Динамика рыночной экономики

Динамика рыночной экономики

Традиционный подход к динамике рыночных отношений предполагает рассмотрение приспособительных реакций экономики на внешние воздействия в "кратчайшем", "краткосрочном" или "долговременном" периодах. Весь анализ основан на графических построениях и сводится к сравнению начальных и конечных равновесных состояний. Сам процесс перехода из одного состояния в другое остается без внимания [1].

Цель данной работы – разработка математических моделей, описывающих динамику поведения макроэкономических систем.

Рассмотрим экономические модели:

-  чистой монополии,

-  чистой конкуренции,

-  монополистической конкуренции и олигополии.

Примем следующие определения и допущения:

1.  Планируемый спрос – объем товаров в натуральном или денежном выражении по ценам, действующим на принятый за базовый момент времени, который потребители планировали или планируют приобрести на некоторый начальный момент времени или за любой выделенный его промежуток.

2.  Потребительский спрос – спрос на товары личного потребления. Так как конечной целью любой экономики является удовлетворение личных потребностей, именно спрос на потребительские товары является первичным, определяющим размер производства. "Уровень жизни людей зависит в первую очередь от количества товаров, произведенных и направленных в руки семей и отдельных индивидов…" [2].

3.  Текущий спрос – разность между планируемым спросом и тем количеством товаров в натуральном или денежном выражении по действующим на базовый момент времени ценам, которое было реализовано на внутреннем рынке к данному моменту времени.

4.  Ограниченный спрос – количество товаров в натуральном или денежном выражении, потребность в котором может быть полностью удовлетворена. "Хотя, вообще говоря, потребности людей безграничны, потребность в определенном товаре может быть удовлетворена" [3].

5.  Неограниченный спрос – спрос, который существует на постоянной основе и не может быть полностью исчерпан.

6.  Расширяющийся спрос – спрос, прямо зависящий от количества реализованного к данному моменту времени товара.

7.  Годовой спрос (годовой прирост спроса) − величина спроса в текущем году. Годовой спрос принимается численно равным абсолютному значению производной по времени на начало текущего года от функции, описывающей спрос, при измерении времени в годах. (Изменение функции с достаточной точностью может быть оценено по ее дифференциалу).

8.  Производный (вторичный) спрос – спрос, обусловленный наличием потребительского спроса. Например, спрос на инвестиционные товары, ресурсы является производным от потребительского спроса. Производным является и спрос на услуги, такие, например, как управленческие услуги, медицинские услуги; услуги по гарантийному и текущему техническому обслуживанию, ремонту; услуги по реализации товаров и так далее. "Спрос на ресурсы является производным спросом, т. е. производным от готовых товаров …" [4]. Будучи вторичным, производный спрос не оказывает прямого влияния на размер производства.

9.  Объем производства – количество товаров в натуральном или денежном выражении по ценам, действующим на момент времени, принятый за базовый, которое произведено к данному моменту времени. Это реальный физический объем производства, выраженный в натуральной или эквивалентной денежной форме по тем же ценам, что и спрос.

10.  Годовой объем производства (годовой прирост продукции) − объем товаров, произведенный в текущем году. Принимается численно равным производной по времени на начало текущего года от объема производства при измерении времени в годах. Аналог данной величины – валовой национальный продукт (ВНП).

11.  Рынок – структура, обеспечивающая распределение товаров. В более широком смысле рынок – экономическая система в целом.

12.  Предложение – количество потребительских товаров, поставляемых на рынок.

13.  Емкость рынка – планируемый спрос на товар, текущая емкость рынка – текущий спрос на товар.

14.  Ограниченный рынок – рынок с ограниченным спросом, расширяющийся рынок – рынок с расширяющимся спросом, неограниченный рынок – рынок с неограниченным спросом.

15.  Статичная экономика – экономика с постоянными средним годовым планируемым спросом и средним годовым объемом производства.

16.  Количество товаров, спрос, объемы производства измеряются в у. е. (условных единицах).

Экономическую систему, основанную на спросе и предложении, можно представить следующей структурной схемой (см. рис.1):

динамика монополия олигополия конкуренция

Ее можно рассматривать как динамический объект с отрицательной обратной связью по предложению. Входной величиной для системы является планируемый спрос, выходной – объем производства. Рынок можно рассматривать как элемент сравнения спроса и предложения, производство - как объект регулирования. Регулирующую роль в системе играет предложение. При отклонении предложения от спроса появляется стимул для изменения размера производства, а, следовательно, и величины предложения.

Аналитически динамические свойства выражаются обычно дифференциальными уравнениями, графически, наглядно, – кривыми переходных процессов, представляющих реакции объекта на типичные входные воздействия. Примером может служить временная характеристика – изменение во времени выходной величины под действием скачкообразного изменения входной. При этом виде воздействия входная величина мгновенно изменяется на конечную величину, в дальнейшем оставаясь постоянной. Часто оказывается удобным другой способ выражения динамических свойств – передаточная функция, представляющая собой динамический коэффициент передачи объекта.

Динамические характеристики системы в целом складываются из динамических характеристик структурных единиц – элементов.

Рассмотрим динамические характеристики элемента "Производство" для различных моделей экономики.

 

Динамика товарного производства. Чисто монопольный рынок ограниченного объема

Обозначим количество товара через "х". Примем, что единственный производитель поставляет на рынок, емкость которого х_вх = const ограничена, пригодный к неограниченно долгому использованию товар.

Если товара на рынке мало, т. е. он дефицитен, то любое количество раскупается сразу, скорость реализации велика, так как велико число покупателей. По мере насыщения рынка число покупателей сокращается, и скорость реализации падает. Наконец, если рынок насыщен товаром, скорость реализации становится равной нулю. "Чем большее количество продукта приобретают потребители, тем меньше их стремление к получению дополнительных единиц этого же продукта" [5].

Логично принять, опираясь на приведенные выше рассуждения, что скорость реализации пропорциональна текущему спросу, то есть разнице между планируемым спросом (емкостью рынка) "х_вх" и количеством реализованного к данному моменту товара "x".

Тогда скорость реализации составит

 

V_p=c×(x_вх – x) …………….……….….. (1),

где "х" - количество реализованного к данному моменту времени "t" товара, у.е.,

х_вх –планируемый спрос, у. е.,

с – коэффициент пропорциональности, имеющий размерность времени.

Единственный производитель способен полностью контролировать рынок. Ему выгодно, чтобы минимизировать издержки и получить максимальный общий доход и прибыль, поддерживать постоянной цену товара, а скорость производства, равной скорости реализации, то есть "работать с колес".

Выберем произвольный момент времени "t" и рассмотрим баланс товара на рынке за бесконечно малый промежуток времени "dt ". За этот промежуток времени будет произведено количество товара, равное "dx", а реализовано количество товара, равное "c×(x_вх – x)∙dt". Из условия, что произведенный товар будет немедленно реализован, следует, что эти количества должны быть равны:

 

dx = c×(x_вх – x)∙dt …………………..... (1.1).

Разделив обе части на "dt", получим:

dx/dt = c×(x_вх – x) …………………..... (1.2).

Тот же результат можно получить, если приравнять скорости производства и реализации товара.

Скорость производства товара равна приращению массы товара на рынке в единицу времени, т. е.

 

V_п = dx/dt …………………..…….… (1.3),

Приравнивая (1) и (1.3), получим дифференциальное уравнение, описывающее динамику производства:

dx/dt = c×(x_вх – x)……………..(1.2),

 …………..…. (1.4),

……………….(1.5).

