СОДЕРЖАНИЕ
Задание.
Расчетно-пояснительная записка.
Аннотация.
Ведение.
Теория.
Алгоритмы.
Программы.
Инструкция пользователя.
Результаты экспериментов.
Заключение.
ЗАДАНИЕ
Выписать систему конечно-разностных уравнений.
Оценить вычислительные затраты, требуемые для выполнения аналитических решений с шестью десятичными цифрами в 100 и 1000 точках интервала. Определить и использовать разложение в ряд Тейлора для этих вычислений.
Оценить до проведения любых вычислений те вычислительные затраты, которые потребуются для решения конечно-разностных уравнений в 100 и 1000 точках при помощи:
Исключения Гаусса,
Итерационного метода Якоби,
Итерационного метода Гаусса-Зейделя.
Вычислить решения конечно-разностных уравнений при помощи каждого из трех методов из задания C.
Оценить применимость различных методов приближен-ного решения краевых задач для дифференциальных уравнений.
АННОТАЦИЯ
В данной работе по исследованию прямых и итерационных методов решения линейных систем, возникающих в краевых задачах для дифференциальных уравнений было составлено шесть программ непосредственно по алгоритмам Гаусса, Якоби, Гаусса-Зейделя. Каждый из методов был представлен в виде самостоятельной программы, которая имеет инструкцию для пользователя. Каждая программа работает по определенному управлению, причем программа Гаусса формирует матрицу сама, а в программах Якоби и Гаусса-Зейделя вводится только количество точек на интервал, исходя из чего формируется столбец неизвестных членов. Начальные значения неизвестных задаются автоматически на основе результатов, полученных в ходе исследования были сделаны соответствующие выводы.
ВВЕДЕНИЕ
Персональные компьютеры являются одним из самых мощных факторов развития человечества. Благодаря универсальности, высокому быстродействию, неутомимостью в работе, простоте в управлении PC нашли широкое применение в различных сферах деятельности человека.
С развитием научно-технического прогресса все большая часть задач требует решения на ЭВМ, поэтому наш курсовой проект направили на развитие не только определенных навыков логического мышления, но и способность развивать и закреплять эти навыки.
ТЕОРИЯ
Дискретизация обыкновенных дифференциальных уравнений конечными разностями приводит к линейным уравнениям; если рассматривается краевая задача, то уравнения образуют совместную линейную систему.
Прямым
методом решения
линейной системы 
называется
любой метод,
который позволяет
получить решение
с помощью конечного
числа элементарных
арифметических
операций:
сложения,
вычитания,
деления и т.д.
Этот метод
основан на
сведении матрицы,
системы A
к матрице простой
структуры -
диагональной
(и тогда решение
очевидно ) и
треугольной
- разработка
эффективных
методов решения
таких систем.
Например,
если
А является
верхней треугольной
матрицей:
;
решение
отыскивается
с помощью
последовательных
обратных подстановок.
Сначала
из последнего
уравнения
вычисляется 
,
затем
полученные
значения
подставляются
в предыдущие
уравнения и
вычисляется 
и
т.д.
; 
;
или в общем виде:
,
i=n,
n-1, ..., 1.
Стоимость
такого решения
составляет 
сложений
умножений(а
также и делении,
которыми
можно пренебречь).
Сведение
матриц А к одному
из двух указанных
выше видов
осуществляется
с помощью ее
умножения на
специально
подобранную
матрицу М,
так что система
преобразуется
в новую систему 
.
Во многих случаях матрицу М подбирают таким образом, чтобы матрица МА стала верхней треугольной.
Прямые
методы решения
СЛУ нельзя
применять при
очень больших,
из-за нарастающих
ошибок, округлениях,
связанных с
выполнением
большого числа
арифметических
операций. Устранить
эти трудности
помогают итерационные
методы. С их
помощью можно
получить, начиная
с вектора 
,
бесконечную
последовательность 
векторов,
сходящихся
к решению системы(
m-
номер итерации
)
.
Метод
является сходящимся,
если это состояние
справедливо
для произвольного
начального
вектора .
Во всех методах, которые рассмотрены ниже, матрица А представляется в виде А=М-N ( ниже показано, как это наполняется ) и последовательно решаются системы
.
Формально решением системы является:
где
- 
обратная
матрица. Решение
итерационным
методом упрощается
еще и потому,
что на каждом
шагу надо решать
систему с одними
и теми же матрицами.
Очевидно, что
матрица М должна
быть легко
обращаемой,
а для получения
желаемой точности
надо выполнить
определенное
число итераций.
Критерием окончания итерационного процесса является соблюдение соотношения:
или
,
где 
-
вектор невязок
уравнений 
,
и
и
- допустимая
погрешность
СЛУ по неувязке
или приращению
вектора неизвестных
на итерации.
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Многие физические системы моделируются дифферинци-альными уравнениями, например :
которые
не могут быть
решены аналитически.
Приближение
этих уравнений
конечными
разностями
основано на
дискредитации
интервала [0,1]
как показано
на рис.1 и замене
производной.
простой разностью, например :
где, 0,2=1/5=X4-X3.
Тогда аппроксимирующее разностное уравнение имеет вид:
В каждой точке дискретизации справедливо одно такое уравнение, которое приводит к линейной системе для приближенных значений решения дифференциального уравнения.
Уравнения такого вида можно решить с помощью разложения в ряд Тейлора. В нашем случае уравнения решенные разложением в ряд Тейлора имеют вид;
Найти
y’(0);
y’’(0)=1; y’’’(0)=1;
обозначим у’(0) как С.
Решение:
Решение:
Система конечно-разностных уравнений
интервал [0,2] разделим на 10 точек
-2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 
0.04
1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 
0.04
0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 
0.04
0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 
0.04
0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 
0.04
0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 
0.04
0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 
0.04
0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 
0.04
0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 
0.04
0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2
-2+0.04
5 точек.
|
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 |
| 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
| 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 |
| 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
|
| 0 |
АЛГОРИТМ ГАУССА
Назначение:
Решить относительно
Х.
Входные
параметры:
masheps 
R,
n
Z,
Вектор
правых частей 
.
Входно
- выходные параметры 
,
после
разложения
в А сохраняются
ее верхние
треугольные
сомножители
,
.
Код возврата retcode=0 при успешном решении и retcode=1 при вырождении матрицы.
Выходные
параметры: 
.
Алгоритм
retcode=0
if n=1 then
if A[1,1]=0 then retcode=1
return
(*Гауссово исключение с частичным выбором ведущего элемента*)
for k=1 to n do (*найти ведущий элемент*)
Amax
Похожие работы
... 7 70,1 42,3≈50 70,1 50 13,5 185 8 68,7 40,4≈50 68,7 50 13,5 185 9 50 29,4≈50 50 50 13,5 185 10 240 140≈150 240 150 13,5 185 В системе электроснабжения завода применяются всего три вида сечений КЛ, поэтому требуется производить унификацию. Таким образом для прокладки внутризаводской сети используем кабели следующих сечений: ВВГ 3*50,ВВГ 3*300, ...
... Таблица 9 Коэффициент системных перегрузок ТП Трансформаторная подстанция ТП №1 0,76 ТП №2 (ст. малая Донская) 1,15 ТП №3 (ст. Донская) 0,84 Выбор типа подстанции Для электроснабжения сельских потребителей на напряжении 0,38/0,22 кВ непосредственно возле центров потребления электроэнергии сооружают трансформаторные пункты или комплектные трансформаторные ...
... сигналами времени. Ядро предлагает интерфейс для программирования приложения с целью получения функций в виде отдельных программ. 1.2 Разработка автоматизированной системы управления электроснабжением КС «Ухтинская» 1.2.1 Цель создания АСУ-ЭС Целью разработки является создание интегрированной АСУ ТП, объединяющей в единое целое АСУ электрической и теплотехнической частей электростанции, ...
... эксплуатационным затратам, которые ложатся тяжёлым бременем на плечи сельскохозяйсвенного предприятия, что также снижает как эффективность производства и его рентабельность. 1.2 Техническое задание на проектирование электроснабжения колхоза «Прогресс» Клинцовского района Исходные данные для проектирования электроснабжения: 1. Генеральный план молочно-товарной фермы с нанесенной на него ...
0 комментариев