Построение циклических кодов

 

§ 1 Введение

Код ,в котором кодовая комбинация, полученная путем циклического сдвига разрешенной кодовой комбинации является также разрешенной кодовой комбинацией называется циклическим ( полиномиальным, кодом с циклическими избыточными проверками-ЦИП).

Сдвиг осуществляется справа налево, при этом крайний левый символ переносится в конец комбинации.

 Циклический код относится к линейным, блочным, корректирующим, равномерным кодам.

В циклических кодах кодовые комбинации представляются в виде многочленов, что позволяет свести действия над кодовыми комбинациями к действием над многочленами (используя аппарат полиномиальной алгебры).

Циклические коды являются разновидностью систематических кодов и поэтому обладают всеми их свойствами. Первоначально они были созданы для упрощения схем кодирования и декодирования. Их эффективность при обнаружении и исправлении ошибок обеспечила им широкое применение на практике.

Циклические коды используются в ЭВМ при последовательной передаче данных .

§ 2 Постановка задачи

Построить циклический код для передачи 31 разрядной кодовой комбинации с исправлением однократной ошибки ( n=31 ,s=1) двумя

способами.

Показать процесс обнаружения и исправления однократной ошибки в передаваемой кодовой комбинации. Составить программу, реализующую алгоритм кодирования, декодирования и исправления ошибки при передаче данных с использованием циклического кода.

 

§ 3 Операции над циклическими кодами

 1. Сдвиг справа налево осуществляется путем умножения полинома на x:

 G(x)=x⁴+x²+1 Û 0010101;

 G(x)×x=x⁵+x³+x Û 0101010.

 2. Операции сложения и вычитания выполняются по модулю 2 .

Они являются эквивалентными и ассоциативными :

 G₁(x)+G₂(x)=>G₃(x);

 G₁(x) -G₂(x)=>G₃(x);

 G₂(x)+G₁(x)=>G₃(x);

Пример:

 G₁(x)=x⁵ +x³+x;

 G₂(x)=x⁴ +x³ +1;

 G₃(x)=G₁(x) Å G₂(x) = x⁵ +x⁴+x+1.

 3. Операция деления является обычным делением многочленов, только вместо вычитания используется сложеное по модулю 2 :

 G₁(x)=x⁶+x⁴+x³ ;

 G₂(x)=x³+x²+1 .

 

§ 4 Принцип построения циклических кодов

Идея построения циклических кодов базируется на использовании неприводимых многочленов. Неприводимым называется многочлен, который не может быть представлен в виде произведения многочленов низших степеней ,т.е. такой многочлен делиться только на самого себя или на единицу и не делиться ни на какой другой многочлен. На такой многочлен делиться без остатка двучлен xⁿ+1.Неприводимые многочлены в теории циклических кодов играют роль образующих полиномов.

Чтобы понять принцип построения циклического кода, умножаем комбинацию простого k-значного кода Q(x) на одночлен x^r ,а затем делим на образующий полином P(x) , степень которого равна r. В результате умножения Q(x) на x^r степень каждого одночлена, входящего в Q(x), повышается на r. При делении произведения x^rQ(x) на образующий полином получается частное C(x) такой же степени, как и Q(x).

Частное C(x) имеет такую же степень, как и кодовая комбинация Q(x) простого кода, поэтому C(x) является кодовой комбинацией этого же простого k-значного кода. Следует заметить, что степень остатка не может быть больше степени образующего полинома, т.е. его наивысшая степень может быть равна (r-1). Следовательно, наибольшее число разрядов остатка R(x) не превышает числа r.

Умножая обе части равенства (1) на P(x) и произведя некоторые перестановки получаем :

 F(x) = C(x) P(x) = Q(x) x^r + R(x) (2)

Таким образом, кодовая комбинация циклического n-значного кода может

быть получена двумя способами:

 1) умножение кодовой комбинации Q(x) простого кода на одночлен x^r

и добавление к этому произведению остатка R(x) , полученного в результате деления произведения Q(x) x^r на образующий полином P(x);

2) умножения кодовой комбинации C(x) простого k-значного на образующий полином P(x).

 При построении циклических кодов первым способом расположение информационных символов во всех комбинациях строго упорядочено - они занимают k старших разрядов комбинации, а остальные (n-k) разрядов отводятся под контрольные.

При втором способе образования циклических кодов информационные и контрольные символы в комбинациях циклического кода не отделены друг от друга, что затрудняет процесс декодирования.

§ 6. Разработка текста программы

 Для представления информационного слова в памяти используется

 массив. В состав программы входит основная программа и два модуля,

реализующие алгоритм кодирования и декодирования информационных слов и диалога с пользователем соответственно.

Program Cyclic_Code;

Uses

 Crt,_CC31,_Serv;

Var

m,mm:Move_code;

p:Polinom;

r:Rest;

i,Mainflag,From,Error:integer;

Switch:byte;

Key:boolean;

begin

Repeat

 Key:=true;

 TextColor(11);

 TextBackGround(7);

 Clrscr;

 SetWindow(24,10,45,14,2,' Главное меню ');

 Switch:=GetMainMenuChoice;

 case Switch of

 1:begin

 About;

 Readln;

 Key:=False;

 end;

 2: begin

 TextColor(0);

 ClrScr;

 SetWindow(25,10,40,13,1,' Образовать ');

 Switch:=GetSubMenuChoice;

 case Switch of

 1:begin

TextBackGround(0);

TextColor(15);

ClrScr;

SetWindow(1,1,79,24,2,' Демонстрация');

TextColor(14);

 

 GotoXY(2,2);

Init(m,p,r,MainFlag);

Write(‘Информационный полином ');

TextColor(2);

for i:=n downto 0 do

begin

 if(i<n-n1+1)then Textcolor(9);

 Write(m[i]);

end;

TextColor(14);

GotoXY(2,3);

Write('Образующий полином ');

TextColor(13);

for i:=n1 downto 0 do

Write(p[i]);

TextColor(14);

GotoXY(2,4);

Write('Сложение по модулю 2 (F(x)+P(x)): ');

FxPx(m);

TextColor(9);

for i:=n downto 0 do

begin

 if(i<n1)then TextColor(2);

 Write(m[i]);

end;

TextColor(14);

GotoXY(2,5);

Write('Остаток: ');

Divizion(m,r,p,Mainflag);

TextColor(11);

for i:=n1 downto Mainflag do

 Write(r[i]);

GotoXY(2,6);

TextColor(14);

Write('Передаваемый полином: ');

BildMoveCode(m,r,Mainflag);

TextColor(9);

for i:=n downto 0 do

begin

 if(i<n1) then TextColor(11);

 Write(m[i]);

end;

GotoXY(2,7);

TextColor(14);

Write('Произошла ошибка... ');

MakeError(m,Error);

TextColor(9);

for i:=n downto 0 do

begin

 if(i=Error)then

 TextColor(12)

 else

 TextColor(9);

 write(m[i]);

end;

GotoXY(2,8);

TextColor(14);

Write('Ошибка исправлена! ');

TextColor(9);

Correction(m,p,r);

for i:=n downto 0 do

begin

 if(i=Error)then

 TextColor(10)

 else

 TextColor(9);

 write(m[i]);

 end;

 TextColor(14);

 GotoXY(2,9);

 Write('Исходный полином: ');

 Decoder(m);

 TextColor(2);

 for i:=n downto 0 do

 begin

 if(i<n-n1+1)then Textcolor(9);

 Write(m[i]);

end;

 Key:=false;

 end;

 2:begin

TextBackGround(0);

TextColor(15);

ClrScr;

SetWindow(1,1,79,24,2,'Демонстрация');

TextColor(14);

GotoXY(2,2);

Init(m,p,r,MainFlag);

Write('Информационный полином: ');

TextColor(2);

for i:=n downto 0 do

begin

 if(i<n-n1+1)then Textcolor(9);

 Write(m[i]);

end;

TextColor(14);

GotoXY(2,3);

Write('Образующий полином: ');

TextColor(13);

for i:=n1 downto 0 do

Write(p[i]);

TextColor(14);

GotoXY(2,4);

Write('Результат умножения: ');

BildMoveCodeMultiplication(m);

TextColor(9);

for i:=n downto 0 do

 Write(m[i]);

GotoXY(2,5);

TextColor(14);

Write('Произошла ошибка ... ');

MakeError(m,Error);

TextColor(9);

for i:=n downto 0 do

begin

 if(i=Error)then

 TextColor(12)

 else

 TextColor(9);

 write(m[i]);

end;

GotoXY(2,6);

TextColor(14);

Write('Ошибка исправлена ! ');

TextColor(9);

Correction(m,p,r);

for i:=n downto 0 do

begin

 if(i=Error)then

 TextColor(10)

 else

 TextColor(9);

 write(m[i]);

 end;

Key:=false;

end;

 end;

 TextColor(14);

 GotoXY(2,22);

 Write('Нажмите любую клавишу...');

 Readln;

 end;

 3:begin

 ClrScr;

 GotoXY(1,24);

 TextColor(14);

 Writeln('Работа программы завершена ...');

 Readln;

 TextBackGround(0);

 TextColor(15);

 ClrScr;

 Key:=true;

 end;

 end;

 Until Key;

end.

