Исследование законов предельной производительности

 

 

 

I.        Введение.

II.      Теоретическая часть по теме предельная производительность.

III.     Используемая литература.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рассматривается как "черный ящик", на вход которого поступают ресурсы R₁, ..., R_n, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Х₁, ...Х_м.

В качестве ресурсов (факторов производства) на макро уровне наиболее часто рассматривается накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата - валовой выпуск и обозначать Х, хотя это может быть и валовой выпуск, и ВВП, и национальный доход.

Выбор того или иного состава К определяется целью исследования, а также характером развития производственной и непроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот период в непроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизводственная сфера оказывает на производство примерно одинаковое влияние, это служит основанием напрямую учитывать в ПФ только производственные фонды.

Производственные фонды состоят из основных и оборотных производственных фондов. Если соотношение между этими составными частями производственных фондов примерно постоянно в течение всего изучаемого периода, то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основные производственные фонды. Далее К будем называть фондами.

Таким образом, экономика замещается своей моделью в форме нелинейной ПФ

X=F(K, L),

т.е. выпуск (продукция) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда).

Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаб и эффективность производства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримой стоимостной форме. Однако проблема соизмерения настоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безразмерным) показателям.

В относительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом:

X K ^a1 L ^a2

X₀ K₀ L₀

(1)

Где Х₀, К₀, L₀ - значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год.

Безразмерная форма (1) легко приводится к первоначальному виду

Х₀

Х= K^a1 L^a2 = AK^a1L^a2

К₀^a1 L₀^a2

Х₀

Таким образом, коэффициент А = получает естественную

 К₀^a1 L₀^a2

интерпретацию - это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском.

Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных (безразмерных) единицах измерения через X, K, L, то ПФ в форме (1)записывается так:

X=K^a1 L^a2 (2)

Найдем теперь эффективность экономики, представленной ПФ (2) .Напомним, что эффективность - это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов К и настоящего труда L. Поэтому имеются два частных показателя эффективности:

Х Х

- фондоотдача, - производительность труда.

К L

Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Так как ПФ выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометрическое значение.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПО ТЕМЕ "ПРЕДЕЛЬНАЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ"

Хотя предмет микроэкономической теории производства иной - проблемы производственной деятельности предприятий, ход рассуждений здесь очень близок к теории потребления. Функциям полезности и кривым безразличия, описывающим потребление, соответствуют и изокванты, описывающие производство. Более того, свойства этих функций и формы кривых одинаковы. Следовательно, в программах построения графиков кривых безразличия и приближенных вычисления по методу численного дифференцирования, составленных для исследования потребления, достаточно поменять лишь заголовки, названия переменных и определения функций, чтобы применить весь арсенал уже имеющихся у нас средств для анализа производства.

Начнем с того, что определим производственную деятельность как процесс, в ходе которого предприятия затрачивают различные ресурсы - вещественные блага и услуги (факторы производства), например труд и капитальное оборудование, и в результате выпускают разнообразную, ориентированную на рынок продукцию (продукты производства). Отправной точкой микроэкономической теории производства является идея о том, что технологически эффективная производственная деятельность предприятия, в ходе которой для выпуска, например, одного вида продукции Y затрачивается два вида ресурсов Х₁, Х₂, может быть описана с помощью производственной функции Y=F(X₁, X₂). Если для фиксированного выпуска Y изобразить на плоскости (Х₁, Х₂) все возможные сочетания необходимых ресурсов (Х₁, Х₂), мы получим кривую, называемую изоквантой. Так же как и для функций полезности и кривых безразличия, можно выделить, по крайней мере, четыре типа производственных функций и изоквант.

1.   Функции с полным взаимозамещением ресурсов, например,

Y=a₁X₁+a₂X₂

 

2.   Неоклассическая производственная функция, например,

Y=X₁^a1X₂^a2, a₁+a₂<=1

3.   Функции с полным взаимодополнением ресурсов, например,

 

 

4.   Функции смешанного типа, например,

Y=y₁+y₂ : X_i=>a_iy₁+b_iy₂, i=1,2.

Не трудно заметить, что формы этих функций полностью совпадают с формами функций полезности. Если говорить о неоклассической производственной функции, то понятию предельной полезности из теории потребления и теории производства соответствует понятие предельной производительности (dY/dX_i), которое является здесь одним из ключевых. Законы же убывающей предельной полезности и убывающей предельной нормы замещения, потребительских благ в теории производства сформулировонны как закон убывающей предельной нормы взаимного замещения ресурсов. Первый из них гласит, что при росте затрат одного из ресурсов (первого или второго) его предельная производительность, dY/dX₁ или dY/dX₂ , падает. Если представить этот факт в виде формулы, то мы получим:

d²Y/dX_i²<0 , i=1,2.

Предельная норма замещения (MRS) ресурсов - это предельное отношение замены первого ресурса вторым, - dX₂/dX₁, в ситуации, когда при постоянном выпуске Y сокращение затрат первого ресурса на - dX₁ компенсируется ростом затрат второго ресурса на dX₂. Подобно теории потребления, это отношение равно отношению частных производных проиизводственной функции, т.е. предельных производительностей ресурсов:

dX₂ dY/dX₁

MRS = - Y = const =

dX₁  dY/dX₂

Изокванты неоклассической функции, так-же как и кривые безразличия, являются гладкими вогнутыми кривыми, а предельная норма замещения ресурсов постепенно убывает.

 ОПИСАНИЕ и СОСТАВЛЕНИЕ ПРОГРАММЫ

Составим программу (MARG2), позволяющую при фиксированном значении производственной функции Y = F(X₁, X₂) вычислить предельную производительность каждого из ресурсов, а также предельную норму замещения ресурсов. В качестве конкретной производственной функции возьмем функцию Кобба-Дугласа:

Y = X₁^3/4 X₂^1/4.

Список переменных:

X1 = X₁; X2 = X₂ ;

MR = MRS - предельная норма замещения;

D1 = dY/dX₁ ; D2 = dY/dX₂;

H - шаг дифференцирования (h).

Производственная функця Кобба-Дугласа - самая извесная из всех производственных функций неклассического типа - была открыта в 20-х годах нашего века экономистом Дугласом в сотрудничестве с математиком Коббом и получила широкое применение в эмпирических исследованиях. В эту программу включена производственная функция, оценненая Дуглосом на основе данных по обрабатывающей промышленности США. Y - индекс производства, X₁ и X₂  - соответственно индексы наемной рабочей силы и капитального оборудования. Если считать, что Х₁ и Х₂ - это затраты труда и капитала, то используя производственную функцию Кобба - Дугласа Y = AX₁^aX₂^1a(0<a<1), предельную производительность и предельную норму замещения можно представить следующим образом:

Предельная производительность труда: dY/dX₁ = aA(X₂/X₁)^a-1.

Предельная производительность капитала: dY/dY₂ = (1 - a) A (X₁/X₂)^a

dY/dX₁ a  X₂

Предельная норма замещения: MRS =  = *

dY/dX₂ 1-a  X₁

В микроэкономической теории производства считается, что предельная производительность труда равна цене труда (заработной плате) , а предельная производительность капитала - цене услуг капитальных благ (рентным платежам).

Предпосылкой для токого вывода является то, что предприятия составляют свои производственные планы (Y, X₁ , X₂), руководствуясь прежде всего принципом максимизации прибыли. Если обозначить через р, q₁ и q₂ соответственно цены продукции, первого и второго ресурсов, то оптимальным производственным планом для предприятия будет решение (Y^* , X₁^* , X₂^*) задачи максимизации прибыли П = pY - q₁X₁ - q₂X₂ при ограничении Y = F (X₁ , X₂). Выполнив необходимые подстановки, имеем П = pF(X₁ , X₂) - q₁X₁ - q₂X₂. Продифференцировав это варажение по каждому из факторов производства, получим формальное подтверждение сделанному ранее выводу.

Иными словами, поскольку

dП/dX₁ = p * dF/dX₁ - q₁ = 0,

dП/dX₂ = p * dF/dX₂ - q₂ = 0,

то сократив р, убеждаемся, что

dF / dX₁ q₁

=

dF / dX₂ q₂

100     ' предельные вычисления 2 [MARG2]

110     CLR:PRINT "предельная норма замещения ресурсов производства"

120     DEF FN F(X1,X2)=X1^.75*X2^.25

130 PRINT" Y = X1^0.75 * X2^0.25":PRINT

140     H = .001

150     INPUT "Y=";Y

160     INPUT "X1=";X1

170     X2=(Y/(X1^.75))^(1/.25)

180     PRINT "X2=";X2

190     Y=FN F(X1,X2)

200     D1=(FN F(X1+H,X2)-Y)/H

210     D2=(FN F(X1,X2+H)-Y)/H

220     MR=D1/D2

230     PRINT"------РЕЗУЛЬТАТ------

240     PRINT"dY/dX1=";D1

250     PRINT"dY/dX2=";D2

260     PRINT "MRS =";MR:PRINT

270     GOTO 160

Предельная норма замещения ресурсов производства

Y=X1^0.75 * X2^0.25

Y= 10

X1= 8

X2= 19.53125

------РЕЗУЛЬТАТ------

dY/dX1 = .9365081

dY/dX2 = .1277924

MRS = 7.328358

X1= 13

X2= 10

------РЕЗУЛЬТАТ------

dY/dX1 = .7505416

dY/dX2 = .2503164

MRS = 2.992395

X1= 12

X2= 5.787036

------РЕЗУЛЬТАТ------

dY/dX1 = .626564

dY/dX2 = .4320145

MRS = 1.450331

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

·     В.А. Колемаев "Математическая экономика" Москва, ЮНИТИ 1998.

·     О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных "Математические методы в экономике" Москва, ДИС 1997

·     ''Математическая экономика на персональном компьютере'' под редакцией Кубонива. Москва, ''Финансы и статистика''1997