Анализ Электромагнитного поля в прямоугольном волноводе

Федеральное агентство связи

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра технической электродинамики и антенн

Анализ Электромагнитного поля в прямоугольном волноводе

Проверил: Выполнил:

Доцент кафедры ТЭДиА Студент группы БРТ1302

Муравцов А.Д. Звездинов Виктор.

Москва 2015

Техническое задание

В полой трубе прямоугольного сечения (Рис. 1) с идеально проводящими стенками создано монохроматическое электромагнитное поле. Труба заполнена однородной изотропной средой без потерь, абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемости равны и соответственно. Известно, что комплексная амплитуда вектора равна:

, где , , , , - частота электромагнитных колебаний; - длина волны, свободно распространяющейся в однородной изотропной непроводящей среде с параметрами и ; - скорость света в этой среде, ,

Исходные данные:

№ вар	В/м			a см	b см		ГГц	ГГц
2	100	2,25	1	6	4	0,75	4	2

Рис. 1

1)Определение комплексных амплитуд поперечных составляющих вектора , а затем из уравнений Максвелла определим комплексные амплитуды составляющих вектора , используя соотношение

,

Найдем комплексные амплитуды составляющих вектора , воспользовавшись вышеприведённым соотношением:

Подставляя значение из (2) в (1) найдём комплексную форму вектора :

Запишем проекции комплексной амплитуды вектора на оси координат:

Воспользуемся первым уравнением Максвелла в комплексной форме для определения комплексной амплитуды вектора :

, где - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, , – частота электромагнитных колебаний, тогда отсюда

Найдем :

Тогда составляющие комплексной амплитуды вектора равны соответственно:

(7)

(8)

(9)

Найдем выражения для частных производных составляющих комплексной амплитуды вектора по соответствующим координатам:

Подставляя найденные значения частных производных в (7), (8) и (9), получим итоговые выражения для комплексных амплитуд составляющих вектора :

(10)

(11)

(12)

2)Определение диапазона частот, в котором – действительное число, т.е. рассматриваемое поле – бегущая волна.

По условию задачи . Значит, будет действительным в случае, если

, т.е. при

Этому диапазону длин волн соответствует диапазон частот:

, где ГГц, где С = ,

Таким образом, если частота волны не принадлежит рассчитанному диапазону частот, то является мнимой величиной. Для этого случая произведем замену: , при этом ,

3) Определение мгновенных значений всех составляющих векторов и для двух случаев:

а) когда принадлежит найденному в п. 2 диапазону частот

б) когда не принадлежит этому диапазону.

Для получения выражений для мгновенных значений составляющих векторов поля необходимо домножить их комплексные амплитуды на выражение и, выделить действительную часть, то есть:

;

В первом случае выражения для комплексных амплитуд составляющих остаются без изменений. Во втором случае необходимо произвести замену, описанную в п. 2.

При выражения для комплексны амплитуд составляющих магнитного и электрического полей имеют вид:

(18)

При выражения для комплексны амплитуд составляющих магнитного и электрического полей имеют вид:

(24)

4)Построение графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля на частотах и по данным приведенным, в таблице технического задания

Вычислим постоянные множители в математическом пакете MathCAD 14, а затем подставим соответствующие значения постоянных величин в выражения с (13) по (24):

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей для Случая 1:

z=z₀; y=0,5b; ;

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты показаны на Рис. 2, Рис. 3.

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей для Случая 2:

z=z₀; y=0,5b; ;

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты показаны на Рис. 4, Рис. 5.

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей для Случая 3:

z=z₀; x=0,75a; ;

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты показаны на Рис. 6, Рис. 7.

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей для Случая 4:

z=z₀; x=0,75a; ;

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты показаны на Рис.8, Рис. 9.

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей для Случая 5:

x=0,25a; y=0,25b; ;

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты показаны на Рис. 10, Рис. 11.

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей для Случая 6:

x=0,25a; y=0,25b; ;

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты показаны на Рис. 12, Рис. 13.