Решением уравнения (1.5) при нулевых начальных условиях (x= 0 при t = 0) и х_вх = соnst (х_вх = 0 при t<0, х_вх ≠0 при t≥0) будет:

 ………..… (1.6),

где х – объем производства − выходная величина объекта, у.е.,

х_вх – планируемый спрос − входная величина для объекта, у.е.,

T₁ =1/c – постоянная времени объекта.

 

Чисто монопольный, расширяющийся рынок

Реальный товар имеет ограниченный срок использования, например, вследствие морального или физического износа, т. е. безвозвратно расходуется в процессе потребления. Для замены использованного товара требуется производить дополнительное количество нового товара, причем это дополнительное количество пропорционально уже выпущенному количеству, т. е. по мере роста выпуска происходит расширение планируемого спроса "х_вх" на величину "l×х", где "х" - масса уже выпущенного товара, а l<1 – коэффициент расширения спроса. Спрос "х_вх" может быть функцией времени.

Итак, текущий спрос составит

[(x_вх + l×х) – x)] …………………...… (2),

скорость реализации

 

V_p=c×[(x_вх + l×х) – x)] ……………... (2.1),

скорость производства

 

V_п = dx/dt ……….……………….…(2.2).

Приравнивая (2.1) и (2.2), получим следующее дифференциальное уравнение:

 

dx/dt = c×[(x_вх + l×х) – x)] ………… (2.3)

или

 ……………….…(2.4),

где Т₁ =  - постоянная времени: параметр, характеризующий динамику производства в условиях чистой монополии,

К =  - структурный мультипликатор спроса (или статический коэффициент передачи объекта).

Структурным мультипликатор назван потому, что он относится к конкретной структурной единице – производственному сектору и характеризует его производственные возможности.

Можно принять , исходя из того, что λ = 0, когда срок службы товара"t_с" не ограничен (t_с =¥), и "λ" стремиться к 1 (λ<1), когда срок службы товара приближается к времени его реализации "t_р". Здесь "D" − некоторая константа.

Структурный мультипликатор − аналог мультипликатора дохода, обычно определяемого как "отношение изменения ЧНП к соответствующему изменению первоначальных расходов" [6], а коэффициент расширения спроса "λ" не что иное, как аналог "предельной склонности к потреблению" ^[7] .

Решение уравнения (2.4) при нулевых начальных условиях (x_t=0 = 0) и при х_вх = const будет иметь вид:

 ………………(2.5).

На рис. 2 приведена временная характеристика модели с постоянной времени Т₁ = 2 года (с =1 год⁻¹; l= 0,5) и коэффициентом передачи К = 2, представляющая собой зависимость объема производства от времени при входном скачкообразном воздействии (изменении спроса) х_вх = 1 у.е.. По временной характеристике можно судить о динамических свойствах объекта. В данном случае по принятой классификации объект– апериодическое звено первого порядка [8].

Чисто конкурентный, расширяющийся рынок

Для чистой конкуренции характерно следующее [9]:

- отраслевое производство увеличивается или сокращается только за счет изменения числа предприятий, причем отрасль может расширяться или сужаться без существенного влияния на цены и затраты ресурсов;

- отдельный производитель не в состоянии повлиять ни на цену товара, ни на общий объем производства;

- производители могут, как легко входить в рынок, так и легко покидать его;

- увеличение спроса не влияет на уровень цен, так как отраслевое предложение представляет собой горизонтальную линию.

Естественно поставить скорость образования новых предприятий в зависимость от спроса. В начальный момент, когда число предприятий незначительно, а спрос велик, скорость образования новых предприятий будет велика. При текущем спросе, равном нулю, новые предприятия возникать не будут.

Допустим, что скорость образования новых предприятий пропорциональна текущему спросу, т. е.

 ………….…...(3),

где "N" – число предприятий.

В условиях чистой конкуренции экономические показатели отдельных предприятий неизбежно выравниваются, то есть

v₁ = v₂=… v_j = …=v_N = c₂ ………...(3.1),

где "v_j" - скорость производства отдельного предприятия (типичной фирмы).

Суммарная скорость производства (отраслевая скорость) пропорциональна числу производителей:

…………….….…(3.2),

Откуда

……………...……..(3.3).

Подставив (3.3) в (3) и произведя преобразования, получим (с=с₁∙с₂):

 ……….... (3.4)

или

 ……………… (3.5),

где х_вх – планируемый спрос (входная величина),

 - параметр, характеризующий динамику производства в условиях чистой конкуренции,

К =  - структурный мультипликатор спроса.

Решением уравнения (3.5) при нулевых начальных условиях

(t = 0, x_t=0 = 0, ) и при x_вх= const

является выражение:

 …..……...(3.6),

где

 …………….…..……(3.7).

Здесь w₁ - круговая частота цикла, А₁ – амплитуда цикла. Период цикла связан с круговой частотой соотношением

 ………………….(3.8).

На рис. 3 показана реакция модели с параметрами Т₂ =2 года (с = 0,5 год⁻²; l= 0,5) и К = 2 на входное воздействие (скачкообразное изменение спроса) х_вх = 1 у. е., а именно: зависимость объема производства от времени.

Данная структурная модель представляет собой чисто колебательное звено.

Расширяющийся рынок с монопольной конкуренцией

Уравнение процесса для данного случая можно получить, поставив в соответствие реальному рынку составной рынок, состоящий из двух частей: чисто конкурентной и чисто монопольной, суммарный объем производства и суммарный спрос которых равны соответственно объему производства и спросу на реальном рынке. Такое рассмотрение позволяет ввести непрерывную величину − показатель конкуренции "k", как долю объема производства и спроса, приходящуюся на конкурентную часть составного рынка, и связать ее с числом производителей на рынке. Каждую часть рынка можно, воспользовавшись выведенными выше уравнениями для чистой монополии и чистой конкуренции, описать собственным уравнением, исходя из доли приходящегося на нее объема производства и спроса.

Объем производства конкурентной части рынка и приходящийся на нее спрос составят соответственно"k×x" и "k×x_вх", где k –показатель конкуренции (0<k<1), "х" – текущий объем производства реального рынка, "х_вх" - спрос на реальном рынке. Тогда чисто конкурентную часть рынка можно описать уравнением:

 ….............(4).

Чисто монопольная часть рынка в свою очередь будет описываться уравнением:

 …...(4.1).

При суммировании этих двух уравнений получим рынок с объемом производства и спроса, равным таким же величинам реального рынка, и уравнение, описывающее расширяющийся рынок с монопольной конкуренцией:

 … (4.2),

 …….……... (4.3),

где

 и  − параметры динамики модели.

Решение уравнения (4.3) при Т₃ < 2∙Т₄ с учетом начальных условий t = 0, x = 0,  и при входном воздействии х_вх = соnst и можно записать в виде:

……...… (4.4),

где

.…(4.5),

…………..………(4.6).

Здесь σ – коэффициент затухания цикла, ω₂ – круговая частота цикла, β – фаза цикла, А₂ – амплитуда цикла.

На рис. 4 показана временная характеристика, то есть зависимость объема производства от времени, для модели с параметрами Т₂ =2 года, Т₁ = 2 года, К = 2, k = 0,5 при входном воздействии (скачкообразном изменении спроса) х_вх = 1 у. е. Такая временная характеристика характерна для колебательного звена с затуханием.

Уравнение (4.2) можно считать обобщенной динамической характеристикой элемента "Производство" для всех моделей экономики. Все рассмотренные случаи могут быть получены из него при значениях коэффициента конкуренции "k" в диапазоне от нуля до единицы.

Записанное в операторной форме уравнение (4.2) будет иметь вид:

…………..(4.7),

а передаточная функция элемента (сектора) "Производство" может быть представлена следующим выражением [10]:

 .….…(4.8),

где х_вх – значение сигнала на входе элемента (хвх₁ на рис.1),

х – значение сигнала на выходе элемента (хвых₁ на рис.1),

Т₂ – параметр, характеризующий динамику элемента при чистой конкуренции (динамику конкурентной части);

Т₁ − параметр, характеризующий динамику элемента при чистой монополии (динамику монопольной части);

р - оператор дифференцирования.

Статической характеристикой элемента является линейная зависимость:

 

х = К∙х_вх ……………………….. (5).

Статическая характеристика – зависимость выходной величины от входной в равновесных состояниях объекта. Состояние объекта, при котором возмущения отсутствуют, а входная и выходная величины сохраняют постоянные значения, называется равновесным. Статическая характеристика позволяет определить величину выходного сигнала в зависимости от заданной величины входного при переходе объекта из одного равновесного состояния в другое [11].

Если объект, будучи выведен из состояния равновесия действием возмущения, после устранения последнего стремится снова вернуться в состояние равновесия, то он является устойчивым. Если же выходная величина с течением времени все дальше удаляется от заданного значения или непрерывно колеблется вокруг него – объект неустойчив [12].

Известно, что уровень конкуренции есть функция числа производителей k = f(N) [13], где "N", очевидно, равно числу производителей, когда система находится в состоянии равновесия. Эту зависимость, учитывая, что для чистой конкуренции k = 1, а для чистой монополии k = 0, можно аппроксимировать выражением:

……………………..(5.1).

При большом "N" (N→∞), что отвечает случаю чистой конкуренции, показатель конкуренции "k", вычисленный по предложенной зависимости (5.1), практически не отличается от единицы, а при N = 1, что отвечает случаю чистой монополии, равен нулю. На практике "N" можно принимать равным среднему числу производителей за достаточно большой промежуток времени или среднему числу за экономический цикл.

Обратная зависимость будет иметь вид:

………...……..(5.2).

Динамика экономической системы

 

Примем, что запаздывания (временные лаги) в экономической системе (см. рис.1), связанные с принятием решений об увеличении или сокращении объемов производства, с подготовкой производства при изменении спроса, с задержками на линии реализации продукции, отсутствуют или незначительны, и что передаточную функцию структурного элемента «Предложение» можно представить в виде:

 

W₂(p) =  = К_S….………….....… (6),

где К_S –коэффициент передачи цепи обратной связи (К_S ≤1).

Тогда передаточная функция системы в целом будет иметь вид [14]:

…. (6.1),

причем

…………….......(6.2),

…….…....(6.3),

и, следовательно, система в целом будет описываться следующим дифференциальным уравнением:

 ..….... (6.4),

где К₀ – системный мультипликатор спроса (статический коэффициент передачи системы),

Т₃ – имеющий размерность времени параметр, характеризующий динамику системы при чистой конкуренции (динамику конкурентной части),

Т₄ − имеющий размерность времени параметр, характеризующий динамику системы при чистой монополии (динамику монопольной части),

х_вх – размер планируемого спроса,

х_вых – размер производства.

Приравнивая знаменатель передаточной функции (6.1) нулю, получим характеристическое уравнение системы:

= 0…………..……….. (6.5).

Если корни этого уравнения  комплексные (Т₃<2∙Т₄), решением дифференциального уравнения (6.4) будет колебательный процесс.

Обозначим:

…... (6.6).

Тогда , где s - коэффициент затухания, w₂ - круговая частота цикла.

Полагая Т₁/(2×Т₂²) = а = соnst (Т₁ и Т₂ по определению не зависят от "k"), получим уравнение, связывающее коэффициент затухания с показателем конкурентности рынка:

 ….……….………… (6.7).

Здесь коэффициент "а" можно рассматривать как параметр цикличности, так как от него зависит скорость затухания колебаний.

Современное производство включает два сектора: потребительский и средств производства. Для обеспечения выпуска потребительских товаров, общество вынуждено производить соответствующее количество орудий труда. С экономической точки зрения коэффициент передачи цепи обратной связи "К_S" представляет собой коэффициент распределения дохода между этими двумя секторами. "То, что затрачено потребителем на приобретение продукта, получено в виде дохода теми, кто участвовал в его производстве" [15].

Рассмотрим реакцию моделей на скачкообразное изменение спроса. Напомним, что реакция на скачкообразное изменение входного сигнала − одна из характеристик, по которой можно наглядно судить о динамических свойствах системы.

Для случая чистой конкуренции (k = 1) будем иметь:

..………………....…(7),

…..….(7.1),

………………………...(7.2).

При нулевых начальных условиях (xвых_t=0 = 0, dxвых/dt_t=0,= 0), полагая xвх = const (x_вх = 0 при t<0, x_вх ≠ 0 при t³ 0), получим следующее решение уравнения (7.2):

…………......….…….(7.3),

где

 − круговая частота цикла…………..…… (7.4),

 − амплитуда цикла………………... (7.5).

Период цикла связан с круговой частотой соотношением

 …………………………….…..(7.6).

Из (7.3) следует, что в случае чистой конкуренции временная характеристика системы представляет собой незатухающие гармонические колебания (циклы) около средней линии−состояния равновесия х_вых=К₀×х_вх [16], причем с увеличением структурного мультипликатора частота колебаний растет. Амплитуда цикла пропорциональна интенсивности возмущения. Эти незатухающие колебания объема совокупного продукта – присущая системе естественная цикличность. "Термин экономический цикл означает следующие один за другим подъемы и спады уровней экономической активности. Отдельные экономические циклы существенно отличаются друг от друга по продолжительности и интенсивности [17]". Последнее, вероятно, объясняется возникновением биений при наложении многочисленных в реальных условиях внешних возмущений на естественную цикличность. Следует отметить, что в состоянии равновесия колебания отсутствуют. В то же время любое внешнее воздействие приводит к появлению незатухающих колебаний. Такая система не считается устойчивой [18]. Напомним, что устойчивой считается система, стремящаяся после устранения возмущения вернуться в состояние равновесия. "Неустойчивость рыночной экономики, сказывающаяся на объеме совокупного продукта, занятости и уровне цен, представляет собой вечную проблему" [19].

Для полностью монополизированной экономики (k = 0) при начальных условиях t = 0, xвых_t=0 = 0 и при xвх = const имеем:

…(7.7),

……………….….…….……....(7.8),

 ………………..………...(7.9).

Полностью монополизированная экономика устойчива, собственная (внутренняя) цикличность отсутствует, скорость выравнивания при возмущениях растет с увеличением структурного мультипликатора: ускоряется переходной процесс. В равновесных состояниях . Временная характеристика представляет собой экспоненциальную зависимость (7.9) [20].

Для случая монополистической конкуренции (0<k<1) при скачкообразном изменении спроса следует ожидать сохранения цикличности, но с постепенным затуханием амплитуды колебаний за счет появления апериодической составляющей.

При начальных условиях t = 0, xвых_t=0 = 0, dx_вых/dt_t = 0 и xвх = const решение уравнения (6.4) можно записать в виде:

……………..……….… (7.10),

где  − частота цикла,  – амплитуда цикла,  – фаза цикла,  – коэффициент затухания.

В равновесных состояниях .

Модель устойчива: временная характеристика – затухающие гармонические колебания (7.10) [21]. При увеличении степени монополизации время стабилизации системы при действии возмущений и цикличность, если под этим подразумевать число циклов до возвращения системы в состояние равновесия, уменьшаются.

Удобнее другая форма уравнений (6.4), (7.2), (7.8), полученная их дифференцированием:

для монополистической конкуренции

 ….(8),

для чистой конкуренции

 ..………….(8.1),

для чистой монополии

 ………………(8.2).

