Связанные контура

Содержание

Введение. 2

Основные понятия. 2

Контур, эквивалентный связанным контурам. Вносимые сопротивления. 3

Резонансные характеристики системы двух связанных контуров. 6

Полоса пропускания системы двух связанных контуров. 12

Энергетические соотношения в связанных контурах. 13

Настройка системы двух связанных контуров. 14

Прохождение радиоимпульса через двухконтурную связанную систему 17

литература 20

Введение.

В радиотехнике широкое применение находят всевозможные колебательные контура. Основное назначение радиотехнических колебательных цепей - получение с их помощью частотной избирательности, т.е. выделения полезного сигнала и подавления всех остальных сигналов и помех. Ввиду того что с помощью одиночного колебательного контура нельзя получить высокую избирательность при широкой полосе пропускания, используют связанные контуры. В радиотехни­ке такие контуры применяются в основном как фильтры промежуточ­ной частоты (ФПЧ).

Основные понятия.

Два контура называются связанными, если колебания, происходя­щие в одном из них, захватывают другой контур. Связь между кон­турами может осуществляться через электрическое поле (благодаря емкости) или через магнитное поле (благодаря взаимоиндуктивности или индуктивности). На рис. 1 показаны три разновидности связи двух колебательных контуров: а) трансформаторная, когда связь между контурами осуществляется благодаря взаимоиндуктивности между катушками L1 и L2; б) автотрансформаторная, когда связь между контурами осуществляется непосредственно через индуктивность связи L1,2; в) емкостная, когда связь между контурами осуществляется через емкость связи С3. Наиболее часто в радиотехнике применяется трансформаторная связь, поэтому все дальнейшие выкладки проведем для этого вида связи.

Рис. 1. Виды связи двух колебательных контуров

Предположим, что в первом контуре на рис.1, а протекает ток i₁, а второй контур разомкнут. Тогда отношение напряжения, индуцированного в катушке L2, к напряжению в катушке L1 выразится коэффициентом

который называется степенью связи. Аналогично, если предположить разомкнутым первый контур, а источник э.д.с. подключить ко второму контуру, то при протекании в нем тока i₂ получим

Коэффициент связи есть корень квадратный из произведения степеней связи . (1)

При трансформаторной связи . (2)

Если умножить числитель и знаменатель (2) на w, то получим общее выражение для коэффициента связи, пригодное и для других видов связи

(3)

где X_M - сопротивление связи.

Контур, эквивалентный связанным контурам. Вносимые сопротивления.

Рассмотрим систему двух колебательных контуров с трансформаторной связью, в которой к первому контуру подключен источник э.д.с. e(t) (рис. 2,а), а r₁ и r₂ - выделенные для анализа сопротивления потерь в контурах.

а

б

Рис.2. Система двух колебательных контуров с трансформаторной связью (а) и ее эквивалентная схема (б)

Запишем для каждого контура уравнения Кирхгофа

(4)

Считая э.д.с. синусоидальной и режим в цепи установившимся, можно воспользоваться символическим методом анализа. Тогда ; и (4) принимает вид

(5)

Обозначив реактивное сопротивление первого и второго контуров через X₁ и X₂, (5) можно записать так:

(6)

Найдем из второго уравнения

(7)

Обозначив wМ = X_СВ (сопротивление связи), (7) можно переписать так:

Подставив значение из (7) в первое уравнение системы (6)

Освободившись от мнимости в знаменателе, получим

или

так как .

Поделив в полученном выражении приложенную э.д.с. на ток запишем выражение для эквивалентного входного сопротивления системы двух связанных колебательных контуров

(8)

Модуль сопротивления Z_1Э равен

(9)

Анализ (8) показывает, что в результате связи первого контура со вторым в первый контур как бы вносятся два сопротивления: активное

и реактивное (10)

Таким образом, систему двух связанных колебательных конту­ров можно заменить одним эквивалентным контуром (рис. 2, б), в который вносится сопротивление

Суммарное активное сопротивление R_1э = r₁+ R_вн всегда положи­тельное, а знак суммарного реактивного сопротивления Х_1э=Х₁+Х_вн определяется настройкой каждого из контуров в отдельности (знаки X₁ и Х₂ и, следовательно, Х_вн зависят от частоты, на которую настроен каждый контур).

Резонансные характеристики системы двух связанных контуров.