 

§ 7 .Результаты работы программы

Результат работы программы при образовании кода добавлением остатка

Демонстрация

 Информационный полином: 0000011010111110011110110110110

 Образующий полином: 111101

Cложениe по модулю 2 (F(x)+P(x)): 1101011111001111011011011000000

 Остаток: 010101

 Передаваемый полином: 1101011111001111011011011010101

 Произошла ошибка... 1101011111001110011011011010101

 Ошибка исправлена! 1101011111001111011011011010101

 Исходный полином: 0000011010111110011110110110110

Нажмите любую клавишу...

Результат работы при образовании кода умножением

Демонстрация

 Информационный полином: 0000001010110000011111010001011

 Образующий полином: 111101

 Результат умножения: 0110000011111010000100100101111

 Произошла ошибка... 0110000011111010000100100101101

 Ошибка исправлена! 0110000011111010000100100101111

Нажмите любую клавишу...

Выводы:

 Данная программа кодирует сообщения используя циклический код.

При этом она имитирует работу канала для передачи информации.

 При возникновении исключительных ситуаций, когда информационное слово по каким-либо причинам раскодировать не удаётся, программа повторяет запрос на пересылку данных, как это делается в реальных ситуациях подобного рода.

 Кроме этого, программа случайным образом, "при прохождении

информационного слова через канал" допускает в слове однократную ошибку, затем исправляет ее, декодирует информационное слово и передаёт результат пользователю.

Приложение № 1

Процедуры и функции модуля _сс31.

Unit _CC31;

Interface

Uses

 Crt;

Const

 n=30; { Информация+код }

 n1=5; { Размер контрольных разрядов }

 Type

 Move_code=array[0..n] of byte; { Передаваемый полином F(x) }

 Rest=array[0..n1] of byte; { Остаток }

 Polinom=array[0..n1] of byte; { Образующий полином P(x) }

Procedure Init(var m1:Move_code;var p1:Polinom;

 var r1:Rest;var flag:integer);

Procedure FxPx(var m6:Move_Code);

Procedure Divizion(var m2:Move_code;var r2:Rest;

 p2:Polinom;var flag:integer);

Procedure BildMoveCode(var m3:Move_code;r3:Rest;var flag:integer);

Procedure Decoder(var m6:Move_Code);

Procedure MakeError(var m4:Move_code;var err:integer);

Procedure BildMoveCodeMultiplication(var m7:Move_Code);

Procedure Correction(var m5:Move_code;p5:Polinom;var r5:Rest);

Implementation

Procedure Init;

var

 i:integer;

begin

 p1[5]:=1;

 p1[4]:=1;

 p1[3]:=1;

 p1[2]:=1;

 p1[1]:=0;

 p1[0]:=1;

 flag:=0;

 for i:=n1 downto 0 do

 r1[i]:=0;

 Randomize;

 for i:=n-n1 downto 0 do

 m1[i]:=random(2);

 end;

Procedure FxPx(var m6:Move_Code);

var

 i:integer;

 k:byte;

begin

 k:=5;

 while(k>0) do

 begin

 for i:=n downto 1 do

 m6[i]:=m6[i-1];

 dec(k);

 end;

 for i:=n1-1 downto 0 do

m6[i]:=0;

end;

Procedure Divizion(var m2:Move_code;var r2:Rest;

 p2:Polinom;var flag:integer);

label

 RETURN;

var

 i,j,i1,kol,Countzero:integer;

begin

 j:=n;

RETURN:while((j>=0)and(m2[j]=0))do dec(j);

 if(j>n1)

 then begin

 for i:=n1 downto 0 do

 begin

 r2[i]:=m2[j];

 dec(j);

 end;

 while(j>=0)do

 begin

 for i:=n1 downto 0 do

 r2[i]:=r2[i] xor p2[i];

 i1:=n1;

 while((i1>=0)and(r2[i1]=0))do dec(i1);

 if(i1=-1)then goto RETURN;

 Kol:=n1-i1;

 while(Kol>0)do

 begin

 for i:=n1 downto 1 do

r2[i]:=r2[i-1];

 dec(Kol);

 end;

 Kol:=n1-i1;

 while((Kol>0)and(j>=0))do

 begin

 r2[Kol-1]:=m2[j];

 dec(Kol);

 dec(j);

 end;

 if((j=-1)and(Kol=0))

 then begin

 for i:=n1 downto 0 do

 r2[i]:=r2[i] xor p2[i];

end

 else flag:=Kol;

 end;

 end

 else if(n1=j)

 then begin

 for i:=n1 downto 0 do

 begin

 r2[i]:=m2[j];

 dec(j);

 end;

 for i:=n1 downto 0 do

 r2[i]:=r2[i] xor p2[i]

 end

 else if(j<n1)

 then begin

for i:=j downto 0 do

 r2[i]:=m2[i]

 end;

end;

Procedure BildMoveCode(var m3:Move_code;r3:Rest;var flag:integer);

var

 i,k:integer;

begin

 if(flag>0)then

 begin

 k:=n1-flag;

 for i:=n1 downto flag do

 begin

 m3[k]:=r3[i];

 dec(k);

 end;

 end

 else begin

 for i:=n1-1 downto 0 do

 m3[i]:=r3[i];

end;

end;

Procedure MakeError(var m4:Move_code;var err:integer);

begin

 Randomize;

 err:=Random(n);

 m4[err]:=m4[err] xor 1;

end;

Procedure Decoder(var m6:Move_Code);

var

 i:integer;

 k:byte;

begin

 k:=5;

 while(k>0) do

 begin

 for i:=0 to n-1 do

 m6[i]:=m6[i+1];

 dec(k);

 end;

 for i:=n downto n-n1+1 do

m6[i]:=0;

end;

Procedure BildMoveCodeMultiplication(var m7:Move_Code);

var

 m1,m2,m3,m4,mm:Move_Code;

 i,j:integer;

begin

 mm:=m7;

 m1:=m7;

 for j:=0 to 1 do

 begin

 for i:=n downto 1 do

m1[i]:=m1[i-1];

 m1[j]:=0;

 end;

 m2:=m7;

 for j:=0 to 2 do

 begin

 for i:=n downto 1 do

m2[i]:=m2[i-1];

 m2[j]:=0;

 end;

 m3:=m7;

 for j:=0 to 3 do

 begin

 for i:=n downto 1 do

m3[i]:=m3[i-1];

 m3[j]:=0;

 end;

 m4:=m7;

 for j:=0 to 4 do

 begin

 for i:=n downto 1 do

m4[i]:=m4[i-1];

 m4[j]:=0;

 end;

 for i:=n downto 0 do

 m7[i]:=mm[i] xor m1[i]xor m2[i]xor m3[i] xor m4[i];

end;

Procedure Correction(var m5:Move_code;p5:Polinom;var r5:Rest);

var

 i,Correctflag,i1:integer;

 Count,Countcarry,Carryflag:byte;

begin

 Correctflag:=0;

 Countcarry:=0;

 repeat

 for i:=n1 downto 0 do

 r5[i]:=0;

 Count:=0;

 Divizion(m5,r5,p5,Correctflag);

 i1:=n1;

 while((i1>=Correctflag)and(r5[i1]=0))do dec(i1);

 if({(i1=Correctflag-1) or

 (}(i1=Correctflag)and(r5[Correctflag]=1)){)}

 then m5[0]:=m5[0] xor r5[Correctflag]

 else begin

 Carryflag:=m5[n];

 for i:=n downto 1 do

 m5[i]:=m5[i-1];

 m5[0]:=Carryflag;

 inc(Countcarry);

 end;

 until ({(i1=Correctflag-1) or

 (}(i1=Correctflag)and(r5[Correctflag]=1));{);}

 while (Countcarry>0) do

 begin

 Carryflag:=m5[0];

 for i:=0 to n-1 do

 m5[i]:=m5[i+1];

 m5[n]:=Carryflag;

dec(Countcarry);

 end;

end;

end.

Приложение № 2

Процедуры и функции модуля _Serv.

 

Unit _SERV;

Interface

Uses

 Crt,Dos;

Const

 EmptyBorder =0;

 SingleBorder =1;

 DoubleBorder =2;

 BorderChar:array[0..2,1..6] of Char=

 ((#32,#32,#32,#32,#32,#32),

 (#218,#196,#191,#179,#192,#217),

 (#201,#205,#187,#186,#200,#188));

 MaxChar=80;

 MaxLine=25;

 MenuTop=3;

 SubMenuTop =2;

 MenuLine :array[1..MenuTop]of string[20]=

(' О программе...',' Демонстрация ' ‘Выход ');

 SubMenuLine :array[1..SubMenuTop]of string[20]=

(' Сложением' , ' Умножением');

Procedure SetWindow(x1,y1,x2,y2,Bord:byte;Header:string);

Procedure CursorOff;

Function GetMainMenuChoice:byte;

Function GetSubMenuChoice:byte;

Procedure About;

Implementation

Procedure SetWindow(x1,y1,x2,y2,Bord:byte;Header:string);

var

 i:integer;

begin

 if not ((x1<1) or (x2<=x1) or

 (y1<1) or (y2<=y1) or (x2>MaxChar) or

 (y2>MaxLine) or (Bord>2)) then

 begin

 GotoXY(x1,y1);

 Write(BorderChar[Bord,1]);

 for i:=1 to x2-x1-1 do

begin

 GotoXY(x1+i,y1);

 Write(BorderChar[Bord,2]);

end;

 GotoXY(x2,y1);

 Write(BorderChar[Bord,3]);

 for i:=1 to y2-y1-1 do

begin

 GotoXY(x1,y1+i);

 Write(BorderChar[Bord,4]);

 GotoXY(x2,y1+i);

 Write(BorderChar[Bord,4]);

end;

 GotoXY(x1,y2);

 Write(BorderChar[Bord,5]);

 for i:=1 to x2-x1-1 do

begin

 GotoXY(x1+i,y2);

 Write(BorderChar[Bord,2]);

end;

 GotoXY(x2,y2);

 Write(BorderChar[Bord,6]);

 end;

 GotoXY((x2-x1-ord(Header[0])) div 2+x1,y1);

 Write(Header)

end;

Procedure CursorOff;

begin

 asm

 mov ah,1

 mov ch,20h

 int 10h

 end;

end;

Function GetMainMenuChoice:byte;

var

 Count:byte;

 i:integer;

 ch,ch1:char;

begin

 Count:=1;

 while KeyPressed do

 ch:=Readkey;

 repeat

 for i:=1 to MenuTop do

 begin

 if(i=Count)then

begin

 HighVideo;

 TextColor(0);

end

 else

 begin

 LowVideo;

 TextColor(8);

 end;

 GotoXY(25,10+i);

 Writeln(MenuLine[i]);

 CursorOff;

 end;

 if KeyPressed

 then begin

ch:=Readkey;

 if(ch=#0)

 then begin

 ch1:=Readkey;

 case ch1 of

 #72 : if(Count>1)

 then dec(Count);

 #80 : if(Count<MenuTop)

 then inc(Count);

 end;

 end;

 end;

 until(ch=#13);

 GetMainMenuChoice:=Count;

end;

Function GetSubMenuChoice:byte;

var

 Count:byte;

 i:integer;

 ch,ch1:char;

begin

 Count:=1;

 while KeyPressed do

 ch:=Readkey;

 repeat

 for i:=1 to SubMenuTop do

 begin

 if(i=Count)then

begin

 HighVideo;

 TextColor(9);

end

 else

 begin

 LowVideo;

 TextColor(1);

 end;

 GotoXY(26,10+i);

 Writeln(SubMenuLine[i]);

 CursorOff;

 end;

 if KeyPressed

 then begin

ch:=Readkey;

 if(ch=#0)

 then begin

 ch1:=Readkey;

 case ch1 of

 #72 : if(Count>1)

 then dec(Count);

 #80 : if(Count<SubMenuTop)

 then inc(Count);

 end;

 end;

 end;

 until(ch=#13);

 GetSubMenuChoice:=Count;

end;

Procedure About;

begin

 TextColor(15);

 SetWindow(5,1,75,3,1,'О программе');

 TextColor(10);

 GotoXY(6,2);

 TextColor(10+128);

 Write('Токарь Алексей Юрьевич АП-57.Курсовой проект.

 “Циклический код” ');

end;

end.