Здесь в качестве переменных фигурируют годовые показатели: Y_вх – годовой планируемый спрос, Y_вых – годовой объем производства.

Системный мультипликатор "К₀ "отражает фундаментальную для экономики связь между планируемым спросом и размером производства.

Для равновесных состояний всех моделей имеем х_вых =К₀∙х_вх, в том числе для годовых значений объема производства и планируемого спроса – Y_вых=К₀∙Y_вх. Эти соотношения верны и для средних значений соответствующих величин. В частности, средними являются значения, полученные исключением из решений циклической составляющей.

Учитывая, что при равновесии

,

получим:

 

Y_вх ср = (1 – λ)∙Y_вых ср + К_S∙Y_вых ср …….….…..(9),

где Y_вх ср – равновесный (или средний) годовой планируемый спрос,

Y_вых ср – равновесный (или средний) годовой объем производства.

Первый член YАср = (1– λ)∙Y_вых ср выражения (9) может быть отождествлен со средними годовыми затратами, необходимыми для полного восстановления израсходованных средств производства (амортизация), второй Y_Pср = К_S∙Y_{вых ср} – со средними годовыми поставками потребительских товаров на рынок (предложением).

В то же время

 

Y_вых ср= К_S∙Y_вых ср + (1 − К_S)∙Y_вых ср ……....(9.1).

Здесь выражение YВср = (1 − К_S)∙Y_вых ср представляет собой фактические годовые затраты на инвестиционные товары, т. е. валовые инвестиции.

Для статичной экономики годовой текущий спрос Y_ср = Y_вх ср – (1 – λ)∙Y_вых ср равен годовым поставкам на рынок Y_Рср = К_S∙Y_вых ср, так как из (9) следует

Y_вх ср – (1 – λ)∙Y_вых ср= К_S∙Y_вых ср….…….…(9.2),

Чтобы иметь возможность применять полученные уравнения к открытой экономике, введем в рассмотрение коэффициенты (доли) соответственно К_M импорта и К_X экспорта как части собственного выпуска продукции, т. е.

 

К_M = Y_M/Y_вых,К_X = Y_X/Y_вых ….……(10),

где Y_M – величина импорта, Y_Х – величина экспорта.

Коэффициент распределения дохода для этого случая определим следующим образом:

 

К_S,о = К_S + К_M – К_X ……….…… (10.1),

где К_S –коэффициент распределения без учета импорта и экспорта.

Системный мультипликатор спроса для открытой экономики будет равен:

…..(10.2),

собственные годовые поставки на рынок составят

 

Y_Р = К_S,о∙Y_вых …………….…(10.3),

валовые инвестиции

 

Y_В = (1– К_S,о)∙Y_вых ………....(10.4),

амортизация, т. е. затраты на полное восстановление израсходованных средств производства,

 

Y_А = (1– λ)∙Y_вых …………….(10.5),

чистые инвестиции

 

I = (Y_В − Y_А) = (λ – К_S,о)∙Y_вых ….….(10.6).

Собственный годовой выпуск продукции составит:

…………………..….(10.7).

Эти соотношения будут действительны и для закрытой экономики при условии замены К_S,о на К_S.

Введем в рассмотрение еще один экономический показатель−общее потребление, и определим его следующим образом:

Q = Y_Р + Y_В + Y_M − Y_Х = (1+ К_M − К_X)∙Y_вых ….. (10.8).

Целесообразность введения этого показателя станет ясной из дальнейшего изложения.

Покажем, что существует связь между системным мультипликатором спроса и чистыми инвестициями как долей дохода. Выражение для системного мультипликатора можно переписать следующим образом:

……….. (10.9),

где d_А = (1 − λ) − норма амортизации, d_В = (1 − K_S) – доля валовых инвестиций, d_I = (d_В − d_А) − доля чистых инвестиций.

Будем считать сбалансированной экономику, в которой средний годовой планируемый спрос Y_вх ср в точности равен среднему годовому производству продукции Y_вых ср, то есть расходы равны доходам. Сбалансированная экономика – это экономика полной занятости и полного объема производства [22].

В несбалансированной экономике разница между спросом Y_вх ср и выпуском Y_вых ср приводит к инфляции [23].

Если принять, что рост цен пропорционален относительной разности между средним планируемым спросом и средним выпуском, то для скорости роста цен можно предложить следующее уравнение:

…………….(11),

где Р – индекс цен,

– средний (или равновесный) планируемый годовой спрос,

– средний (или равновесный) годовой выпуск,

– начальное значение среднего (или равновесного) планируемого годового спроса (индекс начального значения принимается равным 100),

t − время, год,

Ср – масштабный фактор, характеризующий скорость изменения цен, (%/год). Значения "Ср" определяются темпами изменения денежной массы и номинального дохода [24]. В общем случае "С_р" может быть функцией времени.

В статичной экономике отношение

 = const.

При равномерном росте денежной массы (ежегодном увеличении на постоянную величину)

 

Ср = соnst, .

Подставляя эти значения в (11) и интегрируя при условии Р =100 при t = 0 (индекс начального значения = 100), получим для статичной экономики:

………….………........…(11.1).

Полагая Ср = с_р∙(1+р₁)^t/τ = с_р∙ехр (m∙t), что соответствует постоянному годовому (τ =1год) темпу "р₁" роста денежной массы, получим при условии Р_t=0=100

…….………….....(11.2),

гдеm =[ln(1+р₁)/τ],

.

Следует отметить, что при С_р = 0, то есть тогда, когда уровень цен неизменен, индекс цен – постоянная величина (Р = соnst), инфляционные процессы отсутствуют. То же всегда имеет место, когда экономика сбалансирована (годовые спрос Y_{вх ср} и выпуск продукции Y_{вых ср} равны).

Темп инфляции, то есть рост цен по отношению к предыдущему году, составит:

% %….(11.3),

где Р(t) [или Р(t+1)] – индекс цен в текущем году,

Р(t–1) [или Р(t)] – индекс цен в предыдущем году.

Общепризнано, что отставание производства от потенциально возможного уровня при полной занятости вызывается наличием безработицы [25].

Если согласиться с тем, что безработица обусловлена отклонением производства от уровня при полной занятости, для определения уровня безработицы можно предложить следующее выражение:

………..(11.4),

где U – безработица, отсчитываемая от уровня естественной безработицы при полной занятости, %;

=1/α = 0,4 – коэффициент, обратный коэффициенту Уокена, коэффициент Уокена принят равным α = 2,5 [26];

Y_{вх ср} – среднее значение планируемого годового спроса;

Y_{вых ср} – среднее значение годового объема выпуска.

Для равновесных состояний экономики Y_{вых ср}= К₀∙Y_{вх ср}, откуда

 ….……………………(11.5).

Обратная зависимость будет иметь вид:

 

К₀ = 1 - α×U/100 = 1 - 2,5×U/100 ……..…….(11.6).

Примеры использования уравнений для анализа типичных экономических ситуаций [27]

Если согласиться с мнением, что макроэкономика совершенно конкурентна, за основу при анализе макроэкономических ситуаций следует принять модель чистой конкуренции. "С монетаристской точки зрения рынки обладают высокой степенью конурентности" [28]. Такая точка зрения может быть принята, если рассматривать конкуренцию в том числе и как межотраслевую борьбу за потребителя.

Смысл выведенных уравнений станет вполне ясным, если рассмотреть гипотетическую экономику, в которой потребляется единственная продукция, и эта же продукция служит расчетным средством. Рассмотрим равновесные состояния статичной экономики при различных значениях экономических показателей. Напомним, что равновесными считаются состояния, когда отсутствуют возмущения. Связь между выходом и входом при равновесных состояниях описывается зависимостями х_вых = К₀∙х_вх, в том числе для равновесных годовых показателей Y_вых = К₀∙Y_вх.

