Математическое моделирование работы систем массового обслуживания

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Математическое моделирование работы систем массового обслуживания

Задание

 

Вариант 1. Газозаправочная станция для автомобилей располагает двумя газовыми насосами. В очереди, ведущей к насосам, могут расположиться не более пяти автомашин, включая те, которые обслуживаются. Если уже нет места, прибывающие автомобили уезжают искать другую заправку. Распределение прибывающих автомобилей является пуассоновским с математическим ожиданием 20 автомобилей в час. Время обслуживания клиентов имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 6 минут.

На основе расчета функциональных характеристик СМО определить:

– процент автомобилей, которые будут искать другую заправку;

– процент времени, когда используется только один из насосов;

– процент времени использования двух насосов;

– вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди;

– среднее время пребывания автомобиля на газозаправочной станции.

массовый обслуживание транспорт автомобильный

Функциональные характеристики СМО

Характеристика	Описание	Значение
l	интенсивность входного потока заявок	20
m	интенсивность обслуживания	10
	относительная нагрузка на систему	2,00000
эфф	эффективная интенсивность поступления заявок в систему	13,3333
Lq	среднее число заявок в очереди	2,00000
Ls	среднее число находящихся в системе заявок	3,73333
Wq	средняя продолжительность пребывания заявки в очереди	0,11538
Ws	средняя продолжительность пребывания заявки в системе	0,21538
p0	вероятность состояния S0	0,06667
p1	вероятность состояния S1	0,13333
P2	вероятность состояния S2	0,13333
P3	вероятность состояния S3	0,13333
P4	вероятность состояния S4	0,13333
P5	вероятность состояния S5	0,13333
P6	вероятность состояния S6	0,13333
P7	вероятность состояния S7	0,13333

Интерпретация полученных результатов.

– процент автомобилей, которые будут искать другую заправку = p_c+m = p₇ = 13,33%

– процент времени, когда используется только один из насосов = p₁ = 13,33%

– процент времени использования двух насосов = p₂ + … +p₇ = 80%

– вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди = 1 – p₇ = 86,67%

– среднее время пребывания автомобиля на газозаправочной станции = W_s = 0,21538 ч. = 13 минут

Контрольные вопросы:

1. Из каких основных компонентов состоит СМО?

Системы массового обслуживания (СМО) – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, которые удовлетворяются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания (сервисов).

Основными компонентами СМО являются два потока событий:

1) входной поток заявок (требований на обслуживание), характеризующийся своей интенсивностью l (средним количеством клиентов, поступающих в систему в единицу времени) или средним интервалом времени между их последовательными поступлениями t_пост;

2) выходной поток заявок, описываемый интенсивностью обслуживания m (средним количеством обслуженных заявок в единицу времени) или средней продолжительностью обслуживания t_обсл.

Для СМО разомкнутого типа, у которых входной и выходной потоки подчинены распределению Пуассона, в качестве исходных данных для расчета функциональных характеристик используются:

·  интенсивность входного потока заявок l;

·  интенсивность обслуживания m;

·  количеством параллельно работающих однородных сервисов (обслуживающих каналов) с;

·  максимальная емкость очереди m;

·  мощность источника заявок f.

2. Какие бывают СМО?

Состоянием системы называется число находящихся в данный момент в СМО заявок n. Поступающие заявки могут сразу попасть на обслуживание (если сервис свободен) или ожидать в очереди.

Если максимально допустимое число мест в очереди m конечно, то в СМО могут происходить отказы в предоставлении сервиса (система с отказами). Отклоняются от обслуживания те заявки, в момент прихода которых все места в очереди случайно оказались занятыми или при m = 0 (система без очереди) все каналы обслуживания оказались занятыми. В СМО с неограниченной длиной очереди (m = ¥) пришедшая заявка при невозможности немедленного обслуживания ожидает обслуживания при любой длине очереди и продолжительности времени ожидания.

По способу отбора из очереди заявок для обслуживания различают следующие виды дисциплины очереди:

1) первым пришел – первым обслуживается (FCFS);

2) последним пришел – первым обслуживается (LCFS);

3) случайный отбор заявок (SIRO);

4) ограничено время пребывания заявки в очереди;

5) с приоритетами, при которой некоторые находящиеся в очереди заявки имеют право первоочередного обслуживания (например, срочные работы выполняются раньше обычных).

По числу каналов обслуживания c различают одноканальные и многоканальные СМО. Многоканальные СМО разделяют:

·  по характеристикам каналов – на однородные и неоднородные СМО;

·  по расположению каналов – на СМО с параллельным и последовательным расположением сервисов.

В некоторых СМО интенсивность входного потока может зависеть от числа заявок, уже находящихся в системе (СМО замкнутого типа). В такой системе конечность очереди является следствием ограниченности мощности источника, создающего заявки на обслуживание. В СМО с источником бесконечной мощности (СМО разомкнутого типа) интенсивность входного потока практически не зависит от состояния системы.

3. Как определить основные функциональные характеристики СМО?

Наиболее употребляемыми функциональными характеристиками стационарных СМО являются следующие:

·  p_отк – вероятность отказа в обслуживании (средняя доля заявок, получивших отказ в обслуживании):

– для СМО с отказами

 

;

– для СМО с неограниченной очередью

p_отк = 0;

·  q – относительная пропускная способность системы (средняя доля обслуженных заявок; вероятность обслуживания)

q = 1 – p_отк;

·  – относительная нагрузка на систему

r = l / m;

·  _эфф – эффективная интенсивность поступления заявок в систему (абсолютная пропускная способность системы; среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени)

·  L_q – среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди):

– для СМО без очереди

L_q = 0;

– для СМО с ограниченной очередью

 

– для СМО с неограниченной очередью

;

·  L_s – среднее число находящихся в системе заявок

·  W_q – среднее время (средняя продолжительность) пребывания заявки в очереди

·  W_s – среднее время (средняя продолжительность) пребывания заявки в системе

·   – среднее количество занятых средств обслуживания

 

;

·  p_n – вероятность того, что в системе находится n заявок

– для СМО с отказами

; ;

– для СМО с неограниченной очередью

 

;

В ходе работы я научилась определять количественные показатели качества функционирования системы массового обслуживания.