Уравнения Больцмана, Лиувилля, Боголюбова

Уравнения Боголюбова

 

Уравнения Больцмана, идея которого принадлежит самому Больцману, не может считаться строгим. Действительно, запись этого уравнения, как уравнения непрерывности в m-пространстве с источниками (интеграл столкновений) в правой части, предполагает, во-первых, что изменение во времени функции распределения f(r, v, t) аддитивно относительно двух процессов, имеющих различное происхождение. Члены vi df/dxi и wi df/dvi в левой части

или

характеризуют потоки газа, возникающие вследствие существования градиента плотности и внешних полей, в то время как правые части возникают вследствие учета столкновений молекул. Таким образом предполагается, что потоки и столкновения не влияют друг на друга. Во-вторых, в интеграле столкновений значения функций  берутся в одной и той же точке пространства r, в то время как с учетом конечных размеров молекул координаты в функциях  и в функциях  должны быть выбраны различными.

Далее, как мы уже упоминали, классический вывод уравнения Больцмана предполагает отсутствие корреляций между скоростями молекул. Наконец, что наиболее существенно, в уравнении Больцмана учитываются только попарные столкновения молекул, и нет более или менее очевидного рецепта, позволяющего учесть столкновения групп из трех, четырех и более молекул. Между тем ясно, что учет таких процессов существен для плотных газов.

В приближении парных соударений длина свободного пробега обратно пропорциональна плотности газа

(s — эффективное сечение парных столкновений).

Как известно, это приводит к тому, что коэффициенты переноса: À — коэффициент теплопроводности, a — коэффициент вязкости, не зависят от плотности п и, стало быть, от давления. При учете многочастичных столкновений выражение для l должно иметь вид

,

где коэффициенты a, А возникают в связи с учетом трехчастичных, коэффициенты b и В — в связи с учетом четырехчастичных и т. д. столкновений. В результате для длины пробега и для коэффициентов переноса должны возникнуть вириальные разложения такого же типа, какие возникают в статистической физике для уравнения состояния неидеального газа.

В связи со сказанным целесообразно подойти более строго к проблеме вывода кинетического уравнения и к его возможным обобщениям. Это можно сделать с помощью весьма общего и строгого метода, предложенного Н. Н. Боголюбовым, к краткому изложению которого мы и переходим.

Имеем систему из N одинаковых частиц, состояние которой в классической механике мы будем задавать с помощью 2N векторов ri, vi. Совокупность ri, и vi мы для краткости будем обозначать символом xi а произведение d3rid3vi - символом dxi.

Введем функцию распределения F(N)(x1, … ,xN, t) в Г-пространстве, считая координатами бN-мерного Г-пространства координаты и проекции скоростей всех частиц. Выражение

F{N)(х1, х2, ... , xN, t)dx1dx2 ... dxN

дает вероятность того, что изображающая точка в Г-пространстве находится в объеме dx1, dx2 ... dxN, а функция F(N) нормирована на единицу

ò F{N)(х1, х2, ... , xN, t)dx1dx2 ... dxN=1. (1)

Будем в дальнейшем считать, что внешние поля отсутствуют и частицы взаимодействуют с потенциалом взаимодействия U(rik) = ти (rik). Для исключения граничных эффектов мы будем рассматривать термодинамический предел, при котором , a w=V/N остается конечным.

Дальнейшие рассуждения основаны на уравнении Лиувилля, которое мы запишем здесь в виде

, (2)

где оператор  называется оператором Лиувилля и определяется формулой

 (3)

причем wi, k = -ди (ri,k)/dri - ускорение, придаваемое i-й частице взаимодействием с k-й частицей. Функции распределения r(р, q) и функции F{N) (ri, vi, t) по существу идентичны, и, следовательно, F(N) (xi, t) подчиняется уравнению

Следует обратить внимание читателя на следующие принципиальные свойства уравнения Лиувилля.

1. Функция F(N) (х1, х2, ... , xN, t) лишь «насильственно» была нами связана с вероятностными представлениями. Мы могли бы рассматривать ее не как плотность вероятности для единичной системы с координатами ri, vi, а как произвольно заданную в начальный момент времени функцию распределения для ансамбля систем - ансамбля Гиббса.

Иначе говоря, мы можем себе представить, что при t = 0 мы «приготовляем» ансамбль, т. е. произвольным образом «высыпаем» изображающие точки в фазовое пространство, задавая тем самым F{N) {x1, ..., xN, 0). В дальнейшем эти «высыпанные» точки «плывут» по своим фазовым траекториям, подчиняясь исключительно законам механики. Таким образом, уравнение (2) вовсе не имеет статистического вероятностного содержания, а несет в себе только чисто механическую информацию.

