Абстрактные цифровые автоматы

Содержание

1. Абстрактные цифровые автоматы

1.1 Основные понятия

1.2 Типы абстрактных автоматов

1.3 Способы задания абстрактных автоматов

1.4 Связь между моделями Мили и Мура

1.5 Эквивалентные автоматы. Эквивалентные преобразования автоматов

1.6 Минимизация числа внутренних состояний автомата

Вывод

Список литературы

Введение

Тема контрольной работы по дисциплине "Прикладная теория цифровых автоматов" - "Абстрактные цифровые автоматы".

Цель работы - ознакомится с основными понятиями абстрактных цифровых автоматов; типами абстрактных автоматов; способами задания абстрактных автоматов; связью между моделями Мили и Мура; эквивалентными автоматами и эквивалентными преобразованиями автоматов; минимизацией числа внутренних состояний автомата и алгоритмом Ауфенкампа-Хона.

1. Абстрактные цифровые автоматы 1.1 Основные понятия

Цифровой автомат можно трактовать как устройство, осуществляющее прием, хранение и преобразование дискретной информации по некоторому алгоритму. С определенной точки зрения к автоматам можно отнести как реальные устройства (ЭВМ), так и абстрактные системы (математические модели).

Автоматом называется дискретный преобразователь информации, способный принимать различные состояния, переходить под воздействием входных сигналов из одного состояния в другое и выдавать выходные сигналы.

Общая теория автоматов подразделяется на абстрактную и структурную.

Абстрактная теория автоматов, отвлекаясь от структуры автомата (т.е. не интересуясь способом его построения), изучает лишь поведение автомата относительно внешней среды. Абстрактная теория автоматов близка к теории алгоритмов, являясь по существу ее дальнейшей реализацией.

В противоположность абстрактной теории автоматов, структурная теория автоматов интересуется как структурой самого автомата, так и структурой входных воздействий и реакций автомата на них. В структурной теории изучаются способы построения автоматов, способы кодирования входных воздействий и реакций автомата на них. Структурная теория автоматов является продолжением и развитием абстрактной теории. Опираясь на аппарат булевых функций и на абстрактную теорию автоматов, структурная теория дает эффективные рекомендации по разработке реальных устройств вычислительной техники.

Абстрактный цифровой автомат (ЦА) является математической моделью дискретного управляющего устройства.

Абстрактный ЦА определяется множеством, состоящим из шести элементов:

S={ X,A,Y,,a_o},

где:

X={x₁, x₂,. x_n} - множество входных сигналов (входной алфавит);

Y={y₁, y₂, y_m} - множество выходных сигналов (выходной алфавит);

А={ a₀,a₁, a₂,. а_N} - множество состояний (алфавит состояний);

а_о - начальное состояние (а_оА);

 - функция переходов автомата, задающая отображение (ХхА) А, т.е. ставящая в соответствие любой паре элементов декартового произведения (ХхА) элемент множества А;

 - функция выходов автомата, задающая либо отображение (XxA) Y, либо отображение AY.

Иными словами, функция переходов  показывает, что автомат S, находясь в некотором состоянии а_jА, при появлении входного сигнала х_jХ переходит в некоторое состояние а_рА. Это можно записать:

a_p= (a_i,X_j).

Функция выходов  показывает, что автомат S, находясь в некотором состоянии а_jА, при появлении входного сигнала х_jХ выдает выходной сигнал у_kY. Это можно записать: у_k = (a_i, X_j).

Понятие состояние в определение автомата было введено в связи с тем, что часто возникает необходимость в описании поведения систем, выходы которых зависят не только от состояния входов в данный момент времени, но и от некоторой предыстории, т.е. от сигналов, которые поступали на входы системы ранее. Состояние как раз и соответствует некоторой памяти о прошлом, позволяя устранить время как явную переменную и выразить выходные сигналы как функцию состояний и входов в данный момент времени.

Абстрактный автомат функционирует в дискретном автоматном времени t=0,1,2,. и переходы из состояния в состояние осуществляются мгновенно. В каждый момент t дискретного времени автомат находится в определенном состоянии a (t) из множества А состояний автомата, причем в начальный момент времени t=0 он всегда находится в начальном состоянии а_о. В момент времени t, будучи в состоянии a (t), автомат способен воспринять на входном канале сигнал х (t)  X, и выдать на выходном канале сигнал y (t) = (a (t), x (t)), переходя в состояние a (t+1) = = (a (t),x (t)). Зависимость выходного сигнала от входного и от состояния означает, что в его составе имеется память.

 

1.2 Типы абстрактных автоматов

По способу формирования функции выходов выделяют три типа абстрактных автоматов: автомат Мили, автомат Мура, С-автомат. Автомат Мили характеризуется системой уравнений:

y (t) = (a (t), x (t));

a (t+1) = δ (a (t), x (t)). (1-1)

Автомат Мура - системой уравнений:

y (t) = (a (t));

a (t+1) = δ (a (t), x (t)). (1-2)

С-автомат - системой уравнений:

у= y₁y₂

y₁ (t) = (a (t),x (t));

У₂ (t) = ₂ (a (t));

a (t+1) =δ (a (t),x (t)).

Произвольный абстрактный автомат Мили или Мура (рис.1.1.) имеет один входной и один выходной каналы. Произвольный абстрактный С-автомат имеет один входной и два выходны х канала (рис.1.2.).

Рисунок 1.1 - Абстрактный автомат

Рисунок.1.2 Абстрактный С-автомат

Если на вход абстрактного автомата Мили или Мура, установленного в начальное состояние а_о, подавать буква за буквой некоторую последовательность букв входного алфавита х (0), х (1),. - входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита у (0), у (1),. - выходное слово. Для случая С-автомата на его выходах будут появляться две последовательности: y₁ (0), y₁ (1),. и y₂ (0), y₂ (1),. В абстрактном С - автомате выходной сигнал y₂ (t) = (a (t)) выдается все время, пока автомат находится в состоянии a (t). Выходной сигнал y₁ (t) =λ₁ (a (t),x (t)) выдается во время действия входного сигнала x (t) при нахождении С-автомата в состоянии a (t).

Таким образом, на уровне абстрактной теории функционирование цифрового автомата понимается как преобразование входных слов в выходные слова.

Выделяют полностью определенные и частичные автоматы.

Полностью определенным называется абстрактный цифровой автомат, у которого функция переходов или функция выходов, или обе эти функции определены для всех пар переходов (x_i,a_j).

Частичным называется абстрактный цифровой автомат, у которого функция переходов или функция выходов, или обе эти функции определены не для всех пар переходов (x_i,a_j).

Абстрактный цифровой автомат называется инициальным, если на множестве его состояний А выделяется начальное состояние а_о.

 

1.3 Способы задания абстрактных автоматов

Чтобы задать конечный автомат S, необходимо описать все элементы множества: S={ X,A,Y,,,a_o}. Существует несколько способов задания работы автомата, но наиболее часто используется табличный (матричный), графический, аналитический.

При табличном способе автомат задается двумя таблицами: таблицей переходов и таблицей выходов, или матрицей соединений. Таблица переходов произвольного полностью определенного автомата строится следующим образом: строки таблицы помечаются буквами входного алфавита автомата, а столбцы таблицы - буквами алфавита состояний автомата; В клетке таблицы переходов, находящейся на пересечении строки, отмеченной входным сигналом x_i, и столбца отмеченного состоянием a_j, ставится состояние а_k, являющееся результатом перехода автомата из состояния a_j под воздействием входного сигнала х_i, что определяется выражением a_k= (a_j, х_j).

Таблица 1.1 Таблица переходов автомата

Состояния	а1	а2	…	аk
входные сигналы
x1	(a1,x1)	(a2, x1)	.	(ак, x1)
…
хj	(a1, хj)	(a2, хj)	…	(ак, хj)

Пример заполнения таблицы переходов некоторого абстрактного полностью определенного автомата с входным алфавитом X={х₁, х₂} - и алфавитом состояний A={a₁, a₂, а₃} представлен в табл.1.2.