Пусть годовой планируемый спрос постоянен и составляет Y_вх ср=1000 единиц товара. Примем λ = К_S = 0,75. Тогда для статичной экономики К =1/(1−λ) = 4 и К₀ = 1/(1+ К_S −λ) = 1. При таких условиях средний годовой выпуск будет в точности равен планируемому спросу, т. е. Y_вых ср= К₀∙Y_вх ср = 1000 единицам. Экономика будет сбалансированной.

Плата за использованные в потребительском секторе производства инвестиционные товары составит в принятых расчетных средствах Y_Bср = (1 – К_S)∙Y_вых ср = (1 – 0,75)∙1000 = 250 единиц продукции (валовые инвестиции). На это будет израсходована соответствующая доля из 1000 единиц произведенной продукции. Оставшаяся часть, равная Y_Pср=К_S∙Y_вых ср= 0,75∙1000 = 750 единицам, будет поставлена на рынок. Требуемые для полного восстановления израсходованных средств производства затраты составят Y_Aср = (1 – λ)∙Y_вых ср = (1 – 0,75)∙1000 = 250 единиц продукции, то есть будут в точности равны валовым инвестициям. Общее потребление составит Q = Y_Pср + Y_Bср =750+250 = 1000 единиц продукции и будет равно годовым выпуску и спросу. Чистые инвестиции I = (Y_Bср − Y_Aср) = (λ – К_S) Y_вых ср будут равны нулю.

При замене товара на деньги отношения сохранятся. Так из каждых 1000 руб., произведенных в потребительском секторе, 250 руб. будут израсходованы на оплату инвестиционных товаров, а 750 руб. распределены через рынок.

Пусть, как в предыдущем примере, годовой планируемый спрос постоянен и составляет Y_вх ср =1000 единиц товара, λ = 0,75, но теперь К_S = 1. Тогда для статичной экономики средний годовой выпуск составит Y_вых ср = 800 единиц продукции (К₀=0,8), то есть сократится на 200 единиц, а плата за инвестиционные товары (валовые инвестиции) Y_Bср= (1 – К_S)∙Y_вых ср окажется равной нулю при требуемых расходах на амортизацию Y_Aср= (1 – λ)∙Y_вых ср = (1 – 0,75)∙800 = 200 единиц. Поставки на рынок составят Y_Pср =К_S∙Y_вых ср = 1∙800 = 800 единиц. Чистые инвестиции будут отрицательны I = (λ − К_S)∙Y_вых ср = (0,75 –1)∙800 = – 200 единиц. Общее потребление уменьшится, составит Q = Y_Pср + Y_Bср =800 + 0 = 800 единиц вместо прежних 1000 и не будет равно спросу. Хотя отклонение от сбалансированного состояния и обеспечит рост количества товаров, реализуемых на внутреннем рынке (800 единиц вместо прежних 750), но достигнуто это будет ценой отвлечения ресурсов в размере 200 единиц из сектора средств производства и уменьшения общего потребления.

Из рассмотренных примеров следует, что наибольшее общее потребление обеспечивает лишь сбалансированная экономика.

Посмотрим, как повлияет на экономические показатели импорт товаров. Пусть, как и в исходном случае, Y_вх ср=1000 единицам, λ = К_S= 0,75, но теперь доля импорта составляет К_М= 0,25 и К_S,о= К_S+К_М = 0,75+0,25 = 1.

Выпуск продукции уменьшится и составит Y_вых ср= 800 единиц (К_0,о= 0,8), импорт составит Y_M= К_М∙Y_вых ср = 0,25∙800 = 200 единиц, поставки на рынок – Y_Pср= К_S,о Y_вых ср = 800 единиц, требуемые на полное восстановление инвестиции – Y_Aср =(1– λ)∙Y_вых ср = (1– 0,75)∙800 = 200 единиц. Валовые инвестиции будут равны Y_Вср = (1 – К_S,о)∙Y_вых ср = 0. Общее потребление не изменится и с учетом импорта будет равно Q = Y_Pср + Y_M = Y_вых ср+ К_М∙Y_вых ср = 800+200 = 1000 единицам. Чистые инвестиции составят I = (λ − К_S,о)∙Y_вых ср = (0,75–1)∙800= – 200 единиц. На такую сумму надо будет, например, продать на внешнем рынке собственных средств производства, чтобы окупить импорт в 200 единиц.

Влияние экспорта на экономические показатели рассмотрим при Y_вх ср=1000 единиц, λ = 0,8, К_S = λ, доле экспорта К_Х = 0,2 и коэффициенте распределения К_S,о= К_S –К_Х= 0,8–0,2= 0,6. При λ = К_S = 0,8 средние выпуск и общее потребление в сбалансированной закрытой экономике будут равны 1000 единицам.

Экспорт увеличит выпуск продукции до Y_вых ср = 1250 единиц (К_0,о=1,25). Сам экспорт составит Y_Х = К_Х∙Y_вых ср = 0,2∙1250 = 250 единиц. Требуемые на полное восстановление инвестиции составят Y_Aср = (1 – λ)∙Y_вых ср = (1 – 0,8)∙1250 = 250 единиц, поставки на рынок – Y_Рср = К_S,о∙Y_вых ср= =0,6∙1250 = 750 единиц, валовые инвестиции – Y_Вср = (1 – К_S,о)∙Y_вых ср = (1 – 0,6)∙1250 = 500 единиц, чистые инвестиции – I = (λ − К_S,о)∙Y_вых ср = (0,8–0,6)∙1250 = 250 единиц. Общее потребление не изменится и будет равно Q = Y_вых ср – К_Х∙Y_вых ср = 1250 – 250 = 1000 единицам. Появится дефицит рабочей силы (отрицательная безработица) U = 40∙(1− 1,25) = −10%.

На рис. 5− 5.2 представлены динамические характеристики несбалансированной статичной экономики (статичной экономики с инфляцией и безработицей), полученные путем решения уравнения (7.2) при следующих условиях:

-  начальный (t = 0) планируемый спрос х₀₁=1 (у.е.),

-  планируемый годовой спрос (в том числе средний)

 

Yвх = Yвхср = b = 1 (у.е./год),

-  планируемый спрос х_вх = х₀₁ + b∙t = 1+t  (у.е.),

-  начальный планируемый годовой спрос (в том числе средний)

 

Yвх₀ = Yвхср₀= b = 1 (у.е./год),

-  период естественной цикличности T = 6,28 года,

-  коэффициент распределения дохода К_S =0,75,

-  коэффициент расширения спроса λ =0,5,

-  начальный объем выпуска (при t = 0) хвых₀ = 0,8 (у.е.),

-  начальный годовой выпуск (при t = 0)  (у.е./год),

-  масштабный фактор С_р =100 %/год.

Решения имеют следующий вид:

-  объем выпуска

 (у.е.)……….(12),

где,,

 (у.е.), (у.е./год),,год,(у.е.);

- 

-  годовой выпуск

-   (у.е./год)… .(12.1);

-  средний годовой выпуск, полученный путем исключения циклической составляющей,

 (у.е./год);

-  годовой объем поставок на рынок (предложение)

 (у.е./год);

-  средний годовой объем поставок на рынок (среднее предложение)

= 0,75∙0,8= 0,6 (у.е./год);

-  текущий годовой (рыночный) спрос

(у.е./год);

-  средний объем годового текущего (рыночного) спроса

(у.е./год);

-  индекс цен (индекс начального значения =100)

,

Где

;

-  темп инфляции

 %/год,

(при t→∞, ∆_Р → 0%);

-  уровень безработицы

;

-  затраты на инвестиционные товары (валовые инвестиции)

Y_Вср = (1 – K_S)∙Y_{вых ср}= (1– 0,75)∙0,8 = 0,2 (у.е./год);

-  требуемые затраты на полное восстановление израсходованных средств производства (амортизация)

 

Y_Аср =(1– λ)∙Y_{вых ср}=(1– 0,5)∙0,8 = 0,4 (у.е./год);

общее потребление

Q= Y_Рср + Y_Вср =0,6+0,2=0,8 (у.е./год);

-  чистые инвестиции

 

I = (λ − К_S)∙Y_вых ср = (0,5 – 0,75)∙0,8= – 0,2 (у.е./год).

Рис. 5

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Покажем, что такой же, как в предыдущем примере, результат в части размера годового выпуска, может быть получен путем решения уравнения (8.1):

.

Действительно, решая (8.1) при условии постоянного годового спроса, найдем:

………..(12.2),

где С₃ = К₀∙Yвх₀,С₂ = Y'вых₀∙T₄,С₁=Yвых₀ − С₃ .

При тех же исходных данных, как в предыдущем примере, и с начальными условиями ,  (см. кривую 1 на рис. 5) получим:

С₃ = 0,8∙1= 0,8 (у.е./год), С₂ = Y'вых₀∙T₄,= 0∙1= 0, С₁=Yвых₀ − С₃ =1− 0,8= 0,2 у.е./год,

………………(12.3) [29].

На рис. 6 представлены характеристики сбалансированной статичной экономики, полученные путем решения уравнения (7.2) при следующих условиях:

-  начальный планируемый спрос (t = 0) х₀₁=1 (у.е.),

-  планируемый годовой спрос Yвх =b = 1 (у.е./год),

-  планируемый спрос х_вх = х₀₁ + b∙t = 1+t  (у.е.),

-  период естественной цикличности T = 6,28 года,

-  коэффициент распределения дохода К_S = 0,75,

-  коэффициент расширения спроса λ = 0,75,

-  объем выпуска при t = 0 хвых₀ = 1 (у.е.),

-  годовой выпуск при t = 0  (у.е./год),

-  масштабный факторС_р =100 (%/год).

Решения имеют следующий вид:

-  объем выпуска

 (у.е.)………..(13);

где

,, год,  (у.е.),

(у.е./год), (у.е.),

 (у.е.);

-  годовой выпуск

 

(у.е./год)…13.1);

-  средний годовой выпуск

 (у.е./год);

-  годовой объем поставок на рынок (предложение)

= 0,75∙(1 + 0,048∙cos t) = 0,75 + 0,036∙cos t (у.е./год);

-  средний годовой объем поставок на рынок

= 0,75 (у.е./год);

-  текущий годовой (рыночный) спрос

 (у.е./год);

-  средний объем годового текущего (рыночного) спроса

(у.е./год);

-  затраты на инвестиционные товары (валовые инвестиции)

 

Y_Bср=(1 – K_S)∙Y_выхср= (1 – 0,75)∙1= 0,25 (у.е./год);

-  требуемые затраты на полное восстановление израсходованных средств производства

 

Y_Аср =(1– λ)∙Y_{вых ср}= (1– 0,75)∙1 = 0,25 (у.е./год);

-  общее потребление

Q= Y_Рср + Y_Вср = 0,75 + 0,25 = 1 (у.е./год);

-  чистые инвестиции

 

I = (λ − К_S)∙Y_вых ср = (0,75 – 0,75)∙1 = 0 (у.е./год);

-  индекс цен

,Р = 100 = const;

-  инфляция и безработица отсутствуют.

-  На рис. 7 − 7.3 представлены динамические характеристики несбалансированной экономики с постоянным темпом роста − экономики, растущей в условиях безработицы и инфляции. Подобное развитие событий имело место, например, в экономике США в 1961-1962 годах, "когда в экономике имели место превышающая нормальную безработица и вялый экономический рост" [30].

Рис.6

Характеристики получены путем решения уравнения (7.2) при следующих условиях:

-  темп роста 5% в год (р₀ = 0,05, t =1 год, ),

-  показатель экспоненты а =[ln(1+ p₀)]/t = 0,0488 год^–1 ,

-  начальный (начальный средний) годовой спрос Yвх₀ = Yвх ср₀= b = 1 (у.е./год),

-  планируемый (планируемый средний) годовой спрос

Yвх = Yвх ср = Yвх₀∙(1+ р₀)^t/t = b∙exp (a∙t)= ехр (0,0488∙t), (у.е./год),

-  начальный планируемый спрос х₀₁ = 0 (у.е.),

-  планируемый спрос

х_вх= х₀₁ – b/a +(b/a)∙exp(a∙t) = 20,492∙exp (0,0488∙t) – 20,492, (у.е.);

-  период естественной цикличности T = 6,28 года,

-  коэффициент распределения дохода К_S = 0,8,

-  коэффициент расширения спроса λ = 0,5,

-  начальный объем выпуска (t = 0)хвых₀ = 0, (у.е.),

-  начальный годовой выпуск (t = 0) (у.е./год),

-  масштабный факторС_р =100 (%/год).

Решения имеют следующий вид:

-  объем выпуска

(у.е.)…….……..…..(13),

 (у.е.),

где

,,

 (у.е.), (у.е.), (у.е.),год,(у.е.);

годовой выпуск

 (у.е./год)……..(13.1),

 (у.е./год);

-  средний годовой выпуск, полученный путем исключения циклической составляющей,

(у.е./год);

-  годовой объем поставок на рынок

 (у.е./год);

-  средний годовой объем поставок на рынок

(у.е./год);

-  текущий (рыночный) годовой спрос

, (у.е./год);

-  средний объем годового текущего (рыночного) спроса, полученный путем исключения циклической составляющей,

, (у.е./год);

-  индекс цен (при t = 0 Р = 100)

,

……(13.2),

=476,73;

темп инфляции

 %/год,

(при t→∞, ∆_Р →5%);

-  уровень безработицы

,;

-  средние ежегодные затраты на инвестиционные товары (валовые инвестиции)

 

Y_Вср = (1 – K_S)∙Y_{вых ср} = (у.е./год);

-  требуемые затраты на полное восстановление израсходованных средств производства (амортизация)

 

Y_Аср =(1 – λ)∙Y_{вых ср}= (у.е./год);

-  общее потребление

Q = Y_{вых ср} = Y_Рср + Y_Вср =  (у.е./год);

-  чистые инвестиции

 

I = (λ − К_S)∙Y_вых ср = – (у.е./год).

Отношение среднего выпуска к планируемому спросу для растущей экономики составит

…….(13.2)

и не будет равно этому отношению для статичной экономики с теми же параметрами.

Рис. 7

Рис 7.1

Рис. 7.2

 

Рис. 7.3

На рис. 8, 8.1 представлены характеристики сбалансированной экономики с постоянным темпом роста, полученные путем решения уравнения (7.2) при следующих условиях:

-  годовой темп роста 10% (р₀ = 0,1, t =1 год),

-  показатель экспоненты а =[ln(1+p₀)]/t = 0,0953 год^–1,

-  начальный (начальный средний) годовой спрос Yвх₀= Yвх ср₀ = b =1 (у.е./год),

-  планируемый годовой спрос

 

Yвх =Yвх ср = Yвх₀∙(1+ р₀)^t/t = b∙exp(a∙t) = exp (0,0953∙t) (у.е./год),

 

-  начальный (t = 0) спрос х₀₁ = 0 (у.е.);

-  планируемый спрос

 

х_вх= х₀₁ – b/a +(b/a)∙exp(a∙t)=10,492∙ exp(0,0953∙t) – 10,492 (у.е.),

-  период естественной цикличности T = 6,28 года,

-  коэффициент расширения спроса λ = 0,75,

-  объем выпуска при t =0 хвых₀ = К₀∙х₀₁= 0 (у.е.),

-  годовой выпуск при t = 0  (у.е./год),

-  масштабный факторС_р =100 (%/год).

Определим параметр, характеризующий динамику системы (параметр динамичности)

год,

Для того чтобы растущая экономика была полностью сбалансированной, т. е. Y_вых=Y_вх, системный мультипликатор определим из выражения (13.2), приняв К_д =1:

………..(14),

Коэффициент распределения дохода определим из выражения (6.2) для "К₀":

………..(14.1).

Для полностью сбалансированной экономики решения имеют следующий вид:

-  объем выпуска

 …(у.е.)……….(14.2),

(у.е.),

Где

 (у.е.), (у.е.), (у.е.), (у.е.);

годовой выпуск

…(у.е./год)…...(14.3),

(у.е./год);

средний годовой выпуск

 (у.е./год);

-  годовой объем поставок на рынок

=  (у.е./год),

 (у.е./год) ;

-  средний годовой объем поставок на рынок

=  (у.е./год);

-  текущий годовой (рыночный) спрос

 (у.е./год);

-  средний объем годового текущего (рыночного) спроса

 (у.е./год);

-  индекс цен (Р = 100 при t = 0)

,

Р = 100;

-  темп инфляции ;

-  уровень безработицы

;

-  средние ежегодные затраты на инвестиционные товары (валовые инвестиции)

 

Y_{В ср} =(1 – K_S)∙Y_{вых ср} = 0,259∙ (у.е./год);

-  требуемые затраты на полное восстановление израсходованных средств производства (амортизация)

 

Y_Аср =(1 – λ)∙Y_{вых ср}= (у.е./год);

-  общее потребление

Q = Y_{вых ср} = Y_Рср + Y_Вср =  (у.е./год);

-  чистые инвестиции

 

I = (λ − К_S)∙Y_вых ср = (у.е./год).

Рис. 8

Рис. 8.1

Посмотрим, как изменятся характеристики экономики, если принять системный мультипликатор равным единице, то есть вычислить его по выражению (6.2), приняв коэффициент распределения дохода К_S =0,75:

.

Характеристики такой "почти сбалансированной растущей экономики" представлены ниже и на рис. 9 − 9.3.

Решения уравнения (7.2) будут иметь вид:

-  объем выпуска

 (у.е.)……….….(14.4),

(у.е.),

где,

 (у.е.), (у.е.), (у.е.),

(у.е.);

годовой выпуск

(у.е./год)…..(14.5),

(у.е./год);

-  средний годовой выпуск

 (у.е./год);

-  годовой объем поставок на рынок

 (у.е./год);

-  средний годовой объем поставок на рынок

=  (у.е./год);

-  текущий годовой (рыночный) спрос

 (у.е./год);

-  средний объем годового текущего (рыночного) спроса

 (у.е./год);

-  индекс цен (при t = 0 Р = 100)

),

,

;

темп инфляции

%/год,

(при t→∞, );

уровень безработицы

;

-  средние ежегодные затраты на инвестиционные товары (валовые инвестиции)

 

Y_Вср = (1 – K_S)∙Y_{вых ср} = 0,248∙ (у.е./год);

-  требуемые затраты на полное восстановление израсходованных средств производства (амортизация)

 

Y_Аср = (1 – λ)∙Y_{вых ср}= (у.е./год);

-  общее потребление

Q = Y_{вых ср} = Y_Рср + Y_Вср =  (у.е./год);

-  чистые инвестиции

 

I = (λ − К_S)∙Y_вых ср = 0 (у.е./год).

Рис. 9.1

 

Рис. 9.2

На рис. 10 − 10.3 представлены характеристики несбалансированной экономики со снижающимся уровнем производства, полученные путем решения уравнения (7.2) при следующих условиях:

-  годовой темп снижения 10% (р₀ = – 0,1, t =1 год),

-  показатель экспоненты а =[ln(1+p₀)]/t = – 0,1054 год^–1,

-  исходный уровень (t = 0) годового спроса Yвх₀= b₁ =1 (у.е./год),

-  новый уровень годового спроса Yвх_к= b₂ = 0,5 (у.е./год),

-  планируемый годовой спрос

 

Yвх =Yвх ср = Yвх₀∙(1+ р₀)^t/t + b₂ = b₁∙exp (a∙t) + b₂ ,

Yвх = ехр (− 0,1054∙t) + 0,5 (у.е./год);

 

-  начальный (t = 0) планируемый спрос х_вх = х₀₁ = 0,769 (у.е.),

-  планируемый спрос

 

х_вх = х₀₁ – b₁/a + (b₁/a)∙exp(a∙t) + b₂∙t = 10,26 – 9,491∙exp (– 0,1054∙t)+0,5∙t, (у.е.),

-  период естественной цикличности T = 6,28 года,

-  коэффициент распределения дохода К_S =0,8,

-  коэффициент расширения спроса λ =0,5,

-  объем выпуска при t = 0 хвых₀ = 0,769, (у.е.),

-  годовой выпуск при t = 0  (у.е./год),

-  масштабный факторС_р =100 (%/год).

Решения имеют следующий вид:

-  объем выпуска

(у.е.)…………...(15),

 (у.е.),

где,,

 (у.е.),

 (у.е.),

С₅ =К₀∙b₂ = 0,384 (у.е./год),  год,

(у.е.),

(у.е.);

годовой выпуск

 (у.е./год)…..(15.1),

(у.е./год);

средний годовой выпуск, полученный путем исключения циклической составляющей,

(у.е./год);

-  годовой объем поставок на рынок

(у.е./год);

-  средний годовой объем поставок на рынок

(у.е./год);

-  текущий (рыночный) годовой спрос

(у.е./год);

-  средний объем годового текущего (рыночного) спроса, полученный путем исключения циклической составляющей

 (у.е./год);

-  индекс цен (при t = 0 Р = 100)

,

,= −227,04, ;

темп инфляции

,

(так как а<0, то при t→ ∞, ∆_Р → 0);

-  уровень безработицы

 %;

-  средние ежегодные затраты на инвестиционные товары (валовые инвестиции)

 

Y_Вср = (1 – K_S)∙Y_{вых ср}=(у.е./год),

-  требуемые годовые затраты на полное восстановление израсходованных средств производства (амортизация)

 

Y_Аср = (1 – λ)∙Y_{вых ср}= (у.е./год);

-  общее потребление

Q = Y_{вых ср} = Y_Рср + Y_Вср = 0,384+ (у.е./год);

-  чистые инвестиции

 

I = (λ − К_S)∙Y_вых ср = − 0,115 − (у.е./год).

Рис. 10

Рис. 10.1

Рис. 10.2

Рис. 10.3

 

Представляет интерес реакция системы на входные воздействия, содержащие гармонические возмущения спроса (рис.11).

Пусть имеется система с параметрами:

-  коэффициент расширения спроса λ = 0,5,

-  коэффициент распределения К_S = 0,8,

-  параметр динамичности Т₄ = 1 год: соответствует периоду естественной цикличности Т = 6,28 года.

При входном воздействии (планируемом спросе):

 

х_вх = х₀₁ + b∙t − b₁∙sin t/T₅ = t – 0,09∙sin(2∙t)… (у.е.)….………….…...(16),

где хвх₀ =х₀₁ = 0 − начальный планируемый спрос, b = 1 у.е./год − средний годовой планируемый спрос, b₁ = 0,09 у.е. − амплитуда цикла спроса, T₅ = 0,5 года – параметр динамики спроса (соответствует периоду цикла спроса Т_спроса = Т₁= 2∙π∙Т₅ = 2∙π 0,5 = 3,14 года),

и начальных условиях:

-  хвых₀ = 0 (у.е.) − объем выпуска при t = 0,

- 

-   (у.е./год) – значение годового выпуска при t = 0,

- 

решение дифференциального уравнения (7.2) будет иметь вид:

 (у.е.)………...(16.1),

(у.е.),

где

 

, С₃ = К₀∙х₀₁ = 0,

С₄ = К₀∙b =0,769 (у.е./год),(у.е.),

С₁ =хвых₀ − С₃ = хвых₀ – К₀∙х₀₁ = 0,

(у.е.).

Годовой объем производства составит

 (у.е.)/год ……….(16.2),

(у.е.)/год;

годовой объем планируемого спроса

Y_вх =1 – 0,18∙cos (2∙t) (у.е./год).

Рис. 11

 

На рис. 11 видно, что быстрые колебания (Т₅ << Т₄) спроса мало влияют на размер производства. Исключением может явиться случай, когда частота колебаний спроса будет близка или совпадет с собственной частотой системы. Здесь амплитуда колебаний может многократно возрасти.

На рис.12 представлен один из возможных способов целенаправленного подавления цикличности на примере статичной экономики со следующими параметрами и начальными условиями:

-  планируемый годовой спрос Yвх = b =1 (у.е./год),

-  начальный планируемый спрос х₀₁=1 (у.е.),

-  планируемый спрос хвх = хвх₁ = х₀₁ + b∙t = 1+t  (у.е.)………………...….(17),

-  период естественной цикличности T = 6,28 года,

-  коэффициент распределения дохода К_S = 0,8,

-  коэффициент расширения спроса λ = 0,5,

-  объем выпуска при t = 0 хвых₀ = 0,769 (у.е.),

-  годовой выпуск при t = 0  (у.е./год).

Для нерегулируемого процесса при заданных параметрах и начальных условиях имеем:

 (у.е.)…(17.1),

 (у.е./год)...(17.2),

где ,С₃₀ = К₀∙х₀₁ = 0,769 (у.е.),

С₄₀ = К₀∙b =0,769 (у.е./год), С₁₀ = хвых₀ − С₃₀ = хвых₀ – К₀∙х₀₁ = 0,

год,

 (у.е.).

Пусть теперь в момент времени t = 7,8 (t₂  = 0) года на естественный цикл (17.1) накладывается на входе регулирующее воздействие, так что входной сигнал приобретает вид:

 

хвх = ………….……...(17.3),

где Т₆ = 1 год – постоянная регулирующего воздействия (время предварения), а t₂  = t – 7,8.

Выражение (17.3) получено добавлением члена (−) в определение (17) планируемого спроса до момента времени t = 7,8 года.

Подставив выражение (17.3) в правую часть дифференциального уравнения (7.2) и решив его, получим

 

хвых =хвых₂ =exp (−σ∙t₂)∙[C₁∙cos (t₂/T₅)+C₂∙sin (t₂/T₅)] + C₃ + C₄∙t₂ (у.е.)…..…(17.4),

...(17.5),

где

, года,

(у.е./год), (у.е.),

 – коэффициент затухания,

 года – период затухающих колебаний,

 года − период свободных колебаний.

Произвольные постоянные С₁ и С₂ определим, исходя из условия сохранения непрерывности функции годового выпуска в точке t = 7,8 года (t₁=7,8; t₂= 0), что обеспечивается при равенстве первой и второй производных от объема выпуска справа и слева от этой точки:

,,

Где

 (у.е./год) − значение годового выпуска,

определенное из выражения (17.2) при t = 7,8 года (первая производная);

 − значение второй производной,

определенное путем дифференцирования выражения (17.2) и последующей подстановки t =7,8 года, учитывая, что t₁ = t, а t₂ = t −7,8.

Дважды продифференцировав (17.4) и подставляя в полученные выражения числовые значения производных Y2₀ и Y'2₀, найдем:

 (у.е.),

 (у.е.),

хвых =хвых₂ =exp (− 0,385∙t₂)∙[0,23∙cos (t₂/1,083)+0,097∙sin (t₂/1,083)]+0,178 +0,769∙t₂ (17.6),

Необходимое для подавления цикличности регулирующее воздействие (годовой спрос, как функция времени с момента t =7,8 года) должно меняться по закону:

.

………….(17.7)

Рис. 12

На рис. 12 видно, что регулирование спроса является эффективным методом подавления цикличности. Различные точки зрения по поводу эффективности регулирующих воздействий объясняются, по-видимому, не всегда удачным выбором момента и параметров воздействия.

На рис. 13 приведены индексы цен на потребительские товары в США за период с 1936 по 1988 год [31]. Экспериментальные точки хорошо ложатся на кривую, описываемую уравнением Р=14,424+2,384∙ехр (0,0735∙t), аналогичным уравнениям (11.2) и (13.2), что подтверждает правильность исходных предпосылок, принятых при выводе уравнения для индекса цен.

Рис. 13

 

Заключение

Предложенные математические модели чистой монополии, монополистической конкуренции, чистой конкуренции адекватно описывают основные явления в экономике: конкуренцию и монополию, цикличность развития, безработицу, инфляцию, стагфляцию. Заслуживает внимания вытекающая из этих моделей функциональная связь между основными макроэкономическими переменными: спросом, объемом производства и инвестициями.

Модели могут оказаться полезным дополнением к существующим методам прогнозирования и управления экономикой.

[1] См., например, Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика".

[2] Там же, т.2. с.147.

³ Там же, т.2. с.30.

[4] См. Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика", т.2, с.143.

[5] Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика", т.2, с.30.

[6] Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика", т.1, с.206.

[7] Там же, т.2, с. 216.

[8] См., например, Н.Ф. Пантаев, В.Г. Дианов. Основы теории автоматического регулирования и авторегуляторы. М., 1970, "Недра", с.30.

[9] Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика", т.2, с.66, 80.

[10] См., например, Н.Ф. Пантаев, В.Г. Дианов. Основы теории автоматического регулирования и авторегуляторы. М., 1970, "Недра".

[11] Там же, с.24.

[12] Там же, с.22.

[13] См., например, Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика".

[14] См., например, Н.Ф. Пантаев, В.Г. Дианов. Основы теории автоматического регулирования и авторегуляторы. М., 1970, "Недра", с.66.

[15] Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика", т.1, с.134.

[16] См. аналогичную кривую на рис. 3.

[17] Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика", т.2, с.155.

[18] См., например, Н.Ф. Пантаев, В.Г. Дианов. Основы теории автоматического регулирования и авторегуляторы. М., 1970, "Недра", с.22.

[19] Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика", т.1, с.16.

[20] См. аналогичную кривую на рис. 2.

[21] См. аналогичную кривую на рис. 4.

[22] См., например, Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика".

[23] Там же, т 1, с. 191, 231, 232.

[24] Денежная масса пропорциональна произведению индекса цен на годовой объем производства.

[25] См., например, Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика", т.1, с.160.

[26] Там же.

[27] Все данные гипотетические. См. также Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика", т.1, с.138, рисунок 9-1.

[28] См., например, Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика", т.1, с.335.

[29] Сравни с (12.1).

[30] См. Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика", т.1, с.252.

[31] См. Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика".