ГОУ ВПО Омский государственный технический университет
Кафедра «Экономика и организация труда»
Контрольная раБОтА
по дисциплине «Методы и модели в экономике»
Вариант 28
Выполнил:
студент гр. ЗУТ-217
Чупраков Д. А.
Проверила:
__________ Е. Н. Казанцева
«___» ___________ 2009 г.
Омск 2009
| |
СОДЕРЖАНИЕ
Задача 1
Задача 2
Задача 3
 |
Задача №1
1. Составить математическую модель задачи.
Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в два магазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремя складами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку 1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице.
| Магазины Склады | №1 | №2 |
| №1 | 20 руб. | 45 руб. |
| №2 | 30 руб. | 20 руб. |
| №3 | 40 руб. | 35 руб. |
Составить наиболее дешёвый план перевозок картофеля по каждому из технологических способов, чтобы получить максимум прибыли?
Решение
Введем переменные 
, представляющие собой количество товара, поставляемого из каждого i-го склада в каждый j-ый магазин.
Поскольку суммарные запасы 
= 65 (т) и суммарные потребности 
= 60 (т) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный 
пункт потребления 
. Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).
Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы
| Пункты производства, i | Пункты потребления, j | Объем производства | ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| 1 | 20 | 45 | 0 | 15 |
| 2 | 30 | 20 | 0 | 20 |
| 3 | 40 | 35 | 0 | 30 |
| Объем потребления (спрос) | 25 | 35 | 5 | 65 |
Зададим целевую функцию и ограничения, т.е. построим математическую модель транспортной задачи.
Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).
Таблица 2 – Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла
| Пункты производства, i | Пункты потребления, j | Объем производства | ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| 1 | 20 15 | 45 - | 0 - | 15/0 |
| 2 | 30 10 | 20 10 | 0 - | 20/10/0 |
| 3 | 40 - | 35 25 | 0 5 | 30/5/0 |
| Объем потребления | 25/10/0 | 35/25/0 | 5/0 | 65 |
Опорный план 
, найденный методом северо-западного угла имеет вид:
(т) или = (15; 0; 0; 10; 10; 0; 0;25;5).
Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: 
(руб.).
Итерация 1.
Шаг 1.1. Вычисление потенциалов
| 20 15 | 45 - | 0 - | u1=0 | |
| 30 10 | 20 10 | 0 - | u2=-10 | |
|
| 40 - | 35 25 | 0 5 | u3=-25 |
| v1=20 | v2=10 | v3=-25 |
Система для плана имеет вид: 
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=20, v2=10, u2=-10, v3= - 25, u3= - 25, т.е. (0; - 10; -25; 20; 10; -25).
Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок 
.
| 0 | -35 | -25 | u1=0 | |
| 0 | 0 | -15 | u2=-10 | |
| ∆1= | 10 | -10 | -5 | u3=-25 |
| v1=20 | v2=10 | v3=-25 |
Так как имеются 
>0, то переходим к шагу 3.
Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. 
соответствует клетка К31.
| -30
| +20
| |
| ∆1= |
- | -35 25 |
10
10
+40Θ =
= 10. Составим новый план перевозки.
Итерация 2.
Шаг 2.1. Вычисление потенциалов
| 20 15 | 45 - | 0 - | u1=0 | |
| 30 - | 20 20 | 0 - | u2=-5 | |
|
| 40 10 | 35 15 | 0 5 | u3=-20 |
| v1=20 | v2=15 | v3=-20 |
Система для плана 
имеет вид: 
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -20; 20; 15; -20).
Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
| 0 | -35 | -20 | u1=0 | |
| -5 | 0 | -15 | u2=-5 | |
| ∆1= | 0 | 0 | 0 | u3=-20 |
| v1=20 | v2=15 | v3=-20 |
Так как все оценки 
≤0, следовательно, план 
- оптимальный.
Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), следовательно, оптимальное значение целевой функции:
(руб.).
