Практические задачи по ТОУЭС

1. Рассчитайте параметры сетевого графа

Работа i, j	Продол. tij	Ранние сроки		Поздние сроки		Полный резерв rn	Свободн. резерв rсв
		tiPH	tjPO	tiПH	tjПО
(0, 1)	10	0	10	5	15	5	5
(0, 2)	8	0	8	0	8	0К	0
(0, 3)	3	0	3	6	9	0	0
(1, 5)	3	10	13	15	18	5	5
(2, 4)	4	8	12	9	13	1	1
(2, 6)	6	8	14	8	14	0К	0
(3, 6)	5	3	8	9	14	6	6
(4, 5)	1	12	13	17	18	5	5
(4, 10)	16	12	28	11	27	-1	-1
(5, 7)	5	13	18	18	23	5	5
(6, 8)	4	14	18	14	18	0К	0
(6, 10)	12	14	26	15	27	1	1
(7, 10)	4	18	22	23	27	5	5
(8, 9)	6	18	24	18	24	0К	0
(9, 10)	3	24	27	24	27	0К	0

К – критические операции

Продолжительность критического пути: 8 + 6 + 4 + 6 + 3 = 27

2. Оценить с достоверностью 90% оптимистичный
и пессимистичный срок завершения работ.

Эксперты
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
6	7	6	5	4	4	4	5	6	6	6	4	4	8	10	3	4	4	5	6

Упорядочиваем по возрастанию:

10, 8, 7, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3

Отбрасываем первые два значения и находим Q_опт:

Q_опт = 89 / 18 = 4,94

Упорядочиваем по убыванию и аналогично находим Q_пес:

Q_пес = 100 / 18 = 5,55

Находим Q_ср:

Q_ср = 107 / 20 = 5,35

Отклонение Q_опт от Q_ср – 7,6%; Q_пес от Q_ср – 3,7%. Оба значения в пределах 10%, таким образом достоверность 90% обеспечена.

3. Рассчитать требуемое количество экспертов, при котором влияние
1 эксперта на среднюю оценку составляет не более x = 9%.

Пробная оценка x + 1 экспертов:

6, 7, 6, 5, 4, 4, 4, 5, 6, 6

х = 9% => 0,91 £ E £ 1,09

Q_ср = 53 / 10 = 5,3

b = 10

T =

Таким образом, 9 человек – требуемое количество экспертов для проведения групповой оценки с влиянием одного эксперта не более 9%.

4. Проверить оптимальность указанных планов

f (x) = 3 x¹ + 2 x² – 4 x³ +5 x⁴ –> max

3 x¹ + 2 x² + 2 x³ – 2 x⁴ ³ -1

2 x¹ + 2 x² + 3 x³ – x⁴ ³ -1

x¹ ³ 0 x² ³ 0

x³ ³ 0 x⁴ ³ 0

Координаты вектора x⁽¹⁾ не соответствуют ограничениям, т .к. х² < 0

Остальные векторы подставляем в систему неравенств:

Таким образом, вектор х ⁽⁴⁾ тоже не удовлетворяет условиям. Вычисляем значения f(x):

x⁽²⁾: f (x) = 0 + 4 – 0 + 5 = 9

x⁽³⁾: f (x) = 0 + 0 - 4 + 5 = 1

Функция достигает максимума в x⁽²⁾ (0, 2, 0, 1).

5. Решить графически задачу линейного программирования:

f (x) = 2 x₁ + 4 x₂ –> min

x₁ + 2 x₂ £ 5

3 x₁ + x₂ ³ 5

0 £ x₁ £ 4 0 £ x₂ £ 4

Найдем множество решений неравенств:

х₁ + 2 х₂ £ 5, если х₁ = 0, то х₂ £ 2,5

если х₂ = 0, то х₁ £ 5 точки прямой 1: (0; 2,5) и (5; 0)

3 х₁ + х₂ ³ 5, если х₁ = 0, то х₂ ³ 5

если х₂ = 0, то х₁ ³ 1, 67 точки прямой 2: (0; 5) и (1,67; 0)

Найдем координаты точек A, B, C, D:

A (1,67; 0) и D (4; 0) – из неравенств

B (1; 2) как точка пересечения прямых из системы

С (4; 0,5) – x₁ = 4 из неравенства x₁<4, а x₂ из уравнения 4 + 2 x₂ = 5

Вычислим значение функции в этих точках:

A: f (x) = 2 * 1,67 + 4 * 0 = 3,33

B: f (x) = 2 * 1 + 4 * 2 = 10

C: f (x) = 2 * 4 + 4 * 0,5 = 10

D: f (x) =2 * 4 + 4 * 0 = 8

Функция принимает минимальное значение в точке A (1,67; 0).

6. Решить задачу

Механический завод при изготовлении 3-х разных деталей использует токарный, фрезерный и строгальный станки. при этом обработку каждой детали можно вести 2-мя разными способами. В таблице указаны ресурсы времени каждой группы станков, нормы времени при обработке детали на соответствующем станке по данному технологическому способу и прибыль от выпуска единицы детали каждого вида.

Норма времени, станко/час							Ресурсы времени
Станок	I деталь		II деталь		III деталь
	1	2	1	2	1	2
Токарный	0,4	0,9	0,5	0,5	0,7	–	250
Фрезерный	0,5	–	0,6	0,2	0,3	1,4	450
Строгальный	0,3	0,5	0,4	1,5	–	1,0	600
Прибыль	12		18		30

Определить производственную программу, обеспечивающую максимальную прибыль.

Решение:

Пусть x1, x2, x3 – загрузка станков.

Таким образом 0 £ x1 £ 250;

0 £ x2 £ 450;

0 £ x3 £ 600.

При первом способе технологической обработки получаем:

0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,7 x3 £ 250

0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,3 x3 £ 450

0,3 x1 + 0,4 x2 £ 600

0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,3 x3 ³ 12

0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,4 x3 ³ 18

0,7 x1 + 0,3 x2 ³ 30

Необходимо найти решение, при котором f (x) = 12 x1 + 18 x2 + 30 x3 –> max

Каноническая форма записи:

x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x_i > 0, i = 4, 5,…12

x1 + x4 = 250; x2 + x5 = 450; x3 + x6 = 600

0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,7 x3 + x7 = 250

0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,3 x3 + x8 = 450

0,3 x1 + 0,4 x2 + x9 = 600

0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,3 x3 – x10 = 12

0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,4 x3 – x11 = 18

0,7 x1 + 0,3 x2 + x12 = 30

f (x) = 12 x1 + 18 x2 + 30 x3 –> max

Стандартная форма записи:

x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0

x1 £ 250, x2 £ 450, x3 £ 600

-0,4 x1 - 0,5 x2 - 0,7 x3 ³ -250

-0,5 x1 - 0,6 x2 - 0,3 x3 ³ -450

-0,3 x1 - 0,4 x2 ³ -600

-0,4 x1 - 0,5 x2 - 0,3 x3 £ -12

-0,5 x1 - 0,6 x2 - 0,4 x3 £ -18

-0,7 x1 - 0,3 x2 £ -30

f (x) = -12 x1 - 18 x2 - 30 x3 –> min

Находим, что: x1 = 0,25 x2 = 0,8 x3 = 277

Значение функции: f (x) = 12 * 0,25 + 18 * 0,8 + 30 * 277 = 10082