Экономическая кибернетика

Эк. Кибернетика.

Игра – матем. Модель конфликтной ситуации.

Стратегия игрока – это правила выбора действий в сложившейся ситуации.

Решение игры – это нахождение оптимальной стратегии для каждого игрока, т.е. нахождение цены игры.

Оптимальная стратегия игрока – это стратегия, которая в среднем (настрив. на длительную игру) дает игроку возможный наибольший выигрыш.

Неонтогонистическая – если выигрыш одной из сторон склад. из проигрыша др. стороны, иначе антогонистическая – выигрыш одного равен проигрышу др.

Матричные игры.

- самые простые игры. Играют 2 чел. У каж конечное число стратегий. Список стратегий известен каж играющему, т.е. игра с полной инф. Игра одноходовая.

Величина выигрыша известна заранее, опис. В числовых единицах. Оба дейст. Сознательны, никто не поддается. Игра яв-ся антогонистической. Правила определяют победителя.

Игры с седловой точкой обладают св-м устойчивости – если один игрок примен оптим стратегию, то др. игроку не выгодно отклон-ся от своей оптим стратегии.

Первонач сведен по т. вероятности.

Случайные событие – это событие, которое может произойти или не произойти в данной ситуации.

Вероятность – это количественная характеристика, мера появ-я событий.

P(А)=(число благопр. событий)/(общее число событий).

М(х)=å_i х_ip_i– матем. ожидание.

D(x)=å_i х²_ip_i – (M(x))² – дисперсия.

s(x)=ÖD(x) – средне квадратичное отклонение – показывает степень разбросанности значений случайной величины относительно матем. ожидания.

Правило 3 сигм (s):

PíM(x)-3s(x)<x<M(x)+3s(x)ý= 0,997

÷Вероятность того, что сличайная величина х попадает в интервал с концами матем. ожидания -3s(х) и +3s(х) равняется 0,997.

Многоуголь. распределение – ломанная линия соед-я последовательно точки с коор-ми (х_i;p_i).

Смешанные стратегии.

- распределение вероятностей на множестве его чистых стратегий, обобщение обычной стратегии.

Чистая стратегия – это стратегия, которая применяется с вероятностью 1.

Теорема Неймана: Любая матричная игра имеет оптимальное решение возможно среди смешанных стратегий.

Стратегия А_i активная первого игрока – если вероятность исполь-я в оптим стратегии больше нуля (А_i-акт, если р^*_i>0); S^*_A- оптим стратегия.

Стратегия В_j активная второго игрока – если вероятность исполь-я ее в опти стратегии больше нуля (B_i-акт, если q^*_i>0); S^*_B - оптим стратегия.

Неактивная стратегия – вероятность применения, которой в оптим стратегии равна нулю.

Теорема устойчивости: Если один игрок применяет свою оптим стратегию, то 2 игроку не выгодно выходить за рамки своих активных стратегий.

Теорема: В матр. игре количество активных стратегий у каж игрока одинаковое.

Применение решений в усл. неопределенности.

Рассмотрим игру человек и природа. Человек – лицо принимающее решение. Природа – экон-я среда в состоянии рынка.

Отличия от матричной игры: Активные решения принимает только чел, он хочет найти наиболее оптим решение. У природы стихийное поведение и она не стремится к выигрышу. Считается, что чел знает список сост природы, но не знает какое из них будет фактическим. В игре с природой чел труднее сделать свой выбор, поэтому сущ несколько подходов нахождения оптимального решения.

Подход определяется склонностью чел к риску.

Риск – это может быть упущенная выгода или необход понести дополнит произв-е затраты.

Элементы матрицы – это ожидание резуль. Деятельности в завис от сост природы.

1) Подход махмах “оптимистический”: В каж точке мы находим макс элемент и после этого находим макс из полученных чисел. g_i=max_j a_ijÞg=max_ig_i=g_i0Þ выб А_i0.

Выбираем макс значение. Чел ориентир на самый лучший возмож результат, не обращ внимание на возмож неудачи.

2) Критерий Вальда – критерий пессимизма: Находим в каж строчке миним элемент и выбираем ту стратегию, которая дает макс гарантируемый доход.

a_i=min_j a_ijÞa=max_i a_i=a_i Þ выб А_i0.

3)Критерий Гурвица (l) – ур пессимизма: Человек выбирает 0£l£1. Находим число a_i=la_i+(1-l)g_i Þa_maxia_i=a_i0 Þвыб А_i0. Если l=1 – кр Вальда (пессимизма), если l=0 – кр оптимизма. Конкретная величина l опред-ся эк-ой ситуацией.

4) Критерий Сэвиджа – кр минимального риска: Состав март риска по формуле r_ij=b_j-а_ij. b_ij=max a_ij Þ r_ij=b_j-a_ij.

R=(r_ij) –матр риска; r_i=max_j r_ijÞ min_i r_i=r_i0 Þ выб А_i0.

