Преобразование Уолша

3. Преобразование Уолша

Рассмотрим спектральное представление сигналов с использованием базиса Уолша. Аналогично с рядом Фурье ряд Уолша имеет вид:

 , (4)

где спектр Уолша

. (5)

Для проверки правильности расчета спектральных коэффициентов может быть использовано равенство Парсеваля

.

Если ограничиться N членами в разложении, то получим усеченный ряд Уолша:

,(6)

где tÎ[0,T]; N=T/Dt; t = a Dtпри t® ¥a® ¥ , a - сдвиг по оси;

 

 wal(n,Q) после преобразования аргументов.

Для практических расчетов можно использовать формулу:

.

где: ; (7)

r - ранг спектрального коэффициента с номером a (число двоичных разрядов числа a в которых имеются 1).

i - номер подынтервала определения функции x(t);

. (8)

При этом Г_i принимает значение ±1 или 0 в зависимости от того меняет ли W_a(i/N) в точке i/N знак с "+" на "-",c "-" на " +" или знак не меняется.

 

Пример 1. Разложить функцию x(t) = at в ряд по упорядоченным по Пэли функциям Уолша при N=8, T=1, a=1.

 

Решение:Определим Ф(t):

.

Определим спектральные коэффициенты с учетом функций Уолша упорядоченным по Пэли по формуле (7)

 

C₀ = aT/2;

C₁ = -aT/2 + 0 +0 + 0 +2(aT/4) + 0 + 0 + 0 = -aT/4;

C₂ = -aT/2 + 0 + 4aT/64) + 0 - 16aT/64 + 0 +36aT/64 +0 =-aT/8;

C₃ = aT/2 + 0 + 4aT/64) + 0 + 0 + 0 - 36aT/64 +0 = 0;

C₄ =-aT/2 + aT/64 - 4aT/64 + 9aT/64 - 16aT/64 + 25aT/64 –

- 36aT/64 + 49aT/64 =-aT/16;

C₅=C₆=C₇=0.

Ряд Уолша - Пэли имеет вид:

 .

Аппроксимация функции x(t) = at при а=1 и t=1 полученным рядом приведена на рис. 3.

 X

1

 0 1 t

Рис . 3. Аппроксимация функции x(t)=at рядом Уолша – Пэли

4. Дискретное преобразование Уолша

Дискретное преобразование Уолша (ДПУ) производится при использовании дискретных функций Уолша W_a(i/N) Þ Wal(n, Q) и выполняется над решетчатыми сигналами x(i) , при этом число отсчетов N должно быть двоично -рациональным, т. е. N = 2ⁿ , где n = 1, 2,... , i - определяет номер точки дискретного интервала определения a = 0, 1,..., N-1.

 Формулы дискретного ряда Уолша имеют вид:

,(9)

где дискретный спектр Уолша

. (10)

Для проверки правильности расчета спектральных коэффициентов может быть использовано равенство Парсеваля:

 (11)

График дискретной функции Уолша, упорядоченных по Пели приведен на рис.

 W₀

0 1 2 3 4 5 6 7i

 W₁

 W₂

W₃

W₄

W₅

W₆

W₇

Рис. 4 График дискретной функции Уолша

 Для ускорения дискретных преобразований Уолша используются алгоритмы быстрого преобразования Уолша (БПУ) аналогичного БПФ.

БПУ также производится прореживанием по времени и частоте.

Применение преобразований Уолша. Преобразования Уолша находят широкое применение при:

- построении цифровых фильтров;

- исследовании систем автоматического управления (моделировании, оптимизации, идентификации и т. д.);

- формировании сигналов;

- анализе и синтезе логических устройств (в теории цифровых автоматов).

 

Пример 2. Найти спектр Уолша - Пэли для дискретного сигнала

x(i) = i, N = 8, i = 0, 1, ...,7.

Используя формулу для C_aпри N=8, в соответствии с графиком дискретной функции Уолша , приведенной на рис. 4, можно найти спектр Уолша (таб. 3).

Таблица 3

	Значения функций и спектральных коеф. при значениях индексов i и a
	0	1	2	3	4	5	6	7
x(i)=i	0	1	2	3	4	5	6	7
Ca	3,5	-2	-1	0	-0,5	0	0	0

Список литературы

1.         Коганов А.В. Векторные меры сложности, энтропии, информации. “Математика. Компьютер. Образование”. Вып. 7, ч. 2, “Прогресс-Традиция”, М., 2000, с. 540 — 546

2.         Гольдштейн А.Л. Теория принятия решений. Задачи и методы исследования операций и принятия решений: Учеб. пособие для вузов. - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2004.-360 с.

3.         Абдулгамидов А.Р., “О системах Хаара, Радемахера и Уолша функций многих переменных”, Функциональный анализ и теория функций. 6, Учён. зап. Казан. гос. ун-та, 129, № 3, Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1969, 53–59

4.         Малозёмов В.Н., Машарский С.М. Основы дискретного гармонического анализа. Часть вторая. СПб.: НИИММ, 2003. 100 с.

5.         Львович А.А., Кузьмин Б.Д. Аналитическое выражение для спектров функций Уолша // Радиотехника. 1980. Т. 35. № 1. С. 33–39.

6.         Зеленков А.В. Быстрое преобразование спектра сигнала из базиса Уолша в базис дискретных экспоненциальных функций // Радиотехника и электроника. 1977. Т. 27. № 3. С. 552–565.

7.         Пойда В.Н. Спектральный анализ в дискретных ортогональных базисах. Минск: Наука и техника, 1978. 136 с.