Таблица 1.2

А	а1	a2	а3
х
х1	а2	а3	а1
x2	а1	а1	a2

Если абстрактный автомат частичный, то в клетке таблицы его переходов, находящейся, на пересечении строки, отмеченной входным сигналом и столбца отмеченного соответствующим состоянием (при условии, что переход в это состояние под действием данного входного сигнала не определен) ставится прочерк, и любое входное слово, приводящее к указанному переходу является запрещенным.

Заполнение остальных клеток аналогично случаю полностью определенного автомата. Вид таблицы переходов не зависит от типа задаваемого автомата (автомат Мили, Мура, С-автомат). Таблицы выходов автоматов Мили, Мура, С-автомата имеют различия.

Таблица выходов полностью определенного автомата Мили строится следующим образом: идентификация столбцов и строк, а также формат таблицы соответствуют таблице переходов полностью определенного автомата. В клетке таблицы выходов, находящейся на пересечении строки, отмеченной входным сигналом X_j, и столбца, отмеченного состоянием а_к, ставится выходной сигнал У_m, который автомат выдает, находясь в состоянии а_k при наличии входного сигнала Xj, что определяется выражением Ym= (а_k, х_j).

Таблица 1.3 Таблица выходов абстрактного автомата Мили.

Состояния	a1	a2		ak
Входные сигналы
х1	(a1,x1)	(a2, x1)		(ak, x1)
…		….	.
хj	(a1,xj)	(a2, xj)		(aк, xj)

Пример заполнения таблицы выходов некоторого абстрактного полностью определенного автомата с входным алфавитом X={x₁, x₂}, алфавитом состояний A={a₁, а₂, а₃} и выходным алфавитом Y={y₁, y₂, y₃}-представлен в табл.1.4.

Таблица 1.4

a	a1	a2	a3
x
x1	у2	у3	y1
x2	y3	у1	у2

Таблица выходов полностью определенного автомата Мура строится более просто: каждому состоянию автомата ставится в соответствие свой выходной сигнал. Пример таблицы выходов автомата Мура с алфавитом состояний A={a₁, а₂, а₃} и выходным алфавитом Y={y₁, y₂, у₃} представлен в таблице 1.5.

Таблица 1.5

А	a1	a2	a3
у	y1	y2	y2

Очевидно, абстрактный полностью определенный С-автомат задается двумя таблицами выходов, первая из которых есть таблица выходов автомата Мили, а вторая - Мура. Если автомат частичный, то в некоторых клетках его таблицы может стоять прочерк, что означает отсутствие выходного сигнала.

На практике таблицы переходов и выходов часто совмещают в одну таблицу, называемую отмеченной таблицей переходов автомата. Примеры отмеченных таблиц переходов представлены в табл.1.6. - 1.8 (Общий вид отмеченной таблицы переходов - табл.1.6., отмеченная таблица переходов автомата Мили - табл.1.7., отмеченная таблица переходов автомата Мура - табл.1.8.).

Кроме рассмотренных выше таблиц переходов и выходов произвольный абстрактный автомат может быть задан матрицей соединений.

Матрица соединений является квадратной и содержит столько столбцов (строк), сколько различных состояний содержит алфавит состояний данного автомата. Каждый столбец (строка) матрицы соединений помечается буквой состояния автомата. В клетке, находящейся на пересечении столбца, помеченного буквой а_j и строки, помеченной буквой a_s автомата, ставится входной сигнал (или дизъюнкция входных сигналов), под воздействием которого осуществляется данный переход.

Для абстрактного автомата Мили в клетке рядом с состоянием проставляется также выходной сигнал, который автомат выдает в результате данного перехода (табл.1.9.) Для автомата Мура выходной сигнал проставляется в строке рядом с состоянием (эти состояния соответствуют исходным состояниям автомата).

Таблица 1.6

Состояния	a1	a2	…	ak
Входные сигналы
x1	 (a1,x1))	 (a2,x1)	…	 (ak,x1)
	 (a1,x1)	 (a2,x1)	…	 (ak,x1)
…	…	…	…	…
xj	 (a1,xj)	 (a2, xj)	…	 (аk, xj)
	 (a1,xj)	 (a2, xj)	…	 (аk, xj)

Таблица 1.7

A X	a1	a2	a3
x1	a2/y2	a3/y3	a1/у3
x2	a1/у3	a1/y1	a2/y2

Таблица 1.8

Y	y1	y2	y3
A X	a1	a2	a3
x1	a2	a3	a1
x2	a1	a1	a2

Таблица 1.9.

	a1		an
a1	xj (yk)
an			x| (ym)

При графическом способе задания абстрактные автоматы представляются ориентированными графами. Графом автомата называется ориентированный связный граф, вершины которого соответствуют состояниям автомата, а дуги между ними - переходам между состояниями. Две вершины a_k и a_s соединяются дугой в том случае, если в автомате имеется переход из состояния a_k в состояние a_s. Для автомата Мили входной и выходной сигналы проставляются на дуге, соответствующей данному переходу (рис 1.3.), для автомата Мура входной сигнал проставляется на дуге, а выходной - рядом с вершиной, соответствующей состоянию (рис 1.4.).

Здесь рассматриваются только детерминированные автоматы, у которых выполнено условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние. Применительно к графическому способу задания автомата это означает, что в графе автомата из любой вершины не могут выходить две и более дуги, отмеченные одним и тем же входным сигналом.

Рисунок 1.3-Граф автомата Мили Рисунок 1.4-Граф автомата Мура

При аналитическом способе задания абстрактные автоматы задаются четверкой объектов:

S={ X,A,Y,F}, где F задает для каждого состояния а_j автомата отображение (ХхА) - > (AxY). Другими словами, при аналитическом способе задания для каждого состояния автомата а_j указывается отображение F_ai, представляющее собой множество всех троек а_р, x_m, y_k, и таких, что под воздействием входного сигнала x_m автомат переходит из состояния а_j в состояние а_р, выдавая при этом выходной сигнал y_k.

Применительно к общему определению абстрактного автомата, последнее равнозначно описанию функций δ и λ в соответствии с выражением: a_p= δ (a_i, x_m), y_к= λ (a_i, x_m).

Отображение F_ai записывается следующим образом:

F_ai{a_p (X_m/y_k),a_i (X_f/y_z) …}.

Для абстрактного автомата Мили (табл.1.7.) аналитическое задание имеет следующий вид:

S={ X,A,Y,F}, X={x₁,x₂}, A={a₁, а₂, а₃}, Y={y₁, y₂, у₃},

F_a1={a₂ (x₁/y₂), a₁ (x₂/у₃) },

F_а2={а₃ (x₁/y₃), a₁ (x₂/y₁) },

F_a3={a₁ (x₁/y₃), а₂ (x₂/y₂) }.

Следует отметить, что функция F_ai всегда записывается для исходного состояния.

Определим синхронные и асинхронные автоматы. Состояние а_s автомата S называется устойчивым cостоянием, если для любого входного сигнала х_jХ, такого, что а_s= δ (а_i Х_m) имеет место a_s= δ (a_s, x_m).

Автомат S называется асинхронным, если каждое его состояние a_sА устойчиво. Автомат S называется синхронным, если он не является асинхронным.

Необходимо заметить, что построенные на практике автоматы всегда асинхронные и устойчивость их состояний всегда обеспечивается тем или иным способом, например, введением сигналов синхронизации. Однако, на уровне абстрактной теории автоматов, когда автомат всего лишь математическая модель, которая не отражает многих конкретных особенностей его реализации, часто оказывается более удобным оперировать с синхронными автоматами.

1.4 Связь между моделями Мили и Мура

Как уже отмечалось, абстрактный автомат работает как преобразователь слов входного алфавита в слова выходного алфавита.

Пусть абстрактный автомат Мили задан графом рис.1.5.

На вход этого автомата, установленного в начальное состояние, поступает входное слово X=x₁, x₁, x₂, x₁, x₂, x₂.

Рисунок 1.5 - Граф автомата Мили

Так как  (a₁, x₁) = а₃, a  (a₁, x₁) = y₁, то под действием первой буквы слова Х входного сигнала x₁ автомат перейдет в состояние a₃ и на выходе его появится сигнал y_1. Далее,  (а₃, x₁) = a₁, а  (а₃, x₁) = у₂, потому при приходе второго сигнала x₁ автомат окажется в состоянии a₁, а на выходе его появится сигнал у₂. Проследив непосредственно по графу или таблицам переходов и выходов дальнейшее поведение автомата, опишем его тремя строчками, первая из которых соответствует входному слову X, вторая - последовательности состояний, которые проходит автомат под действием букв слова X, третья - выходному слову У, которое появляется на выходе автомата:

x₁ x₁ x₂ x₁ x₂ x₂

a₁ а₃ a₁ a₁ а₃ a₂ а₃

y₁ y₂ y₁ y₁ y₁ y₂

Назовем у = (а₁, X) реакцией автомата Мили в состоянии a₁ на входное слово X. Как видно из примера, в ответ на входное слово длины k автомат Мили выдает последовательность состояний длины к+1 и выходное слово длины k. В общем виде поведение автомата Мили, установленного в состояние а_m, можно описать следующим образом:

Входное слово	xi1	xi2	xi3
Последовательность состояний	am	ai2= (am,xi1)	ai3= (ai2,xi2).
Выходное слово	yi1= (am,xi1)	yi2= (ai2,xi2)	yi3= (ai3,xi3)

Точно так же можно описать поведение автомата Мура, находящегося в состоянии a_m, при приходе входного слова x_i1, x_i2,., х_ik. Напомним, что в соответствии с (1-2) выходной сигнал в автомате Мура в момент времени t (У (t)) зависит лишь от состояния, в котором находится автомат в момент t (a (t)):

Входное слово	xi1	xi2	xi3
Последовательность состояний	am	ai2= (am,xi1)	ai3= (ai2,xi2)	ai4= (ai3,xi3)
Выходное слово	yi1= (am,xi1)	yi2= (ai2,xi2)	yi3= (ai3,xi3)	yi4= (ai4)

Очевидно, что выходной сигнал у_i1=λ (a_m) в момент времени i₁ не зависит от входного сигнала x_i1, а определяется только состоянием а_m.

Таким образом, этот сигнал y_i1 никак не связан с входным словом, поступающим на вход автомата, начиная с момента i₁. В связи с этим под реакцией автомата Мура, установленного в состояние a_m на входное слово X=x_i1, х_i2,., х_ik будем понимать выходное слово той же длины у= λ (a_m, Х) =у_i2, у_i3,., y_ik+1.

В качестве примера рассмотрим автомат Мура S5, граф которого изображен на рис.1-6, и найдем его реакцию в начальном состоянии на то же самое входное слово которое мы использовали при анализе поведения автомата Мили S1:

Входное слово	x1	x1	x2	x1	x2	х2
Последовательность состояний	a1	a4	a1	a1	a4	a3	a5
Выходное слово	y1	y1	y2	y1	y1	y1	y2

Рисунок 1-6 - Граф автомата Мура

Как видно из этого и предыдущего примеров, реакции автоматов S5 и S1 в начальном состоянии на входное слово Х с точностью до сдвига на 1 такт совпадают (реакция автомата Мура обведена линией). Дадим теперь строгое определение эквивалентности полностью определенных автоматов.

Два автомата S_A и S_B с одинаковыми входными и выходными алфавитами называются эквивалентными, если после установления их в начальные состояния их реакции на любое входное слово совпадают.

 

1.5 Эквивалентные автоматы. Эквивалентные преобразования автоматов

Можно показать, что для любого автомата Мили существует эквивалентный ему автомат Мура и, обратно, для любого автомата Мура существует эквивалентный ему автомат Мили.

При описании алгоритмов взаимной трансформации автоматов Мили и Мура в соответствии с изложенным выше мы будем пренебрегать в автоматах Мура выходным сигналом, связанным с начальным состоянием ( (a₁)).

Рассмотрим сначала преобразование автомата Мура в автомат Мили.

Пусть дан автомат Мура: S_A={ Х_A, А_A, У_A,_A,_A, а_оA}, где:

Х_A={х₁, х₂,. х_n}; Y={y₁, у₂,. у_m}; А={ а₀, а₁, а₂,. а_N}; а_0A = а_{0 -} начальное состояние (а_0AА); _A - функция переходов автомата, задающая отображение (Х_AхА_A) - >А_A; _A - функция выходов автомата, задающая отображение А_A->У_A.

Построим автомат Мили: S_B={ Х_B, А_B, Y_B,_B, _B, а_0B}, у которого А_B=А_A; Х_B=Х_A; Y_B=У_A; _B=_A; а_0B=а_0A. Функцию выходов _B определим следующим образом. Если в автомате Мура _A (а_m, х₁) = а_s и _A (а_s) =y_g, то в автомате Мили _B (a_m, х₁) =y_g

Рисунок 1.7 - Иллюстрация перехода от модели Мура к модели Мили

Переход от автомата Мура к автомату Мили при графическом способе задания иллюстрируется рис.1-7: выходной сигнал y_g записанный рядом с вершиной (a_s), переносится на все дуги, входящие в эту вершину.

При табличном способе задания автомата таблица переходов автомата Мили совпадает с таблицей переходов исходного автомата Мура, а таблица выходов получается из таблицы переходов заменой символа a_s, стоящего на пересечении строки х_f и столбца а_m, символом выходного сигнала y_g отмечающего столбец a_s в таблице переходов автомата S_A.

Из самого способа построения автомата Мили S_B очевидно, что он эквивалентен автомату Мура S_A. По индукции нетрудно показать, что любое входное слово конечной длины, поданное на входы автоматов S_A и S_B, установленных в состояния a_m, вызовет появление одинаковых выходных слов и, следовательно, автоматы S_A и S_B эквивалентны.

Прежде чем рассмотреть трансформацию автомата Мили в автомат Мура, наложим на автомат Мили следующее ограничение: у автомата не должно быть преходящих состояний. Под преходящим будем понимать состояние, в которое при представлении автомата в виде графа не входит ни одна дуга, но которое имеет по крайней мере одну выходящую дугу. Итак, пусть задан автомат Мили:

S_A={ Х_A, А_A,Y_A, _A, _A, a_0A},

где:

Х_A={x₁, x₂,. x_n}; Y={y₁, у₂,. y_m}; А={ a₀,a₁,a₂,. a_N}; a_0A = a₀ - начальное состояние (а_0AА); _A - функция переходов автомата, задающая отображение (Х_AxА_A) - >А_A; _A - функция выходов автомата, задающая отображение (Х_AxА_A) - >Y_A.

Построим автомат Мура: S_B={X_B, A_B, Y_B, _B, _B, a_0B}, у которого X_B=X_A; Y_B=Y_A.

Для определения A_B каждому состоянию a_sА_A поставим в соответствие множество A_s всевозможных пар вида (a_s, y_g)

Функцию выходов _B определим следующим образом. Каждому состоянию автомата Мура S_B, представляющему собой пару вида (a_s,y_g), поставим в соответствие выходной сигнал y_g.

Если в автомате Мили S_Aбыл переход _A (a_m, x_f) = a_s и при этом выдавался выходной сигнал _A (a_m,x_f) =y_g, то в S_B будет переход из множества состояний A_m, порождаемых a_m, в состояние (a_s,y_g) под действием входного сигнала x_f.

В качестве начального состояния a_0B можно взять любое из состояний множества A₀, которое порождается начальным состоянием a₀ автомата S_A. При этом выходной сигнал в момент времени t=0 не должен учитываться.

Рассмотрим пример. Пусть задан автомат Мили (табл.1.10.)

Таблица 10				Таблица 11
A	x1	x2		X А	x1	x2
a0	a2/y1	a0/у1		a0 b0	a2/y1 b01	a0/y1 b02
a1	a0/y1	а2/y2		a1	a0/y1 b11	а2/y2 b12
a3	a0/y2	a1/y1		a2	a0/y2 b21	a1/y1 b22

Поставим в соответствие каждой паре а_i/x_k состояние Ь_ik (i-номер состояния, k-номер входного сигнала), с учетом b₀.

Составим таблицу переходов автомата Мура, руководствуясь следующими правилами:

1) Выпишем из таблицы 1.11 состояния автомата Мили и соответствующие каждому из них множества состояний автомата Мура (b_ik):

а₀= {b₀, b₀₂, b₁₁, b₂₁}; a₁= {b₂₂}; а₂= {b₀₁, b₁₂};

2) Если состояние автомата Мура b_ik входит в множество, соответствующее состоянию а_p автомата Мили, то в строку таблицы переходов автомата Мура для состояния b_ik следует записать строку из таблицы переходов автомата Мили, соответствующую состоянию а_р (из 1.10.).

3) Функцию выходов автомата Мура определим следующим образом: _B (b_ik) =_A (а_i, x_k). Для начального состояния b₀ значение выходного сигнала можно выбрать произвольно, но порождаемый начальным состоянием a₀ (с учетом понятия эквивалентности состояний). Результирующая таблица переходов и выходов автомата Мура эквивалентного автомату Мили, заданному таблицей 1.10 представлена в таблице 1.12.

4) Найдем в таблице 1.12 эквивалентные состояния и удалим их (заменим на представителя класса эквивалентности).

Если выходной сигнал возле b₀ доопределить y₁, то окажется, что в данной таблице переходов находится 3 эквивалентных состояния (b₀,b₁₁,b₀₂). Заменив класс эквивалентности одним представителем (b₀), получим окончательную таблицу переходов (табл.1.13).

Таблица 1.12

	x1	x2	Y
b0	b01	b02	y1
b01	b21	b22	y1
b02	b01	b02	y1
b11	b01	b02	y1
b12	b21	b22	y2
b21	b01	b02	y2
b22	b11	b12	y1

Таблица 1.13.

	x1	x2	У
b0	b01	b0	y1
b01	b21	b22	y1
b12	b21	b22	y2
b21	b01	b0	y2
b22	b0	b12	y1

Изложенные методы взаимной трансформации автоматов Мили и Мура показывают, что при переходе от автомата Мура к автомату Мили число состояний автомата не изменяется, тогда как при обратном переходе число состояний в автомате Мура, как правило, возрастает.

Таким образом, эквивалентные между собой автоматы могут иметь различное число состояний, в связи с чем возникает задача нахождения минимального (с минимальным числом состояний) автомата в классе эквивалентных между собой автоматов. Существование для любого абстрактного автомата эквивалентного ему абстрактного автомата с минимальным числом внутренних состояний впервые было доказано Муром.

1.6 Минимизация числа внутренних состояний автомата

Алгоритм Ауфенкампа-Хона.

В основу метода минимизации состояний автомата положена идея разбиения всех состояний исходного, абстрактного автомата на попарно не пересекающиеся классы эквивалентных состояний и замене каждого класса эквивалентности одним состоянием (представителем данного класса). Образующийся в результате этих преобразований минимальный автомат имеет столько же состояний, на сколько классов эквивалентности разбиваются исходные состояния.

Два состояния автомата a_m и a_s называются эквивалентными (a_m =a_s), если  (a_m,X) =  (a_s,X) для всех возможных входных слов длины X.

Если a_m и a_s не эквивалентны, они различимы. Более слабой эквивалентностью является K-эквивалентность. Состояния a_m и а_s K-эквивалентны, если  (a_m, Х_k) =  (a_s, Х_k) для всех возможных входных слов длины К. При минимизации числа внутренних состояний автомата Мили S={X,Y, А, ,, а₀} используется алгоритм Ауфенкампа-Хона:

1. Находят последовательные разбиения ₁,₂,…,_k,_k+1, множества А на классы одно-, двух-,., К-, (К+1) - эквивалентных состояний до тех пор, пока на каком-то (К+1) шаге не окажется, что _k=_k+1. В этом случае К-эквивалентные состояния являются эквивалентными. Число шагов К, при котором _k=_k+1 не превышает N-1, где N - число внутренних состояний автомата.

2. В каждом классе эквивалентности  выбирают по одному элементу (представителю класса), которые образуют множества А' состояний минимального автомата S'.

3. Функцию переходов ' и выходов ' автомата S' определяют на множестве A'xX.

Для этого в таблице переходов и выходов вычеркивают столбцы, соответствующие не вошедшим в множество А' состояниям, а в оставшихся столбцах таблицы переходов все состояния заменяются на эквивалентные из множества А', (на представителей).

4. В качестве а'₀ выбирается одно из состояний, эквивалентное состоянию а₀. В частности, удобно принять само состояние а₀.

При минимизации автомата Мура вводится понятие 0-эквивалентности состояний и разбиения множества состояний на 0-классы: 0-эквивалентными называются любые, одинаково отмеченные выходными сигналами, состояния автомата Мура. В качестве примера рассмотрим минимизацию автомата Мура, заданного таблицей переходов и выходов (Таблица 1.14).

Таблица 1.14

У

y1

y1

y3

y3

y3

y2

y3

y1

y2

y2

y2

y2

А

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

a11

a12

x2

a10

a12

a5

a7

a3

a7

a3

a10

a7

a1

a5

a2

x2

a5

a7

a6

a11

a9

a11

a6

a4

a6

a8

a9

a8

Выполним разбиение ₀:

₀={В₁, В₂, В₃};

B₁={a₁, a₂, a₈}, В₂={а₆, а₉, а₁₀, а₁₁, а₁₂}, В₃={а₃, a₄, a₅, a₇}.

Построим таблицу разбиения ₀:

У

B1

В2

В3

А

a1

a2

a8

a6

a9

a10

a11

a12

a3

а4

a5

a7

х1

В2

В2

В2

В3

В3

B1

В3

B1

В3

В3

В3,

В3

х2

В3

В3

В3

В2

В2

B1

B2

B1

В2

В2

В2

В2

Выполним разбиение ₁:

₁={С₁, С₂, С₃, С₄};

C₁={a₁, a₂, a₈}, С₂={а₆, а₉, а₁₁}, С₃={ а₁₀, a₁₂}, С₄={а₃, а₄, a₅, a₇}.

Построим таблицу разбиения ₁:

У

С1

С2

С3

С4

А

a1

a3

a8

a6

a9

a11

a10

a12

a3

а4

a5

a7

х1

С3

С3

С3

С4

С4

С4

C1

C1

С4

C4

С4

С4

х2

С4

С4

С4

С2

С2

С2

C1

C1

С2

С2

С2

С2

Выполним разбиение ₂.

₁={D₁, D₂, D₃, D₄};

D₁={a₁, a₂, a₈}, D₂={а₆, а₉, а₁₁}, D₃={ а₁₀, a₁₂}, D₄={а₃, а₄, a₅, a₇}.

Разбиение ₂ повторяет разбиение ₁ - процедура разбиения завершена.

Выберем произвольно из каждого класса эквивалентности D₁, D₂, D₃, D₄ по одному представителю - в данном случае по минимальному номеру: A'={a₁, а₃, a₆, а₁₀}.

Удаляя из исходной таблицы переходов "лишние" состояния, определяем минимальный автомат Мура (табл.1.15.)

Таблица 1.15.

У	y1	y3	y2	y2
А	a1	a3	a6	a10
х1	a10	a3	a3	a1
х2	a3	a6	a6	a1

Вывод

В процессе выполнения контрольной работы мы ознакомились с основными понятиями абстрактных цифровых автоматов; типами абстрактных автоматов; способами задания абстрактных автоматов; связью между моделями Мили и Мура; эквивалентными автоматами и эквивалентными преобразованиями автоматов; минимизацией числа внутренних состояний автомата и алгоритмом Ауфенкампа-Хона - привели примеры.

Список литературы

1. Самофалов К.Г., Романкевич А.М., и др. Прикладная теория цифровых автоматов. - Киев. “Вища школа" 1987.

2. Соловьев Г.Н. Арифметические устройства ЭВМ. - М. “Энергия”. 1978.

3. Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов - М. “Высшая школа”. 1987.

4. Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы. - М. Энергоатомиздат. 1985.

5. Лысиков Б.Г. Арифметические и логические основы цифровых автоматов. - Минск. “Вышэйшая школа”. 1980.