Техническая механика

Задача 1

Дано: , , . Найти: , .

Рис. 1

Решение:

1. Решим задачу аналитически. Для этого рассмотрим равновесие шара 1. На него действует реакция N опорной поверхности А, перпендикулярная к этой поверхности; сила натяжения Т₁ нити и вес Р₁ шара 1 (рис. 2).

Рис. 2

Уравнения проекций всех сил, приложенных к шару 1, на оси координат имеют вид:

: (1)

: (2)

Из уравнения (1) находим силу натяжения Т₁ нити:

Тогда из уравнения (2) определим реакцию N опорной поверхности:

Теперь рассмотрим равновесие шара 2. На него действуют только две силы: сила натяжения Т₂ нити и вес Р₂ этого шара (рис. 3).

Рис. 3

Поскольку в блоке Д трение отсутствует, получаем

2. Решим задачу графически. Строим силовой треугольник для шара 1. Сумма векторов сил, приложенных к телу, которое находится в равновесии, равна нулю, следовательно, треугольник, составленный из ,  и  должен быть замкнут (рис. 4).

Рис. 4

Определим длины сторон силового треугольника по теореме синусов:

Тогда искомые силы равны:

Задача 2

Дано: , , , , . Найти: , .

Рис. 5

Решение

1. Рассмотрим равновесие балки АВ. На неё действует равнодействующая Q распределённой на отрезке ЕК нагрузки интенсивности q, приложенная в середине этого отрезка; составляющие X_A и Y_A реакции неподвижного шарнира А; реакция R_С стержня ВС, направленная вдоль этого стержня; нагрузка F, приложенная в точке К под углом ; пара сил с моментом М (рис. 6).

Рис. 6

2. Равнодействующая распределенной нагрузки равна:

3. Записываем уравнение моментов сил, приложенных к балке АВ, относительно точки А:

(3)

4. Уравнения проекций всех сил на оси координат имеют вид:

: , (4)

: , (5)

Из уравнения (3) находим реакцию R_С стержня ВС:

По уравнению (4) вычисляем составляющую X_A реакции неподвижного шарнира А:

С учетом этого, из уравнения (5) имеем:

Тогда реакция неподвижного шарнира А равна:

Задача 3

Дано: , , . Найти: , , .

Рис. 7

Решение

Рассмотрим равновесие вала АВ. Силовая схема приведена на рис. 8.

Уравнения проекций сил на координатные оси имеют вид:

: , (6)

: , (7)

Рис. 8

Линии действия сил F₁, F_r2 X_A и X_B параллельны оси х, а линия действия силы Z_A пересекает ось х, поэтому их моменты относительно этой оси равны нулю.

Аналогично линии действия сил F_r1, F_r2 X_A, X_B, Z_A и Z_B пересекают ось у, поэтому их моменты относительно этой оси также равны нулю.

Относительно оси z расположены параллельно линии действия сил Z_А, Z_BF_r1 и F₂, а пересекает ось z линия действия силы X_A, поэтому моменты этих сил относительно оси z равны нулю.

Записываем уравнения моментов всех сил системы относительно трёх осей:

: (8)

: (9)

: (10)

Из уравнения (4) получаем, что

Из уравнения (3) находим вертикальную составляющую реакции в точке В:

По уравнению (10), с учетом , рассчитываем горизонтальную составляющую реакции в точке В:

Из уравнения (6) определяем горизонтальную составляющую реакции в точке А:

Из уравнения (7) имеем

Тогда реакции опор вала в точках А и В соответственно равны:

Задача 4

Дано: , , , , .

Найти: , , , .

Решение

1. Поскольку маховик вращается равноускоренно, то точки на ободе маховика вращаются по закону:

 (11)

По условию задачи маховик в начальный момент находился в покое, следовательно,  и уравнение (11) можно переписать как

 (12)

2. Определяем угловую скорость вращения точек обода маховика в момент времени :

3. Находим угловое ускорение вращения маховика из уравнения (12):

4. Вычисляем угловую скорость вращения точек обода маховика в момент времени :

5. Тогда частота вращения маховика в момент времени равна:

6. По формуле Эйлера находим скорость точек обода маховика в момент времени :

7. Определяем нормальное ускорение точек обода маховика в момент времени :

8. Находим касательное ускорение точек обода маховика в момент времени :

Задача 5

Дано: , , , , , . Найти: , .

Рис. 9

Решение

1. Работа силы F определяется по формуле:

(13)

где  – перемещение груза.

2. По условию задачи груз перемещается с постоянной скоростью, поэтому ускорение груза .

Рис. 10

3. Выбираем систему координат, направляя ось х вдоль линии движения груза. Записываем уравнения движения груза под действием сил (рис. 10):

: (14)

: (15)

где  – сила трения скольжения.

Выражаем из уравнения (14) реакцию  наклонной плоскости

и подставляем в уравнение (15), получаем

Тогда работа силы F равна

4. Мощность, развиваемая за время перемещения , определяется по формуле: