Теплопроводность в сплошных средах и двухфазных, продуваемых и непродуваемых телах (слоях).

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Химико-технологический факультет

Материал, подготовленный под общим руководством преподавателя, на тему:

 

Теплопроводность в сплошных средах и двухфазных, продуваемых и непродуваемых телах (слоях).

 

Представлен в виде лекции при освоении курса:

Методы управления массо- и теплообменными процессами.

 

Выполнил:

Нагорный О.В.

 

Проверил:

к.т.н. Саулин Д.В.

Пермь, 2000

Содержание

Основной закон теплопроводности. Физический смысл коэффициента теплопроводности............................................................................................. 3

Особенности процесса теплопроводности в зернистом слое с неподвижной газовой (жидкой) фазой.................................................................................................. 4

Обобщенная модель теплопроводности зернистого слоя с неподвижной газовой (жидкой) фазой.................................................................................................. 5

Модель теплопроводности зернистого слоя, не учитывающая передачу теплоты излучением......................................................................................................... 6

Теплопроводность в зернистом слое в условиях естественной конвекции..... 7

Теплопроводность в зернистом слое с движущейся газовой (жидкой) фазой 9

Методы определения коэффициентов теплопроводности в зернистом слое с движущейся газовой (жидкой) фазой............................................................... 12

Практическая часть. Задачи по теплопроводности......................................... 14

Список использованной литературы................................................................ 20

Основной закон теплопроводности. Физический смысл коэффициента теплопроводности

 

Основным законом передачи тепла теплопроводностью является закон Фурье. Согласно этому закону количество тепла dQ, передаваемое посредством теплопроводности через элемент поверхности dF, перпендикулярный тепловому потоку, за время dt прямопропорционально температурному градиенту ¶t/¶n, поверхности dF и времени dt:

Коэффициент пропорциональности l называется коэффициентом теплопроводности. Согласно закону Фурье:

или при выражении Q в ккал/ч:

Таким образом, коэффициент теплопроводности l показывает, какое количество тепла проходит вследствие теплопроводности в единицу времени через единицу поверхности теплообмена при падении температуры на 1 град на единицу длины нормали к изотермической поверхности.

Коэффициенты теплопроводности l сплошных однородных сред зависят от физико-химических свойств вещества (структура вещества, его природа). Значения теплопроводности для многих веществ табулированы и могут быть легко найдены в справочной литературе.

Особенности процесса теплопроводности в зернистом слое с неподвижной

газовой (жидкой) фазой

Определение коэффициентов теплопроводности двухфазных материалов, которым в частности относятся зернистые слои, не является тривиальной задачей и требует некоторых допущений.

Так, соотношение, определяющее плотность теплового потока в сплошной среде:

справедливо и для зернистого слоя, если рассматривать его как квазигомогенную среду.

При этом должны выполняться следующие два условия:

1.   Размеры зернистого слоя (отношение диаметров трубы и элемента слоя) должны быть достаточно велики для того, чтобы температурное поле (*совокупность значений температур в данный момент времени для всех точек рассматриваемой среды*) в нем можно было рассматривать монотонным.

2.   Температуры двух фаз (твердой и жидкой или газовой) должны быть тождественны, это выполняется, если если результирующий теплопоток между двумя фазами равен нулю (это не исключает локальный межфазовый теплообмен)

Очевидно, то оба этих условия в реальном зернистом слое могут выполняться только приближенно.

В зернистом слое с неподвижной жидкой или газовой фазой величина l_оэ это эффективная характеристика сложного процесса теплопроводности, включающего следующие стадии:

-     теплопроводность твердого материала элементов слоя, которая характеризуется коэффициентом теплопроводности материала l_т;

-     молекулярная теплопроводность газа (жидкости), заполняющей слой - коэффициент теплопроводности l_г;

-     излучение между твердыми поверхностями элементов слоя; определяется оно свойствами этих поверхностей и уровнем температур в слое.

(*Излучением газовой фазы можно пренебречь из-за малых линейных размеров объемов газа*)

Тепловой поток в значительной мере проходит последовательно через отдельные зерна слоя и промежутки газа между ними (теплопроводностью и излучением), причем вблизи точек контакта зерен этот поток особенно интенсивен.

Очевидно, что структура зернистого слоя, его порозность должны оказывать значительное влияние на теплопроводность. Предложено много теоретических и экспериментальных зависимостей, определяющих эффективный коэффициент теплопроводности l_оэ как функцию структуры слоя и теплопроводности обеих фаз зернистого слоя.

Обобщенная модель теплопроводности зернистого слоя

с неподвижной газовой (жидкой) фазой

Одной из наиболее простых и физически обоснованных является модель, предложенная Кунии.

В этой модели рассматривается осесимметричный тепловой поток между плоскостями, проходящими через центры двух соседних шаров. С учетом всех механизмов переноса теплоты в зернистом слое была получена формула.

(III),

в которой:

-коэффициент теплоотдачи излучением от зерна через газ мимо соседних зерен

-коэффициент теплоотдачи излучением между соседними зернами; p - степень черноты поверхности зерен

F - это относительная эффективная толщина газовой прослойки между шарами:

где k=l_т/l_г; q - центральный угол, приходящийся на одну точку контакта (зависит от геометрической укладки шаров).

Таким образом, в формуле (III) первый член учитывает тепловой поток через газовую фазу теплопроводностью и излучением, а второй член - теплопередачу через зерна за счет контактного и лучистого теплообмена между ними.

Сравнение расчетов по формуле (III) с опытными данными разных исследователей проведено во многих работах. В широком диапазоне изменения размеров зерен и порозности слоя для разных газов, жидкостей и материала зерен получено хорошее совпадение результатов.

Модель теплопроводности зернистого слоя, не учитывающая передачу теплоты излучением

При низкой температуре (<300⁰С), когда доля переноса тепла излучением мала, можно пользоваться полуэмпирической формулой:

В этой формуле коэффициенты подобраны в результате сравнения с опытными данными для 163 укладок. При этом разброс опытных данных l_оэ/l_г=1-40 лежит, в основном, в пределах ±30%. Формула (V) получена без учета переноса теплоты излучением.

Необходимо учитывать, что при температуре выше 300^оС доля переноса теплоты излучением в зернистом слое становится заметной. Так, при отношении теплопроводностей фаз l_т/l_г»100 и e»0.4 значение l_оэ/l_г»8-10 (при температуре до 100^оС). С увеличением температуры до 600^оС это значение возрастает вдвое, а при 800^оС-втрое. Естественно, в этом случае формула (V) неприменима

Теплопроводность в зернистом слое в условиях естественной конвекции

При наличии градиента температуры в зернистом слое, заполненном жидкостью или газом достаточно большой плотности, может возникнуть естественная конвекция, приводящая к заметному увеличению эффективного коэффициента теплопроводности.

С возможностью естественной конвекции нужно считаться при процессах горения в шахтных топках и газогенераторах, при каталитических процессах в начальных участках реакторов с большим градиентом темепратуры и концентрации, в доменных печах, в тепловой изоляции в виде зернистой засыпки.

Рассмотрим зернистый слой высотой x, имеющий температуру верхнего торца t₂ и нижнего торца t₁, причем t₁>t₂. При отсутствии конвективных потоков газа в слое установится одномерный тепловой поток q, определяемый коэффициентом теплопроводности l_оэ при линейном распределении температуры по высоте слоя. Примем далее, что в направлении, одинаковом с направлением теплового потока, движется поток газа (жидкости) с массовой скоростью G; распределение температуры по высоте слоя остается неизменным и одинаковым для обеих фаз. Такое допущение оправдано, если основное количество теплоты передается теплопроводностью. Конвективный тепловой поток:

q_к=С_pG(t₁-t₂) (VI)

Конвективная составляющая коэффициента теплопроводности описывается выражением:

l_к=q_к/(t₁-t₂)/x=C_pGx (VII)

а суммарная теплопроводность слоя при наличии конвекции равна:

l_э=l_оэ+l_к (VIII)

В рассматриваемом случае естественная конвекция в слое вызвана различием плотности газа за пределами слоя при t₂ и средней плотности в слое при температуре 0.5(t₁+t₂).

Dr=0.5rb_tDt (IX)

где b_t - коэффициент объемного расширения газа; Dt=t₁-t₂.

Движущая сила газового потока Dp=хDrg уравновешивается в слое, который при вязкостном течении жидкости выражается зависимостью:
Из этой зависимости имеем:

где С=e³/a²K - коэффициент проницаемости слоя, зависящий от его структуры.

После некоторых преобразований получаем:

Здесь:

-  критерий Грасгофа, отнесенный к разнице температур в слое; в качестве определяющего  размера принята высота слоя;

-     критерий Прандтля для газовой среды;

-     критерий Релея для зернистого слоя.

В отличие от аналогичного критерия GrPr, применяемого для описания естественной конвекции в однофазной среде, а Ra входят два симплекса, отражающие тепловые и гидравлические свойства зернистого слоя.

С учетом принятых обозначений:

j=1+0.5Ra (XIII)

В более общем случае, когда естественная конвекция возникает в замкнутом с торцов зернистом слое, коэффициент в формуле (XIII) должен измениться. Кроме того, нарушение устойчивости газовой среды в слое и начало естественной конвекции должно определяться некоторым критическим значением Ra₀, так же, как это имеет место в однофазной среде.

В соответствии с этим формула (XIII) приобретает вид:

j=1+y(Ra-Ra₀) (XIV)

Естественная конвекция в зернистом слое может возникнуть из-за различия концентрации по высоте слоя, вызывающей различие плотностей газа. В этом случае критерий Gr заменяется критерием Архимеда:

Теплопроводность в зернистом слое с движущейся

газовой (жидкой) фазой

Для значительной части технологических процессов в стационарном зернистом слое, протекающих с движением через этот слой газа или жидкости, характерно непостоянство температур в объеме слоя как в пространстве, так и во времени. Поток, проходящий через слой, охлаждается или нагревается через стенки аппарата; при этом в объеме слоя может идти вывделение либо поглощение теплоты - стационарные во времени при проведении реакций, в которых зернистый слой имеет функции катализатора или инертной насадки, и нестационарные в процессах адсорбции, десорбции, сушки и других с участием твердой фазы.

Примем зернистый слой с движущимся через него газовым потоком как квазигомогенную среду, в которой усреднение температур и скоростей газа производится в объемах , больших, чем объем отдельного зерна. В этом случае дифференциальное уравнение энергии для стационарного газового потока без внутренних источников теплоты в цилиндрических координатах запишется так:

где G - массовая скорость газа; l_r и l_l - коэффициенты теплопроводности газа по главным осям системы координат перепндикулярно и вдоль оси движения среды. Таким образом , для зернистого слоя с движущейся газовой (жидкой) фазой, как и для неподвижной среды, коэффициент теплопроводности определяет интенсивность выравнивания температур в некоторой квазигомогенной среде.

От такой трактовки зернистого слоя приходится в некоторых случаях отказываться, например, при движении потока теплоты навстречу потоку газа и при нестационарном нагревании или охлаждении слоя потоком газа (подробнее эти случаи будут рассмотрены ниже).

В соответствии с аналогией тепло- и массопереноса, перенос теплоты в движущейся через зернистый слой среде подчиняется тем же закономерностям, что и транспорт вещества. Однако то обстоятельство, что теплота в зернистом слое в отличие от вещества распространяется как через жидкую, так и через твердую фазу, приводит к существенному нарушению подобия коэффициентов диффузии и теплопроводности в области малых критериев Рейнольдса. Так, при Re_э<20 составляющая переноса теплоты за счет процессов молекулярной теплопроводности обеих фаз на порядок больше, чем конвективная составляющая.

Общая зависимость для коэффициента теплопроводности выражается в виде следующего уравнения:

Величина l₀ представляет собой сумму всех компонентов теплопереноса, не зависящих от u (скорости потока). Существенным составляющим в нее входит теплоперенос при неподвижной среде в слое l_оэ. При возникновении естественной конвекции, этот компонент теплопереноса также необходимо учитывать.

Вводя критерии Рейнольдса и Прандтля, зависимость (XVI) можно преобразовать к безразмерному виду:

l_r/l_г = l₀/l_г + В Re_э Pr (XVII)

где В = В₀ 6 (1-e)/4F.

В таком виде зависимость для теплопроводности в зернистом слое предложена в работах многих исследователей. Величины l₀ и B могут быть определены из эксперимента.

При рассмотрении слоя из теплопроводных зерен необходимо также учитывать дополнительный механизм теплопереноса, связанный с конвективным теплообменом между жидкостью и зернами. Для составляющей теплопередачи через зерна получено выражение, которое можно представить в виде:

где Nu=ad/l_г, а a - коэффициент теплообмена между зернами и газом текущим через слой.

Методы определения коэффициентов теплопроводности в зернистом слое с движущейся газовой (жидкой) фазой

Опубликовано значительное число работ по определению коэффициентом теплопроводности в зернистом слое с принудительной конвекцией газа. Можно выделить несколько типовых методов определения коэффициентов теплопроводности, использованных в этих работах:

I Определение продольного коэффициента теплопроводности l_l при встречном направлении газа и теплоты. Последний создается обогревом верхнего и нижнего торца зернистого слоя источником, не мешающим движению газов, например, пластинчатым электронагревателем или инфракрасной лампой. Стенки аппарата тщательно изолируют, температуру слоя измеряют в нескольких сечениях на оси аппарата и у стенки. В эксперименте осуществлется одномерный поток теплоты и уравнение (XV) принимает вид:

 

Его решение можно представить так: mº-d(lnt)/dx=C_PG/l_l

Величину l_l определяют по графику температуры в слое, построенном в полулогарифмических координатах. Модификация описанного метода-создание спутных потоков теплоты и газа при использовании торцевого холодильника вместо нагревателя.

Эксперимент можно осуществить только в области малых значений Re_э: при больших скоростях газа необходим источник теплоты высокой интенсивности, что может исказить одномерный поток ее. Кроме того, при больших скоростях газа зона теплового влияния источника соизмерима с размером зерна, и принятая квазигомогенная модель слоя нарушается.

II. Определение радиального коэффициента теплопроводности l_r при одномерном потоке по радиусу аппарата. При этом источник теплоты - электронагреватель - расположен в трубке по оси аппарата либо обогревается внешняя стенка аппарата; внутренняя трубка охлаждается водой. Температуру газа на входе поддерживают равной температуре на выходе. В этом случае распределение температуры слоя по радиусу такое же, как для цилиндрической стенки, и коэффициент теплопроводности определяют по формуле:

где Q - общее количество теплоты, передаваемое через слой; L - высота слоя; t₁ и t₂ - температуры слоя на расстояниях от оси r₁ r₂.

III. Совместное определение радиального и продольного коэффициентов теплопроводности в зернистом слое. Определение l_r и l_l проводят по результатам измерения температур в трубе с зернистым слоем, охлаждаемой снаружи, при параллельном и встречном направлении потоков тепла и газа. В торце цилиндрического аппарата помещен электронагреватель, создающий равномерный тепловой поток. Стенки аппарата охлаждаются интесивным потоком воды. В зернистом слое создается двумерное температурное поле. Каждый опыт проводят при двух направлениях потока газа, имеющего одинаковую скорость.

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическая часть. Задачи по теплопроводности.

 

1.    Для определения коэффициента теплопроводности сыра методом пластины (см. рис.1.) через слой продукта, имеющего форму диска диаметром 150 мм, толщиной 12 мм, направляют тепловой поток Q=14.8 ккал/час.

Температура обогреваемой поверхности диска 40^оС, на охлаждаемой 6^оС.

Рассчитать коэффициент теплопроводности сыра. Ответ: l=0.30ккал/м×час×град.

 

Рис.1. Прибор для определения теплопроводности материала методом пластины.

1-сыр; 2-охладитель; 3-электронагреватель.

Решение

Уравнение теплопроводности для установившегося потока через однослойную плоскую стенку:

где r - термическое сопротивление стенки.

Отсюда

2.    Какой максимальной толщины слой льда может образоваться на поверхности пресного водоема, если средняя температура на верхней поверхности льда будет сохранятся -10^оС, ежечасная потеря тепла водой через лед составляет 24.1 ккал/м²×час, а коэффициент теплопроводности льда l=1.935 ккал/м×час×град. Какова будет потеря тепла с 1 м² поверхности льда при толщине его 1.0 м, если температура на верхней поверхности останется прежней? Ответ: d=0.8 м; q=19.3 ккал/м²час.

Решение

Для однослойной плоской стенки:
Так как образование льда будет продолжаться до тех пор, пока на внутренней поверхности льда не установится температура 0^оС, то в рассматриваемом случае:
При одинаковых температурных условиях:
т.к. Dt₁=Dt₂, следовательно,

3.    Для постройки временного жилища у арктической экспедиции имеются в распоряжении фанера сосновая толщиной 5 мм, земля влажная и снег. В какой последовательности следует расположить материалы в конструкции стенки и какие толщины принять для слоя земли и снега если тепловыделения внутри дома соответствует удельному тепловому потоку 50 ккал/м²×час, требуемая температура стенки внутри помещения 20^оС, а средняя расчетная температура наружной поверхности стенки -45^оС. Так как получение земли в арктических условиях затруднительно, то слой земли должен быть минимальным. Определить также, что произойдет если толщина снегового слоя будет взята больше требуемой по расчету.

Для сосновой фанеры принять l=0.092 ккал/м×час×град; для влажной земли l=0.565 ккал/м×час×град; для снега l=0.40 ккал/м×час×град.

Ответ: последовательность расположения материалов: фанера-земля-снег. d_земли=0,195 м; d_снега=0.360 м.

Решение

Для трехслойной стенки уравнение теплопроводности при стационарных условиях имеет вид:

Последовательность слоев, по-видимому, должна быть такова, чтобы снег был как можно дальше от внутренней поверхности стены. Внутренняя поверхность должна быть покрыта фанерой, затем следует земля и снег.

В вышеуказанном уравнении две неизвестные величины - d₂ и d₃. Минимальный слой земли d₂ должен быть таков, чтобы не происходило таяние снега, иначе земля будет увлажняться и размываться, а толщина слоя снега - уменьшаться до величины, менее расчетной, для этого температура (t₃) на границе земли с снегом должна быть выше 0^оС.

Следовательно, минимальная толщина земляного слоя должна удовлетворять уравнению:
Отсюда

Теперь толщину снега можно найти из уравнения:

Откуда:

Дальнейшее увеличение толщины слоя снега по расчету не требуется: в случае превышения расчетной толщины снегового слоя при том же размере тепловыделений внутри помещений, распределение температур в стенке изменится в сторону повышения общей разности температур Dt, причем температура на внутренней поверхности снегового слоя будет стремиться расти, а на наружной понизится по сравнению с исходными температурами. Если при d₃=400 мм наружная стенка имеет t=-45^oC, то при стационарных условиях:

Начинается таяние снега и будет продолжаться до достижения d₃=360мм.

4.    Для определения теплопроводности жидких тел иногда используют метод шарового бикалориметра (рис.2). Основными частями прибора являются: ядро, внешняя шаровая оболочка и термопара. Для получения в экспериментах величин действительной теплопроводности жидкости должны быть соблюдены условия, при которых влиянием конвекции можно пренебречь. Определить при какой температуре сферического слоя фреона 12 теплопередача в нем будет обуславливаться только теплопроводностью жидкости. Температура горячей поверхности t₁=2^oC, температура холодной поверхности t₂=0^оС. Ответ: d<2.9 мм.

Рис.2. Шаровой бикалориметр: 1-трубка термопары; 2-ядро; 3-слой исследуемой жидкости; 4-центрирующие штифты; 5-внешняя шаровая оболочка

Решение

Известно, что влияние конвекции можно не учитывать, если GrPr<1000.

Определяющая температура:

Физические параметры фреона-12 при t=1^оС: n=0.210×10^-6 м²/сек; b=23.8×10^-4 1/град, Pr=3.39.

Так как

то толщина слоя должна быть:

d<2.9×10^-3 м=2.9 мм

5.    Определить эквивалентный коэффициент теплопроводности водяной прослойки толщиной 15 мм. Температура одной поверхности t₁=25^oC, второй t₂=55^oC

Ответ: l_экв=4.51 ккал/м×час×град

Решение

Определяющая температура:

Физические параметры H₂O: l=54.5×10^-2 ккал/м×час×град; n=0.659×10^-6; b=3.87×10^-4 1/град; Pr=4.31.

Подставляя найденные данные в выражение для Грасгофа, получим:

GrPr=8.85×10⁵×4.31=3.81×10⁶

Найдем коэффициент конвекции:

e_к=0.4(GrPr)^0.2=0.4×20.71=8.284.

Эквивалентный коэффициент теплопроводности:

l_экв=l×e_к=54.5×10^-2×8.284=4.51ккал/м×час град×

Список использованной литературы.

 

1.   Миснар А. Теплопроводность твердых тел, жидкостей, газов и их композиций. М.: Мир,1968.464 с.

2.   Аэров М.Э., Тодес О.М., Наринский Д.А. Аппараты со стационарным зернистым слоем. Гидравлические и тепловые основы работы. Л.: Химия, 1979. 176 с.

3.   Касаткин А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. М.: Химия, 1961.

4.   Дытнерский Ю.И. Процессы и аппараты химической технологии (часть I). М.: Химия, 1995. 400 с.

5.   Павлов К.Ф. Романков П.Г. Носков А.А. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии. Л.: Химия, 1987. 576 с.

6.   Данилова Г.Н., Филаткин В.Н., Чарная Р.Г., Щербов М.Г. Сборник задач и расчетов по теплопередаче. М.: Государств. изд. торг. лит-ры, 1961.