1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную 
-сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.
Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:
е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
…………………………,
еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
………………………….
Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (n¹m) равно Ö2. Поэтому последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e<Ö2/2.
Рассмотрим в l2 множество П точек
x=(x1, x2, ¼, xn, ...),
удовлетворяющих условиям:
| x1|£1, | x2|£1/2, ¼,| xn|£1/2n-1, ...
Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l2. Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.
Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1<e/2. Каждой точке x=(x1, x2, ¼, xn, ...)
из П сопоставим точку x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...)
из того же множества. При этом
r(x,x*)=
£
<1/2n-1<e/2.
Множество П* точек вида x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в то же время e-сетью во всем П. Докажем это.
Доказательство: для "e>0, выберем n так, что 1/2n-1<e/2.
"xÎП: x=(x1, x2, ¼, xn, ...) сопоставим
x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) и x*ÎП. При этом r(x,x*)<e/2. Из пространства П выберем x**: r(x*,x**)<e/2.
Тогда: r(x,x**)£r(x,x*)+r(x*,x**)<e/2+e/2=e.
Множество П* содержит точки вида x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так как r(x,x**)&l
Похожие работы
... то поймем, как оно устроено, или, грубо говоря, каковы его основные «исходные компоненты». Тогда станет видно, как эти «компоненты» могут сочетаться в иных комбинациях, образуя иные типы пространств. 2.1 Основные понятия описания пространства-времени 2.1.1 Геометрические векторы и линейные операции над ними Для математического описания пространства удобно пользоваться векторами. Этот объект ...
... же подтверждают, что Тунгусский феномен – это типичное, хотя и очень значительное аномальное атмосферное и космическое явление, как стыдливо называют ученые давно известные всем "дилетантам" НЛО. При высших формах сознания, при которых возможны макротелекинез, левитация, психосинтез и возможно создание НЛО, Т–слой настоящего (термин Н.И.Кобозева, 1971г.) включает в себя часть тех зон пространства– ...
... подытожим: движение человеческого тела находится в сложном структурном отношении со следующими тремя топологическими конструкциями: движение в пространстве, пространство движения и геометрический образ движения, определяющий само движение и одновременно определяемый им. Изложенный топологический подход следует понимать не как обращение к математизации, формализации и моделированию движения, а, ...
... также и пустое слово, то есть цепочку, не содержащую ни одного знака. Например, цепочки «аввссд» и «книга» являются словами в русском алфавите. При обращении со словами конструктивная математика – и в этом проявляется ее абстрактный характер – использует абстракции отождествления и потенциальной осуществимости. Первая из них позволяет, отвлекая от различий копий и оригинала, говорить о различных ...
0 комментариев