання регулятора для білінійної моделі

 

5.9 Конструювання регулятора для нелінійної системи

Сконструювати нелінійний регулятор, використовуючи початкову не спрощену модель бака.

,

Розрахункове співвідношення для регулятора - , де

При s=4, W=1 запишемо

Підставивши  запишемо

5.10 Конструювання програмного регулятора

Використовуючи лінеаризовану модель в дискретному часі, запишемо програму переходу системи із стану  в стан

.

При ;

Отримаємо

6. Аналіз властивостей зконструйованої системи з оптимальним П-регулятором 6.1 Побудова процесу в системі з П-регулятором

Стале значення виходу при дії збурення f у системі без компенсаторів при z=0

З оптимальною компенсацією

f

Рисунок 15. Графіки перехідних процесів та кривих розгону по першому та другому виходах з оптимальним П-регулятором з компенсатором і без.

6.2 Обчислення критерію оптимальності в системі

Величина критерію оптимальності обчислюється за залежністю. Для обчислення величини критерію з довільним регулятором слід використовувати формулу

, де .

розв'язавши рівняння Ляпунова отримаємо

розв'язавши рівняння Ляпунова отримаємо

При 10% та 5%

,

,

,

Розв'яжемо  для всіх матриць при нових значеннях

,

, , ,

При 10% та 5%

,

,

, .

6.3 Обчислити чуйність системи

6.4 Проаналізувати робастність системи

6.5 Розв'язати зворотну задачу конструювання

Знайти за яким критерієм є оптимальний регулятор з компенсаторів взаємозв'язків.

де W - довільна матриця яка задовольняє умові S>0

розв'язавши отримаємо

Висновок

Таким чином, в ході виконання курсової роботи на прикладі моделі змішувального бака була розгляне на технологічна послідовність конструювання систем: побудова та перетворення моделей системи, аналіз властивостей початкової системи, конструювання регуляторів, аналіз властивостей і порівняння сконструйованих систем. Також при виконанні були отримані ряд кривих розгону та перехідних процесів для моделі бака, були побудовані структурні схеми моделі в початковій формі, Ассео, зовнішньо зв’язаній формі. Отримали навики конструювання систем з використанням регулятора з компенсатором взаємозв”язків, аперіодичного, децентралізованого, надійного, блочно-ієерархічного регуляторів, програмного регулятора, регулятора для нелінійної моделі, регулятора для білінійної моделі.

Література

1.  Методические указания к практическим занятиям по курсу "Основы системного анализа и теория систем", А.А. Стопакевич

2.  "Сложные системы: анализ, синтез, управление", А.А. Стопакевич

Додаток

Розв'язання рівняння Рікарті

Розв'язання рівняння Рікарті визначення матриці Р.

Сформуємо матрицю

Для обчислення власних значень розкриємо визначник

.

Розв'язання рівняння Ляпунова

.

Обчислення матричної експоненти

,

.

Фробеніусові матриці

Вандермордова матриця