В выражениях для случаев 1, 3, 5 м, рад/с, z₀=0.151 м, а для случаев. 2, 4, 6 м, рад/с, z₀=0.178 м и Нп/м.

---

Рис. 2 Рис. 3

Рис. 4 Рис. 5

Рис. 6 Рис. 7

Рис. 8 Рис. 9

Рис. 10 Рис. 11

Рис. 12 Рис. 13

5)Проверка выполнения граничных условий для касательных составляющих вектора и нормальных составляющих вектора на боковой (х=а) стенке трубы.

Как известно на границе раздела двух сред – идеального металла и воздуха и. Проверка граничных условий заключается в проверке истинности этих утверждений, т.е. равенства нулю касательной вектора и нормальной вектора проекций (составляющих).

На боковой стенке (х=а) рассмотрению подлежат (17) и (13) составляющие:

Подставим в эти выражения х=а, получим:

,

При этом другие множители от координаты х не зависят. Следовательно, оба выражения обращаются в ноль и граничные условия выполняются.

6)Определить комплексные амплитуды плотностей поверхностных токов и зарядов на всех стенках трубы.

В случае идеально проводящих стенок токи проводимости являются поверхностными, а комплексную амплитуду поверхностного тока можно найти по формуле:

, где - нормаль (25)

Комплексную амплитуду плотности зарядов можно найти по формуле:

где - абсолютная диэлектрическая проницаемость (26)

Найдем комплексные амплитуды плотностей поверхностных токов и зарядов на всех стенках трубы:

1) Для нижней стенки трубы нормаль совпадает с вектором : .

Касательными к этой стенке составляющими вектора являются составляющие вдоль осей x и z, то есть:

Подставим это выражение в формулу (25):

Нормальной к этой стенке составляющей вектора будет составляющая . Тогда комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (26) будет равна:

2) Для верхней стенки трубы нормаль противоположна вектору : .

Касательными к этой стенке составляющими вектора являются составляющие вдоль осей x и z, то есть:

Подставим это выражение в формулу (25):

Нормальной к этой стенке составляющей вектора будет составляющая . Комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (26) будет равна:

3) Для правой стенки трубы нормаль совпадает с вектором : .

Касательными к этой стенке составляющими вектора являются составляющие вдоль осей y и z, то есть:

Подставим это выражение в формулу (25):

Нормальной к этой стенке составляющей вектора будет составляющая . Комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (26) будет равна:

4) Для левой стенки трубы нормаль противоположна вектору : .

Касательными к этой стенке составляющими вектора , как и в третьем случае, являются составляющие вдоль осей y и z, то есть:

Подставим это выражение в формулу (25):

Нормальной к этой стенке составляющей вектора будет составляющая . Комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (26) будет равна:

7)Записать выражения для комплексного вектора Пойтинга. Определение среднее за период значение плотности потока энергии и амплитуду плотности реактивного потока энергии.

Где – это комплексная амплитуда напряженности электрического поля, а – это комплексно – сопряженная амплитуда напряженности магнитного поля.

Рассмотрим режим бегущей волны :

Запишем выражения для сопряженных составляющих вектора :

Найдём выражения для каждой из составляющих вектора Пойтинга, исходя из (27):

Тогда выражение для вектора Пойтинга примет вид:

Cоставляющие по оси х и по оси у чисто мнимые, а составляющая по оси z – действительная, значит вдоль оси z происходит перенос энергии. Следовательно:

Рассмотрим режим стоячей волны :

Запишем выражения для сопряженных составляющих вектора :

Найдём выражения для каждой из составляющих вектора Пойтинга, исходя из (27):

В этом случае вектор Пойтинга чисто мнимый и переноса энергии не происходит.

8)Вычисление среднего за период поток энергии через поперечное сечение трубы.

Проинтегрируем выражения для плотности активного потока энергии по площади поперечного сечения волновода:

Для этого проинтегрируем по площади поперечного сечения среднюю за период плотность потока энергии , определяемую выражением (27):

Вт

9)Определение фазовой скорости V_ф и скорости распространения энергии V_э рассматриваемой волны. Расчет и построение графиков зависимостей V_ф и V_э от частоты.

За время волна распространяется на расстояние , при этом фазы волны в моменты времени и в плоскостях и соответственно совпадают.

Рассчитаем фазовую скорость волны

Где

здесь – фаза в момент времени t=0.

Рассчитаем фазовую скорость волны с учетом м.

, м/с

Для расчета скорость распространения энергии V_э воспользуемся соотношением:

V_э V_э, м/с.

Запишем выражение, характеризующее зависимость фазовой скорости от длины волны в волноводе.

V_э

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики зависимостей V_ф и V_э от частоты. Результаты показаны на Рис. 18.

10)Определение коэффициента затухания для заданной волны, считая, что стенки трубы выполнены из реального металла имеющего Сим/м, на основе граничных условий Леонтовича-Щукина

Формула для расчета коэффициента затухания на основе граничных условий Леонтовича-Щукина имеет вид:

,

где - это активная часть поверхностного сопротивления волновода

Раскроем частотную зависимость коэффициента затухания:

Выражение для Р_ср подставлено из параграфа 8 для случая, когда частота принадлежит найденному в параграфе 2 диапазону.

Сделав замену и подставив в полученное выражение для коэффициента затухания, получим: , Нп/м

11)Расчет и построение графика зависимости коэффициента затухания волны в волноводе от частоты.

, Нп/м

Указанная формула была запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где был график зависимости . Результаты показаны на Рис. 19

График представлен в логарифмическом масштабе для того, чтобы показать наглядно различающиеся величины.

12)Определение типа волны, распространяющейся в волноводе. Изображение структуры силовых линий электрического и магнитного полей этой волны. Изображение структуры силовых линий плотности поверхностного тока проводимости, протекающего по стенкам волновода.

Данная волна является волной типа , так как только вектор имеет продольную составляющую и вдоль каждой стенки волновода укладывается одна полуволна по осям Х и У соответственно.

Структура силовых линий электрического и магнитного полей этой волны (Рис. 20) и плотности поверхностного тока проводимости, протекающего по стенкам волновода (Рис 21).

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Вывод:

Результатом работы стало исследование волны в прямоугольном волноводе. По заданным соотношениям были определены все составляющие обоих векторов электромагнитного поля. Исследованы зависимости амплитуд составляющих поля от координат в режиме бегущей волны и в режиме стоячей волны. На графиках показано экспоненциальное затухание волны с ростом координаты z в режиме стоячей волны и неизменность амплитуды ее колебаний при изменении координаты z в режиме бегущей волны (без учета потерь). В ходе исследования установлено, что рассматриваемая волна относится к типу Н₁₁. Проверено выполнение граничных условий для касательных составляющих вектора и нормальной составляющей вектора на стенках волновода. Получены выражения для поверхностных токов и зарядов на стенках волновода. Найден вектор Пойтинга в комплексной форме и в форме мгновенного значения. Определено среднее за период значение плотности потока энергии, проходящей через поперечное сечение волновода. Определены и рассчитаны фазовая скорость и скорость распространения энергии волны в волноводе, зависимости фазовой скорости и скорости распространения энергии построены графически. Рассчитан коэффициент затухания волны при использовании волновода из реального металла с заданной проводимостью, зависимость коэффициента затухания от частоты построена графически. Структура силовых линий электрического и магнитного полей, а также структура силовых линий плотности поверхностного тока проводимости изображены на соответствующих рисунках.

Математические расчёты совпадают с построенными графическими зависимостями

Использованная литература:

[1]-Техническая электродинамика / Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцов А.Д. Под ред. Ю.В. Пименова: Учебное пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 2002.

[2]-Электромагнитные волны/ Вайнштейн. Л. А. – М.: Радио и связь, 1988.

[3]-Конспект лекций за 2015 год.