Под амплитудно-частотными резонансными характеристиками си­стемы двух связанных контуров будем подразумевать зависимость амп­литуд токов первого и второго контуров от частоты. Считая, что оба контура настроены на одну и ту же частоту w₀ выделим модули тока первого и второго контуров при наличии связи между ними.

Если записать в символической форме и то

(11)

где Модуль (11) есть

(12)

На основании (7), с учетом того что и имеем

(13)

где и . Запишем Модуль (13) с учетом (12) и (9)

Выражения (12) и (14) представляют собой уравнения резонансных характеристик для I₁ и I₂ соответственно в неявной относительно частоты форме. Таким образом, если построить зависимости модулей I₁ и I₂ от частоты, то это и будут амплитудно-частотные резонансные характеристики. При построении их будем исходить из двух случаев связи между контурами; слабой и сильной. Сначала займемся построе­нием I₁(). Как видно из (12), частотную зависимость I₁ определяет частотная зависимость Z_1э(), поскольку э. д. с. источника Е от частоты не зависит. Таким образом, построение сводится сначала к построению зависимости Z_1э(), а затем — зависимости I₁() как частного от деления Е на Z_1э.

Выразив модуль Z_1э() через компоненты

построим попарно зависимости r₁ и r_вн , Х₁ и Х_вн от частоты, а Z_1э найдем графически, как геометрическую сумму r₁+ R_вн и Х₁+ Х_вн. I₁ строим в соответствии с (12). Построение проводим при небольших расстройках относительно резонансной частоты. Получаемые зависи­мости при слабой связи между контурами имеют вид, показанный на рис. 3, а при сильной связи—на рис. 4.

Рис. 3. Частотные зависимости входного сопротивления, его составляющих и тока I₁ системы двух связанных контуров при слабой связи между ними

Рис. 4. Частотные зависимости входного сопротивления, его составляющих и тока I₁ системы двух связанных контуров при сильной связи между ними

Как видно, при слабой связи между контурами вследствие малости Х_ВН по сравнению с Х₁ кривая X_1э () пересекает ось частот только в одной точке _о. При сильной связи между контурами вследствие значительной величины Х_ВН, которая на некоторых частотах превы­шает по абсолютной величине Х₁, имея обратный знак, суммарная кри­вая Х_1э () пересекает ось частот в трех точках: ₀₁, ₀ и ₀₂. Други­ми словами, результирующее реактивное сопротивление системы равно нулю не только на частоте ₀, но и на частотах ₀₁ и ₀₂, называемых частотами связи. Учитывая еще то обстоятельство, что при сильной связи между контурами сопротивления R_ВН на частоте ₀ и в близлежащей области большие, чем при слабой, понятен двугорбый харак­тер кривых Z_1э() и I₁() с максимумами на частотах  ₁ и  ₂.

Очевидно, имеется граничная связь, превышение которой ведет к двугорбости амплитудно-частотной резонансной характеристики то­ка первичного контура. Такая связь называется первичной критиче­ской связью, а соответствующий ей коэффициент связи — первичным критическим коэффициентом связи (k_кр1). Амплитудно-частотную ре­зонансную характеристику вторичного тока строим на основании по­лученных характеристик первичного тока и (14). Для того чтобы можно было сравнивать амплитудно-частотные резонансные характерис­тики первичного и вторичного токов, их надо строить на одном рисун­ке по отношению к резонансным значениям Z₂, т.е. и. . Согласно (14) Таким образом , для построения амплитудно-частотных характеристик вторичного то­ка достаточно перемножить координаты кривых I₁ (w) / I_1p и r₂ /Z₂ (w)

Указанные построения для связи, меньше критической, выполне­ны на рис. 5, а, а для связи, больше критической,— на рис. 2. 19, б. Как видно из рис. 5, б, двугорбость кривой первичного тока выра­жена резче, причем горбы разнесены дальше, чем у кривой вторично­го тока. Очевидно, возможна такая связь между контурами системы, когда двугорбость первичного тока уже наступит, а вторичного — еще нет. Такая связь, превышение которой ведет к появлению двугорбости у резонансной амплитудно-частотной характеристики вторичного тока, называется вторичной критической связью, а соответствующий ей коэффициент связи -вторичным критическим коэффициентом связи (k_кр2).

Рис. 5. Амплитудно-частотные характеристики вторичного тока системы двух связанных контуров при слабой (а) и сильной (б) связях между ними

Максимальные значения вторичного тока I₂ при связи, больше вторичной критической, наблюдаются на частотах связи ₀₁ и ₀₂, при которых Х₁=0. Для того чтобы найти условия возникновения частот связи и определить их значения, (11) и (13) нужно предста­вить в явной относительно частоты форме и исследовать (13) на экс­тремум, т. е. установить, при каких относительных расстройках (e) вторичный ток будет максимальным и минимальным. Чтобы полу­чить выражения для ₁ и I₂ в явной относительно частоты форме, пере­пишем (11), подставив вместо Z_1э его значение из (8)

Считая, что контуры настроены в резонанс (₁ = ₂= ₀), выне­сем за скобки в знаменателе ₀L и, подставив на основании (2) получим

(15)

где ,

. (16)

Модуль тока равен

(17)

Подставив в (7) вместо М. его значение из (2) и домножив числитель и знаменатель (7) на w₀ L₂ , найдем,

(18)

где . Выражения (13) и (18) — идентичны. Взяв модуль (18) и подставив значение модуля I₁ из (17), получим

(19)

Если частота питающего генератора равна резонансной частоте контуров, т. е. _г ₀ ( = 0), то (19) упрощается

В относительных единицах выражение, описывающее резонансную кривую для тока I₂, имеет вид

(20)

Выражения (17) и (19) соответствуют (12) и (14) и описывают амплитудно-резонансные характеристики токов I₁ и I₂ в явной относи­тельно частоты (расстройки e) форме.

Исследуем (19) на экстремум, для чего продифференцируем (19) по e и приравняем производную нулю, т. е. dI ₂ /de = 0. В результате получим . Данное уравнение имеет три корня:

(21)

При d₁ = d₂ получаем

(22)

Если первый корень (e₁) действителен при любых соотношениях между k и d, то второй и третий корни (₂ и ₃) имеют смысл только при k > d. При k d физический смысл имеют все три корня, что говорит о двугорбом характере резонансной характерис­тики для тока I₂. Очевидно, вторичный критический коэффициент связи, лежащий на границе перехода от одногорбой кривой к двугор­бой, на основании (21) получается тогда, когда корни (21) обращаются в нуль: При d₁ = d₂ имеем:

k _кр2 = d. (23)

Чтобы получить выражения для частот связи при k > k_кр2, в (22) надо подставить значение  = а/Q = 1 — ₀²/². Тогда

(24)

Именно на частотах w₀₁ и w₀₂ выполняется условие резонанса, бла­годаря чему ток /а достигает максимума (рис. 5, б).

Третья резонансная частота получается из условия ₁ =0, или ₁=1-₀²/²=0; отсюда = ₀. При k > k_кр2 на частоте ₀ ре­зонансная характеристика тока I₂ имеет впадину. При k < k_кр2, ког­да физический смысл имеет только первый корень , системе связан­ных контуров свойственна лишь одна резонансная частота ₀ на которой наблюдается максимум тока I₂ (рис.5, а). Наличие одной резонансной частоты при kk_кр хорошо иллюстрирует рис. 6.

Фазово-частотные резонансные характеристики системы двух свя­занных контуров представляют собой частотную зависимость фазово­го сдвига между токами и приложенной к системе э. д. с. Е. Как следует из (11), сдвиг фазы между током и э. д. с. Е зависит от угла -j_1э, значение которого определяется (16). Сдвиг фазы между током и э. д. с. Е зависит от угла [см. (18) ] и от­личается от сдвига фазы между током и э.д.с. Е углом . Фазово-частотные характеристики системы двух связанных контуров изображены на рис. 7.

Полоса пропускания системы двух связанных контуров.

В одиночном контуре относительная рас­стройка  = 2о = 1/Q = d. Полоса пропускания системы может быть как меньше полосы пропускания одиночного контура (при k < k_кр), так и больше ее (при kі k_кр). Самой широкой полосой про­пускания системы двух связанных контуров будет такая, в пределах которой провал амплитудно-частотной резонансной характеристики системы лежит на уровне 1/ от максимального значения; при этом e=2Dw/w₀ » 3.1d а коэффициент связи, обеспечивающий данную полосу, k=2.41d. Как видно, при этом полоса пропускания системы двух связанных контуров в три раза шире полосы пропускания одиноч­ного колебательного контура. При критической связи (k = k_кр= d), обеспечивающей наибольшее приближение резонансной характерис­тики в пределах полосы пропускания к прямоугольнику, = 1,41d.

Рис.6. Зависимость резонансной частоты системы двух колебательных контуров от коэффициента связи

Рис.7. Фазово-частотные характеристи­ки системы двух связанных контуров при различных коэффициентах связи

Энергетические соотношения в связанных контурах.

Рассмотрим, как распределяется мощность между связанными контурами в зави­симости от степени их связи. При этом анализировать будем типичный для практики случаи, когда каждый из контуров в отдельности на­строен в резонанс на частоту генератора w₀ (т. е. Х₁= 0, Х₂= 0) и лишь потом подбирается связь между ними. Так как обычно выходным является второй контур и с ним связаны последующие каскады при­емного устройства, то задача состоит в передаче максимальной энергии во второй контур.

Для оценки эффективности передачи энергии во второй контур введем понятие к.п.д. системы двух связанных контуров как отноше­ние мощности, выделяемой во втором контуре, к суммарной мощно­сти в первом и втором контурах, т. е.

(25)

где и Подставив в (25) значения мощностей Р₁ и Р₂ получим Ток I₂ заменим его значением из (13) при Х_= 0, т.е. I_=I_X_св/r_. Тогда

Из (10) следует, что X_св/r_=R_вн при Х_=0. Таким образом,

(26)

Из курса электротехники известно, что максимальная мощность отдается в нагрузку тогда, когда внутреннее сопротивление генера­тора равно сопротивлению нагрузки. Для случая связанных контуров это равносильно равенству ^r_=R_вн с точки зрения передачи максимальной энергии во второй контур из первого. При этом, как видно из (26), =0.5, т. е. половина мощности теряется в первом контуре.

Настройка системы двух связанных контуров.

При желании пере­дать во второй контур максимальную энергию, обеспечивающую и максимальны ток в нем, прибегают к настройке системы связанных кон­туров. Для того чтобы получить самый большой ток во втором контуре, необ­ходимо выполнить два условия: с одной стороны, обеспечить равенство Х_1э=0, а с другой, -r_=R_вн Первое условие может быть выполнено двумя способами: 1) настройкой системы (при наличии определенной связи между контурами) на частоту генератора из­менением параметров только одного из контуров; 2) настройкой на частоту генератора сначала первого контура при разомкнутом втором, а затем подключением и настройкой второго контура при достаточно слабой связи между контурами, чтобы осла­бить взаимное влияние.

Первый способ настройки называют методом частного резонанса, причем в зависимости от того, параметры первого или второго кон­тура участвуют в настройке, достигается соответственно первый или второй частный резонанс. При частном резонансе хотя и получается максимум тока во втором контуре, но этот максимум не является са­мым большим, так как при обеспечении равенства Х_1э= 0 еще не вы­полняется условие r₁=R_вн которое достигается соответствующим подбором связи между контурами. Связь, обеспечивающую макси­мальную мощность (ток) во втором контуре, называют оптимальной. Подбор ее производится постепенно с последующей подстройкой кон­тура после очередной установки связи, так как при каждом изменении связи нарушается условие Х_1э= 0 за счет изменения Х_вн. Если до изменения связи система была настроена в резонанс изменением па­раметров первого контура (первый частный резонанс), то после каж­дого очередного изменения связи необходимо подстраивать систему в резонанс изменением параметров первого контура, чтобы все время выполнялось условие Х_1э= Х_1э + Х_вн= 0.

Таким образом, при таком постепенном подборе связи с последую­щей подстройкой контуров может быть достигнута оптимальная связь, обеспечивающая самый большой максимум тока во втором контуре. Данный способ настройки носит название метода сложного резонанса. Проанализируем его математически.

Если обратиться к выражению для тока во втором контуре [см (14)], то при достижении, например, первого частного резонанса оно примет вид:

Далее положив, что при изменении связи (Хсв) условие Х_1э=0 все время поддерживается неизменным подстройкой параметров пер­вого контура, найдем оптимальное сопротивление связи (Х_св.опт), обеспечивающее самый большой максимум тока во втором контуре (I_{2махмах}). Для этого необходимо взять производную токов I_2мах по

Х_св и приравнять ее нулю

откуда , или , где .

Таким образом, подтверждено, что при оптимальной связи r₁=R_вн, причем

(27)

Подставив значение Х_св.опт в выражение для тока I_2mах, можно найти самый большой максимум тока во втором контуре

(28)

Однако на практике используют так называемый метод полного резонанса, при котором сначала достигается равенство Х_1э= 0 по опи­санному второму способу настройки, когда каждый контур системы настраивается в резонанс независимо от другого. Затем подбирается оптимальная связь между контурами по самому большому току во втором контуре (I_{2max max}). В случае полного резонанса при измене­нии связи между контурами подстройка их для выполнения условия

Х_1э= Х₁-Х_cв²/Z₂=0 нужна, так как ввиду того что Х₁= Х₂=0, это условие выполняется при любой связи.

Обратимся в случае полного резонанса к выражению для тока во втором контуре (14) и исследуем его на экстремум, т. е. определим оптимальную связь, обеспечивающую I_{2max max} , как это было сделано при сложном резонансе. С учетом того, что Х₁= Х₂=0, (14) принимает вид

Взяв производную тока I_2max по Х_св

и приравняв ее к нулю, найдем

или

где

Таким образом, в случае полного резонанса также подтверждено, что при оптимальной связи r₁=R_вн, причем При подстановке этого значения в выражение для I_2max получаем Как видно из сравнения последнего выражения с (28), значение самого большого тока во втором контуре при сложном и полном резонансах одинаковое, но в случае сложного резонанса оно до­стигается при большем значении Х_св.опт, т.е. при большей связи между контурами.

Прохождение радиоимпульса через двухконтурную связанную систему

Для анализа возьмем импульс с прямоугольной огибающей. Частота заполнения не модулирована и равна w₀. Амплитуда импульса равна 1в, а Q₀=0.

В качестве двухконтурной избирательной системы рассматривается полосовой усилитель схематически изображенный на рис. 8. Контуры идентичны, резонансные частоты контуров w_р1=w_р2=w_р=w₀. Таким бразом, в данном случае Dw = 0.

Рис. 8.

Передаточная функция такого усилителя

(29)

где

Заменяя iW на Р, получаем

(30)

Обратимся к опредилению сигнала на выходе системы. Сначала рассмотрим явления на фронте импульса. При этом задача сводится к включению гармонической э.д.с. в момент t = 0. Подставив в общее выражение спектральную плотность S_A(p)по формуле и коэффициент передачи К_1(p) по формуле (30), получим

Полюсы подынтегральной функции

Определяя вычеты, получим следующее окончательное выражение для комплексной огибающей выходного сигнала (угол Q₀ принят равным нулю)

(31)

Вчастном случае ‘критической связи’ (kQ = 1) получаем

(32)

Множитель e^ip/2 учитывет сдвиг фазы выходного напряжения на 90⁰ относительно входного сигнала.

График изображен на рис. 9 (участок от t = 0 до t = T).

Рис. 9.

Рассмотрим теперь явления в цепи в конце импульса, начиная с момента t = T, где T – длительность импульса. Ясно, что после прекращения действия внешней силы в системе может существовать только свободное колебание. Структура этого колебания легко может быть выявлена, если прекращение импульса рассматривать как результат включения в момент t = T новой э.д.с., компенсирующей э.д.с. сигнала. Для этой компенсируещей э.д.с. решение имеет такой же вид, как и (31), но отличается только знаком, который должен быть обратным знаку правой части выражения (31), и сдвигом начала отсчета времени из нуля в точку t = T.

Так как к моменту t = T затухающую часть выражения (31) можно считать равной нулю, то комплексная огибающая результирующего сигнала на выходе для t > T должна иметь вид

Построенный по этой формуле график для kQ=1 изображен на рис. 9 (участок t > T).

литература

1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Советское радио, 1971.

2. Комлик В.В. Радиотехника и измерения. Изд-во ‘Вища школа’, Киев, 1978.

3. Мегла Г. Техника дециметровых волн. - М.: Советское радио, 1958.

4. Григорьев А.Д. Электродинамика и техника СВЧ. - М.: Высшая школа, 1990.

5. Гинзтон Э.Л. Измерения на сантиметровых волнах. Изд-во иностранной литературы, Москва 1960.

6. Будурис Ж., Шеневье П. Цепи сверхвысоких частот. - М.: Советское радио, 1979.