2. Уравнение Лиувилля, являясь уравнением первого порядка по времени, описывает причинно-обусловленное изменение функции F(N)(х1, ..., xN, t). При заданном ее начальном значении F(N) (х1, ... , xN, 0) уравнение (2) однозначно предсказывает все будущие значения F(N)(xi,t).

3. Как и всякое уравнение классической механики, уравнение Лиувилля обратимо во времени. Это значит, что при замене t на -t оно остается неизменным. Следовательно, наряду с «прямым» движением экземпляров ансамбля, столь же возможным при соответствующем изменении начальных условий, является и «обращенное» движение.

4. В свете сказанного неудивительно, что решение уравнения Лиувилля эквивалентно решению динамической задачи, т. е. нахождению всех динамических траекторий. Формально это видно из того, что характеристики уравнения (2) имеют вид

,

из которых следуют уравнения динамики в форме Ньютона

.

Физически это следует из того, что мы можем «приготовить» начальный ансамбль в виде , т. е. «высыпать» все изображающие точки в одну точку фазового пространства. В силу однозначности решения уравнения Лиувилля при заданном начальном условии движение изображающей точки и будет описывать эволюцию одной единственной динамической системы. Таким образом, наряду с методами решения задач динамики, основанными на интегрировании уравнений Ньютона, Лагранжа, Гамильтона и Гамильтона -Якоби, существует еще один метод - метод интегрирования уравнения Лиувилля. Однако для системы с огромным числом частиц этот метод столь же непригоден и столь же не нужен, как и все остальные, а для решения задач макроскопической неравновесной физики следует переходить к вероятностным методам.

Введем с этой целью n-частичные функции распределения

. (4)

Эти функции подчинены следующему из (1) условию нормировки:

, (5)

и если мы придаем вероятностный смысл функции F(N) (х1,....,xN, t),

то и функции  приобретают статистическую интерпретацию. Здесь и в дальнейшем мы опускаем для краткости индекс (N) в обозначении F(nN). Выражение  представляет собой вероятность того, что первые п частиц системы (а не ансамбля систем!) имеют координаты и скорости, лежащие в пределах (ri, ri + dri), (vi, vi + dvi).

Выведем систему дифференциальных уравнений, которым подчиняются функции . Умножим с этой целью уравнение (2) на  и проинтегрируем полученное равенство, пользуясь выражением (3):

 (6)

Заметим теперь, что в этом уравнении третье, шестое и седьмое слагаемые тождественно равны нулю. Действительно, каждое из этих слагаемых представляет собой интеграл от трехмерной дивергенции: третье слагаемое — в пространстве координат молекулы i, шестое и седьмое —в пространстве скоростей молекулы i. По теореме Гаусса они могут быть преобразованы в интеграл по граничной поверхности. Но функция Fn обращается в нуль, когда координаты любой частицы газа соответствуют точкам, лежащим на абсолютно непроницаемой стенке сосуда и, с другой стороны, функция распределения Fn стремится к нулю, когда . Поэтому интеграл от дивергенции равен нулю и в координатном пространстве, и в пространстве скоростей. С другой стороны, пятое слагаемое в (6) можно преобразовать следующим образом. Отдельные слагаемые суммы по k отличаются лишь обозначением переменной интегрирования

.

Таким образом, получаем окончательно систему уравнений

. (7)

Эта система в зарубежной литературе называется обычно ББКГИ-системой (Борн, Боголюбов, Кирквуд, Грин, Ивон). Мы будем в дальнейшем для краткости, а также потому, что Боголюбову принадлежит наиболее детальный ее анализ, называть ее системой уравнений Боголюбова.  в формуле (7) есть оператор Лиувилля для подсистемы из п частиц. Система уравнений Боголюбова является «зацепляющейся», так как уравнения для функции Fn содержат в правой части функцию Fn+1. Физически это отражает факт незамкнутости любой группы из n молекул (n<N), взаимодействующих с остальными N — n молекулами. Оператор Лиувилля, как видно из (7), однозначно определяет временную эволюцию функции Fn(х1, ..., хп, t) для замкнутой системы частиц, в то время как правая часть (7) описывает ее незамкнутость.

Заметим, что последнее уравнение системы (7) для функции Fn является замкнутым и тождественным уравнению Лиувилля (2). С математической точки зрения интегрирование системы уравнений (7) следовало бы начинать с интегрирования этого уравнения. При этом, естественно, не нужно было бы интегрировать остальные N — 1 уравнения системы, так как все n-частичные функции распределения могут быть найдены по формулам (4), после того как найдена функция FN(x1, ..., xN, t), и система вообще стала бы не нужной. Однако, как мы уже говорили, интегрирование уравнения Лиувилля представляет собой невыполнимую практически задачу.

Таким образом, физически разумный метод решения системы уравнений Боголюбова заключается в том, чтобы начинать эту процедуру не с последнего уравнения для функции FN, а с первого для функции F1 и пытаться тем или иным способом «оборвать» эту систему. Если оказывается возможным выразить некоторую функцию Fn+1 как функционал от функций Fl (ln), то такой «обрыв» системы (7) становится возможным, и мы придем к системе с конечным числом уравнений. В частности, если удается тем или иным способом выразить как функционал от F1 (x1, t) функцию F2 (х1, х2, t), мы получаем уравнение для одночастичной функции F1 (xl, t), которую принято называть кинетическим уравнением. Уравнение Больцмана и уравнение Фоккера-Планка представляют собой частные случаи кинетических уравнений.

Мы уделяем особое внимание одночастичной и двухчастичной функциям F1 (xl, t) и F2 (xl, x2, t) по следующим причинам. Через одночастичную функцию могут быть выражены важные для газодинамического описания величины: средняя плотность числа частиц n(r, t), средняя скорость потока частиц и(r, t), средняя кинетическая энергия 3/2T(r, t), которые определяются формулами

(8)

 (9)

 (10)

И другие важные для газодинамики величины, такие как тензор вязких сил, поток тепла и т. д., выражаются через одночастичные функции распределения. Двухчастичная функция распределения имеет особо важное значение для равновесного состояния системы. В равновесном состоянии она описывает корреляции между положениями частиц, имеющие, важное значение в теории флуктуации и в теории фазовых переходов.

Заметим, наконец, что в определение n-частичных функций Fn(x1, ..., хN, t), так же как и в определение FiN) (х1, ..., xN, t), вероятностный смысл был нами вложен «насильственно», и мы по существу получили систему уравнений (7), полностью эквивалентную уравнению Лиувилля, совершенно не связывая функции Fn с вероятностными характеристиками единичной системы. Отсюда следует, что система уравнений (7) есть система механических, а не статистических уравнений. Неудивительно поэтому, что эта система, так же как и уравнение Лиувилля, инвариантна по отношению к отражению времени — замене и не может описывать необратимые макроскопические процессы. Необратимость вносится в формализм теории только определенными гипотезами сугубо вероятностного характера. Запишем в явном виде уравнения для F1 и F2, которыми нам придется заниматься более детально; при этом мы отбросим в множителе (N — n)/V, входящем в (7) слагаемое n=1, 2:

, (11)

 (12)

где , (13)

 (14)

Безразмерная форма уравнений Боголюбова. Факторизация и корреляционные функции. Свободно-молекулярное течение

Рассмотрим некоторые приближенные методы интегрирования системы уравнений Боголюбова. Эти методы основаны на том, что в двух случаях - весьма разреженного газа и при слабом взаимодействии между частицами газа - влияние одной частицы на состояние других частиц должно становиться слабым, и можно сделать пробное допущение о том, что в нулевом приближении n-частичная функция распределения факторизуется, т. е. представляется в виде произведения одночастичных функций

. (15)

Отклонение точной n-частичной функции от факторизованного нулевого приближения принято характеризовать с помощью так называемых корреляционных функций Gn (x1, ..., хп, t), которые находятся по следующей схеме.

Для двухчастичной функции имеем

F2(0) (х1, х2, t) = F1 (х1, t) F1 (х2, t), (16)

F2 (x1, x2, t) = F2(0) (x1, x2, t) + G2 (x1, x2, t). (17)

Для трехчастичной функции -

F3(0) (х1, х2,x3, t) = F1 (х1, t) F1 (х2, t) F1 (х3, t), (18)

 (19)

и т. д.

Сформулируем теперь количественно условие разреженности газа и условие слабости взаимодействия. Пусть r0 — радиус действия межмолекулярных сил и U0 — характерная величина потенциальной энергии взаимодействия. Случай разреженного газа осуществляется, если r0 много меньше среднего расстояния между частицами ω1/3, и, следовательно, в этом случае малым параметром задачи является величина . Случай слабого взаимодействия реализуется, если потенциальная энергия мала по сравнению с кинетической энергией ~ Т. Следовательно, в этом случае малым параметром задачи является величина β= U0/T.

Допустим, что в обоих случаях корреляции между координатами и скоростями частиц являются слабыми и корреляционные функции Gn (x1, ..., хп, t) малыми по параметрам а или β соответственно.

Для того чтобы построить методы решения системы уравнений Боголюбова в этих предположениях, запишем систему (7) в более детализированном виде

 (20)

выделив в операторе  слагаемые, содержащие и не содержащие потенциал взаимодействия

 

 (21)

 (22)

 

 (23)

Перейдем в уравнениях (20) безразмерным переменным, выбрав в качестве единицы длины r0, скорости , ускорения  и времени . Для простоты мы не будем вводить новые обозначения для безразмерных переменных и сделаем в уравнениях (20) замены

,

  (24)

Кроме того, учитывая условие нормировки (19) для функци Fn(x1, ..., хN, t), из которого видно, что Fn имеет размерность , введем безразмерную функцию распределения с помощью замены

 (25)

Тогда уравнения Боголюбова (20) при  запишутся в виде

 (26)

Заметим, что, предполагая факторизацию функций Fn в нулевом приближении,

Fn(0) = F1 (х1, t) F1 (х2, t)…F1(xn,t), мы получим для одной и той же функции F1 (xi, t) N уравнений. Ясно, что необходимым условием допустимости факторизации является совместность этих уравнений нулевого приближения.

Убедимся, что случай разреженного газа ()  приводит в нулевом приближении к несамосогласованной системе. Действительно, система уравнений (26) в нулевом приближении выглядит следующим образом:

Легко видеть, что уравнения этой системы будут совместными только при условии отсутствия взаимодействия между частицами wik = 0. Следовательно, в случае разреженного газа корреляциями нельзя пренебрегать даже в нулевом приближении. Собственно говоря, этого следовало ожидать, так как для разреженного газа а << 1 «хорошим» кинетическим уравнением является уравнение Больцмана, которое несовместимо с требованием факторизации. Мы видели, что вывод уравнения Больцмана по Боголюбову предполагает только факторизацию функции F2 в «бесконечном прошлом».

Рассмотрим случай β = U0/T <<; 1, , что соответствует горячему газу со слабым взаимодействием между частицами, который, однако, может быть достаточно плотным. Фактически при типичной глубине потенциальной ямы U0~ (10-1 - 10-2) эв U0/T<<1 выполняется уже при комнатных температурах. В этом случае в нулевом приближении получаем незацепляющиеся уравнения

 (27)

в которых переменные х1,..., хп разделяются. Это значит, что предположение является самосогласованным и одночастичная функция F1(0)(r, v, t) подчиняется уравнению

 (28)

Интегрируя уравнение характеристик

(29)

находим, что решение уравнения (28) имеет вид

 (30)

где ψ(r,v,t) - произвольная функция своих аргументов, совместимая с начальными и граничными условиями. Из выражения (30) следует, что F1(0)(r, v, t) остается постоянной вдоль динамической траектории частиц в μ-пространстве, чего и следовало ожидать для системы слабо взаимодействующих частиц в нулевом приближении.

Следующие приближения для функций Fn могут быть найдены последовательно из уравнений:

 

 

 (31)

Решая первое из этих уравнений, можно в принципе найти F1, решая затем второе уравнение — найти G2 и, следовательно, F2 и т. д.

Мы ограничимся нулевым приближением (30) и в качестве иллюстрирующего примера рассмотрим задачу о свободном расширении газа в пустоту. Пусть в начальный момент t = 0 газ с максвелловским распределением по скоростям в одномерном случае занимает полупространство х<0. Затем стенка х = 0 удаляется и газ начинает расширяться.

Начальное распределение f(r, v, 0) задается тогда формулой

, (32)

где σ (х) — ступенчатая функция (напоминаем, что функция f(r, v, t) связана с F1 (r, v, t) соотношением f = F1n = F1/ω).

Согласно соотношению (30) продолжение во времени функции f(х, v, 0) дается формулой

 (33)

Пространственная плотность числа частиц в точке х в момент времени t равна

, (34)

и средняя скорость газа u(x,t) равна

 (35)

Так как п (х, t) и и (х, t) зависят только от x/t, то и распределение плотности газа, и распределение по скоростям в пространстве остаются подобными самим себе, а геометрическое место равных плотностей и равных скоростей потока равномерно перемещается вдоль оси х.

Сделаем в заключение следующее замечание. Поскольку уравнение свободно-молекулярного течения (27) представляет собой одночастичное уравнение Лиувилля, оно является, строго говоря, механическим, а не статистическим утверждением, и статистический смысл в него вложен «насильственно». Это проявляется, в частности, в обратимости решений уравнения (27). Например, если решение (32) при t = t0 принять за начальное условие и продолжить его во времени, заменив х на x+vxt, обратив направление скорости всех частиц, то спустя время t0 мы придем к исходному состоянию (32). В обращенном таким образом движении газ самопроизвольно сжимается вместо того, чтобы расширяться, и необратимость отсутствует.

Список использованных источников

1. Базаров И. П. Неравновесная термодинамика и физическая кинетика / Базаров И. П., Геворкян Э. В., Николаев П. Н. - М., 1989 – 240 с.

2. Гуревич Л. Э. Основы физической кинетики / Гуревич Л. Э. – М. 1940 – 245 с.

3. Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Физическая кинетика / Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. - М.: Физматлит, 2007. - 536 с.