Ответ: Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), L(X) = 1625 руб.
Задача №2
2. Решить графически задачу: найти экстремумы функции 
, если 
, 
.
Решить симплекс-методом
РЕШЕНИЕ
а) Решим задачу графически при
z = 3x1 – 2x2 → max
, .
Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.1).
|
Рис.1. Графическое решение задачи при z = 3x1 – 2x2 → max
Строим вектор 
из точки (0;0) в точку (3; -2). Точка Е (7;0) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка максимума целевой функции. Тогда максимальное значение функции равно:
.
б) Решим задачу графически при
z = 3x1 – 2x2 → min
, .
Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.2).
|
Рис.2. Графическое решение задачи при z = 3x1 – 2x2 → min
Строим вектор из точки (0;0) в точку (-3; 2). Точка Е (0;1) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка минимума целевой функции. Тогда минимальное значение функции равно:
.
Ответ: а) Функция z = 3x1 – 2x2 → max и равна 21 в точке (7;0).
б) Функция z = 3x1 – 2x2 → min и равна - 2 в точке (0;1).
Задача №3
Решить методом потенциалов транспортную задачу, где 
– цена перевозки единицы груза из пункта 
в пункт 
.
Решение
Поскольку суммарные запасы = 35 (ед. груза) и суммарные потребности = 48 (ед. груза) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный 
пункт производства 
. Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).
Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы
| Пункты производства, i | Пункты потребления, j | Объем производства | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||
| 1 | 6 | 8 | 4 | 2 | 10 |
| 2 | 5 | 6 | 9 | 8 | 10 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 8 | 15 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 13 |
| Объем потребления (спрос) | 5 | 8 | 15 | 20 | 48 |
Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).
Таблица 2 – Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла
| Пункты производства, i | Пункты потребления, j | Объем производства | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||
| 1 | 6 5 | 8 5 | 4 - | 2 - | 10/5/0 |
| 2 | 5 - | 6 3 | 9 7 | 8 - | 10/7/0 |
| 3 | 4 - | 2 - | 3 8 | 8 7 | 15/7/0 |
| 4 | 0 - | 0 - | 0 - | 0 13 | 13/0 |
| Объем потребления | 5/0 | 8/3/0 | 15/8/0 | 20/13/0 | 48 |
Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:
(ед. груза) или = (5; 5; 0; 0; 0; 3; 7;0;0;0;8;7;0;0;0;13).
Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: 
(ден. ед.).
Итерация 1.
Шаг 1.1. Вычисление потенциалов
| 6 5 | 8 5 | 4 - | 2 - | u1=0 | |
| 5 - | 6 3 | 9 7 | 8 - | u2=2 | |
|
| 4 - | 2 - | 3 8 | 8 7 | u3=8 |
| 0 - | 0 - | 0 - | 0 13 | u4=16 | |
| v1=6 | v2=8 | v3=11 | v4=16 |
Система для плана имеет вид: 
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=6, v2=8, u2=2,v3=11, v4=16, u3=8, u4=16, т.е. (0; 2; 8; 16; 6; 8; 11; 16).
Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
| 0 | 0 | 7 | 14 | u1=0 | |
| -1 | 0 | 0 | 6 | u2=2 | |
| ∆1= | -6 | -2 | 0 | 0 | u3=8 |
| -10 | -8 | -5 | 0 | u4=16 | |
| v1=6 | v2=8 | v3=11 | v4=16 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К14.
| - 8
| 4 - | +2
| |
| +6
| - 9
| 8 - | |
| ∆1= | 2 - | +3
| - 8 7 |
| 0 - | 0 - | 0 13 |
5
-
3
7
8Θ == 5. Составим новый план перевозки.
Итерация 2.
