Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Электрон в слое

9890
знаков
9
таблиц
2
изображения

Министерство Образования, Молодежи и Спорта

Республики Молдова

 

Государственный университет Молдовы


Физический

факультет

Кафедра

теоретической

физики


Курсовая Работа


Тема: Электрон в слое.


Руководитель работы:

Климин С.Н.

Работу выполнил

студент 3-го курса:

Радченко Андрей


Кишинёв 1997 г.
Микрочастица (электрон) в слое.

Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.

Она состоит в следующем :

Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :

 

ì -ћ2/(2m)׶2/¶x2 + U0 , x < -a

 Ù ï

 H = í -ћ2/(2m0)׶2/¶x2 , -a < x < a

ï

î -ћ2/(2m)׶2/¶x2 + U0 , x > a

Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;

m0 - эффективная масса электрона в области II.

Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :

ì ¶2YI/¶x2 + 2m/ћ2×(E - U0)YI = 0 , x £ -a

ï

  í ¶2YII/¶x2 + 2m02×E×YI = 0 , -a £ x £ a

ï

  î ¶2YIII/¶x2 + 2m/ћ2×(E - U0)×YI = 0 , x ³ a

 

 

Область I :

Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :

YI(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).

Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,

YI(x) = A×exp(n×x).

Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :

YII(x) = C×exp(i×k×x) + D×exp(-i×k×x).

Функция состояния для третьей области выглядит так :

YIII(x) = F×exp(-n×x).

Где

k = (2m0×E/ћ2)1/2

n = (2m×(U0-E)/ћ2)1/2.

Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :

¨   ¨   Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.

¨   ¨   В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.

¨   ¨   Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.

Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :

YI(x=-a) = YII(x=-a)

YII(x=a) = YIII(x=a)

YI¢(x=-a)/m = YII¢(x=-a)/m0

YII¢(x=a)/m0 = YIII¢(x=a)/m

А в наших определениях этих функций это выглядит так :

A×exp(-n×a) = C×exp(-i×k×a) + D×exp(i×k×a)

m-1×A× n×exp(-n×a) = i×k×/m0×(C×exp(-i×k×a) - D×exp(i×k×a))

C×exp(i×k×a) + D×exp(-i×k×a) = F×exp(-n×a)

i×k×/m0×(C×exp(i×k×a) - D×exp(-i×k×a)) = - n/m×F×exp(-n×a).


Теперь составим определитель :

|exp(-n×a) -exp(-i×k×a) -exp(i×k×a) 0 |

|m-1×n×exp(-n×a) -1/m0×i×k×exp(-i×k×a) 1/m0×i×k×exp(i×k×a) 0 |

|0 exp(i×k×a) exp(-i×k×a) -exp(-n×a) |

|0 1/m0×i×k×exp(i×k×a) -1/m0×i×k×exp(-i×k×a) 1/m×n×exp(-n×a)|

Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:

((n/m)2 - (k/m0)2)×Sin(2×k×a) + 2×k×n/(m×m0)×Cos(2×k×a) = 0.

Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.

Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.

C = F×exp(-n×a)×{exp(i×k×a) + exp(-3×i×k×a) ×( i×k/m0 - n/m)/(n/m + i×k/m0)}

D = C×exp(-2×i×k×a)×( i×k/m0 - n/m)/(n/m + i×k/m0)

A = exp(n×a)×(C×exp(-i×k×a) + D×exp(i×k×a)) .

Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :

A = RA×F

C = RC×F

D = RD×F.

RA, RC, RD - известные постоянные.

Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.

Действительно :

YI(x) = F×RA×exp(n×x)

YII(x) = F×( RC×exp(i×k×x) + RD×exp(-i×k×x)).

YIII(x) = F×exp(-n×x).

I1 + I2 + I3 = 1


Где

I1 = |F|2×|RA|2×òQexp(2×n×x)×dx = |F|2×|RA|2×(2×n)-1×exp(2×n×x) =

= |F|2×|RA|2×(2×n)-1×exp(-2×n×a)

I2 = |F|2×{ òL|RC|2×dx + òL|RD|2×dx + RC×RD*×òLexp(2×i×k×x)×dx +

+ RC*×RD×òLexp(-2×i×k×x)×dx } = |F|2×{ 2×a×(|RC|2 + |RD|2) +

((exp(2×i×k×a) - exp(-2×i×k×a))×RC×RD*/(2×i×k) +

+ i×((exp(-2×i×k×a) - exp(2×i×k×a))×RC*×RD/(2×k) }

I3 = |F|2×òWexp(-2×n×x)×dx = |F|2×(2×n)-1×exp(-2×n×a)

|F|2 = { |RA|2×(2×n)-1×exp(-2×n×a) + 2×a×(|RC|2 + |RD|2) +

((exp(2×i×k×a) - exp(-2×i×k×a))×RC×RD*/(2×i×k) +

+ i×((exp(-2×i×k×a) - exp(2×i×k×a))×RC*×RD/(2×k) + (2×n)-1×exp(-2×n×a) }-1.

Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.

Электрон в слоях

 

Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.

То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.

Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:

U(x)=U(x+2a) (1)

Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.

Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:

2Y/¶x2 + 2m/ћ2×(E - U0)Y = 0

следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.

Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:

r = exp(i 2ak)

Тогда Y(x+2ma) = Y(x)×rm , где m=0, ±1, ±2,... (2)

Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U0) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.

 

Рассмотрим область I:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

2YI/¶x2 + 2m22×(E - U0)YI = 0 , 0 > x > -a

его решение выглядит просто:

YI(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).

Где n = (2m2 (U0-E) /ћ2)1/2

 

Рассмотрим область II:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

2YII/¶x2 + 2m12×E YII = 0 , a ³ x ³ 0

его решение выглядит просто:

YII(x) = C×exp(i×p×x) + D×exp(-i×p×x).

Где p = (2m1E/ћ2)1/2

Рассмотрим область III:

2YIII/¶x2 + 2m22×(E - U0)YIII = 0 , 2a > x > a

его решение выглядит просто:

YIII(x) = r (A×exp(n×x) + B×exp(-n×x)).

Запишем граничные условия:

YI(x=0) = YII(x=0)

YII(x=a) = YIII(x=a)

YI¢(x=0)/m = YII¢(x=0)/m0

YII¢(x=a)/m0 = YIII¢(x=a)/m

Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:

A+B=C+D

C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))

(A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1

(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a))

Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :

|1 1 -1 -1 |

|exp(i×k×2a+n×a) exp(i×k×2a-n×a) -exp(i×p×a) -exp(-i×p×a) |

|n/m2 -n/m2 -i×p/m1 i×p/m1 |

|n/m2exp(i×k×2a+n×a) -n/m2×exp(i×k×2a-n×a) - i×p/m1×exp(i×p×a) i×p/m1×exp(-i×p×a) |

и приравняем его к нулю.

Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.

Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.

a=10; U=10; m1=4; m2=1

0.1135703312666857 0.6186359585387896 0.2019199605676639
0.3155348518478819 0.05047267055441365 1.263391478912778
0.4544326758658974 2.137353840637548 0.808172718170137
2.479933076698526 0.4544326758658974 6.168062551132728
5.611693924351967 1.820461802850339 1.529165865668653
1.023077302091622

a=10 U=10 m1=2 m2=1

0.1032788024178655 0.2324238959628721 0.41331603936642
0.6460490460448886 0.930750939555283 1.26759057783714
1.656787195799296 2.098624192369327
2.593469359607937 3.141805331837109
3.744277072860902 5.887485640841992

a=10 U=10 m1=1 m2=1

0.05408120469105441 0.2163802958297131 0.4870681554965061
0.86644533469418 1.354969224117534 1.953300729714778
2.662383817919513 4.418966218448088 7.961581805911094

a=10 U=10 m1=0.5 m2=1

0.118992095909544 4.249561710930034 1.068004282376146
0.4754473139332004 5.78216724725356 2.955345679469631
1.895012565781256

a=10 U=10 m1=.25 m2=1

0.2898665804439349 4.30026851446248
2.479039415645616 1.132264393019809

Информация о работе «Электрон в слое»
Раздел: Физика
Количество знаков с пробелами: 9890
Количество таблиц: 9
Количество изображений: 2

Похожие работы

Скачать
33382
1
0

... (1.6.3), (1.6.5) могут быть решены относительно неизвестных lp0, и ln0, после чего из (1.6.4) определяется максимальное поле p-n-перехода. 1.7. Расчет параметров ступенчатого p-n-перехода. Наиболее просто определяется параметры ступенчатого p-n-перехода, так как в этом случае функция N(x) имеет вид: (1.7.1) а значение граничных условий концентрации ...

Скачать
110622
4
60

... пропорциональности V называется коэффициентом Верде [9, с. 373]. Постоянная Верде зависит от свойств вещества, температуры и частоты света [1, с.78]. 2.3 Метод лоренцевой электронной микроскопии При исследовании доменной структуры тонких ферромагнитных пленок, как и в случае массивных ферромагнетиков, могут быть использованы методы порошковых фигур и магнитооптический эффект Керра. Для ...

Скачать
47595
1
0

... последнем месте. Необходимо всем людям одуматься и бережно относиться к нашей природе. Ведь 95% всех лесных пожаров возникают по их вине. VII. Применение кислорода. Применение любых веществ связано с их физическими и химическими свойствами, а также распространением их в природе. Количество металла, производимого на душу населения, является одной из мер уровня развития промышленности в каждой ...

Скачать
88744
21
18

... . Высказывается также предположение, что мезосомы не принимают активного участия в процессах клеточного метаболизма, но выполняют структурную функцию, обеспечивая компартментализацию прокариотной клетки, т. е. пространственное разграничение внутриклеточного содержимого на относительно обособленные отсеки, что создает более благоприятные условия для протекания определенных последовательностей ...

0 комментариев


Наверх