Если бы мы знали, то мы бы выбрали наиболее эф-е решение. Для самого эф-го решения: r_ij=0 (если П_j) Þ А_i. Риск = величине упущенной возможности.

У каж критерия есть свои особенности применения. Если мы оценив ситуацию по разным критериям, то мы можем принять более обоснован решение. Трудность обоснования яв-ся, что природа не стремится к выигрышу.

Принятие решения в усл риска.

Рассотрим вариант игры чел и природы в случаи, когда нам известно сост природы. Природа к выигрышу не стремится. Находим стратегию, которая приносит макс средний доход. Средний доход расчитывается по правилу теории вероятности.

Величина среднего дохода равна матем ожиданию при этой стратегии.

1) М(A_i)=ⁿå_j=1a_ijp_j Находим макс max_i M(A_i)

2) Правило минималь среднего риска. R=(A_i)=ⁿå_j=1r_ijp_j. Находим наимень min_i R(A_i).

Лемма: Указ выше 2 критерия в результате всегда приводят к выбору одной и той же оптим стратегии.

Док-во: Найдем миним сред риска min_i R(A_i)= min_iå_jr_ijp_j= min_i(å_j(b_j-а_ij)p_j)= min_i(å_jb_j p_j-å_jа_ijp_j)={å_jb_j p_j – не зависит от переменной i, значит это const С}= min_i(С-å_jа_ijp_j)Þ минимум разности соот-ет максимуму вычитаемого.

max_i å_jа_ijp_j=M(A_i).

Номера стратегий, на которых достиг миним среднего риска, равны номерам стратегий обеспеч наиболь средний выигрыш.

Бейссовский подход нахождения оптимального решения.

Бейсовский подход: Если первонач распредел вероятности мы получ доход `Q<sup>`</sup>. Если мы можем провести эксперемент дающий новое распред вероятности в завис от первонач `Q<sup>`</sup>и нового `Q’ , мы делаем свой выбор стратегии. p'Þ`Q’^`.

Некоторые св-ва матричной игры.

Замеч№1 О масштабе игр: Пусть даны 2 игры одинаковой размерности с платежной матрицей р⁽¹⁾ и р⁽²⁾. При чем при любых i и j выпол (а⁽²⁾_ij=aa⁽¹⁾_ij+b), некоторые числа a и b. Тогда: 1) опт стратегии 1 игрока в 1 и 2 игре одинаковые. Опт стратегии 2 игрока одинаковы в обеих играх.

2) Цена второй игры V₂=aV₁+b.

Для некот методов решений все элементы матр должны быть не отрицательными.

Заме№2 О доминировании стратегий: Этот прием применяется для умень размерности игры.

А: А_i доминирует над А_к (А_i>А_к), если для любого j выпол нерав-во а_ij>a_kj и хотя бы одно из этих нерав-в строгое.

А_к – заведомо невыгодна; сред размер выигрыша меньше; р^*_к=0, стратегия пассивная.

В: В_j доминирует над В_t (В_j>В_t), если для любого i выпол нерав-во а_ij>a_it и хотя бы одно из этих нерав-в строгое.

B_t – невыгодна Þ q^*_t=0 – актив стратегия.

Доминир стратегии вычеркиваются и получ матр меньшей размерностью.

Замеч№3 Сравнение операций по методу Парето: Допустим есть операции Q₁, Q₂,… Q_n. Для каж опер-и расчит 2 параметра: 1) E(Q) – эффективность (доход);

2) r(Q) – степень риска (s-сред квадратич отклон).

Самая лучшая операция – это опер с наилуч эф-ю и с наимень риском. F(Q)=kE(Q)-r(Q), где k - это склонность к риску (не мат проблема). Находим макс из этих критериев max_i F(Q_i). Операция Q_i>Q_, если эф-ть не менее E(Q_i)³E(Q_j), а риск опер r(Q_i)£r(Q_j) и хотя бы одно из нерав-в строгое.

Доминир страт отбрас, как заведомо невыгодные.

Множ Парето – это все недоминир-е операции. Наиболее эф-е среди них.

Понятие о позиционных игр.

У каж игрока своя платежная матрица. Выигрыш одного не означ проигр др. Таким способом можно высчитывать взаимные интересы игроков, а также возможность образования коалиции. Можно расчит динамические игры учитывая фактор времени и т.д.

Позиционные игры –возникает в случаи, когда надо принимать последо-но несколько решений, при чем выбор решения опираются на предыдущ-е решения.

Рассотрим простейш случ позиц-й игры с природой. Решение изобр в виде дерева решений.

Дерево решений – граф-е изобр-е всех возможных альтернатив игрока и сост природы с указ вероятности соответ-х состояний и размеров выигрыша в каж ситуации.

Альтернатива игрока изобр квадратом – список возможных стратегий в соот-й ситуации. Сост-е природы кружочком, чел на них влиять не может. Делается оценка каж вершины и наход макс оценка ситуаций соот-х каж ветви дерева решений.

EMV – денежное решение; EMV=å_i(отдача в i-ом сост-и)p_i

max_{вершина} (EMV)=?