Шаг 2.1. Вычисление потенциалов
| 6 5 | 8 - | 4 - | 2 5 | u1=0 | |
| 5 - | 6 8 | 9 2 | 8 - | u2=-12 | |
|
| 4 - | 2 - | 3 13 | 8 2 | u3=-6 |
| 0 - | 0 - | 0 - | 0 13 | u4=2 | |
| v1=6 | v2=-6 | v3=-3 | v4=2 |
Система для плана 
имеет вид: 
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=6, v2=-6, u2=-12,v3=-3, v4=2, u3=-6, u4=2, т.е. (0; -12; -6; 2; 6; -6; -3; 2).
Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
| 0 | -14 | -7 | 0 | u1=0 | |
| 13 | 0 | 0 | 6 | u2=-12 | |
| ∆1= | 8 | -2 | 0 | 0 | u3=-6 |
| 4 | -8 | -5 | 0 | u4=2 | |
| v1=6 | v2=-6 | v3=-3 | v4=2 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К21.
| -6
| 8 - | 4 - | +2
| |
| ∆1= | +5
| 6 8 | -9
| 8 - |
| 4 - | 2 - | +3
| -8 2 |
5
5
-
2
13Θ =
=
= 2. Возьмем и составим новый план перевозки.
Итерация 3.
Шаг 3.1. Вычисление потенциалов
| 6 3 | 8 - | 4 - | 2 7 | u1=0 | |
| 5 2 | 6 8 | 9 0 | 8 - | u2=1 | |
|
| 4 - | 2 - | 3 15 | 8 - | u3=7 |
| 0 - | 0 - | 0 - | 0 13 | u4=2 | |
| v1=6 | v2=7 | v3=10 | v4=2 |
Система для плана 
имеет вид: 
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; 7; 2; 6; 7; 10; 2).
Шаг 3.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
| 0 | -1 | 6 | 0 | u1=0 | |
| 0 | 0 | 0 | -7 | u2=1 | |
| ∆1= | -5 | -2 | 0 | -13 | u3=7 |
| 4 | 5 | 8 | 0 | u4=2 | |
| v1=6 | v2=7 | v3=10 | v4=2 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 3.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К43.
| -6
| 8 - | 4 - | +2
| |
| +5
| 6 8 | -9
| 8 - | |
| ∆1= | 4 - | 2 - | 3 15 | 8 - |
| 0 - | 0 - | +0
| -0 13 |
3
7
2
0
-Θ =
= 0. Составим новый план перевозки.
Итерация 4.
Шаг 4.1. Вычисление потенциалов
| 6 3 | 8 - | 4 - | 2 7 | u1=0 | |
| 5 2 | 6 8 | 9 - | 8 - | u2=1 | |
|
| 4 - | 2 - | 3 15 | 8 - | u3=-1 |
| 0 - | 0 - | 0 0 | 0 13 | u4=2 | |
| v1=6 | v2=7 | v3=2 | v4=2 |
Система для плана 
имеет вид: 
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; -1; 2; 6; 7; 2; 2).
Шаг 4.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
| 0 | -1 | -2 | 0 | u1=0 | |
| 0 | 0 | -8 | -7 | u2=1 | |
| ∆1= | 3 | 6 | 0 | -5 | u3=-1 |
| 4 | 5 | 0 | 0 | u4=2 | |
| v1=6 | v2=7 | v3=2 | v4=2 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 4.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К32.
| -6
| 8 - | 4 - | +2
| |
| +5
| -6
| -9 - | 8 - | |
| ∆1= | 4 - | +2
| -3
| 8 - |
| 0 - | 0 - | +0
| -0 13 |
2
8
-
15Θ =
= 3. Составим новый план перевозки.
Итерация 5.
Шаг 5.1. Вычисление потенциалов
| 6 - | 8 - | 4 - | 2 10 | u1=0 | |
| 5 5 | 6 5 | 9 - | 8 - | u2=-5 | |
|
| 4 - | 2 3 | 3 12 | 8 - | u3=-1 |
| 0 - | 0 - | 0 3 | 0 10 | u4=2 | |
| v1=0 | v2=1 | v3=2 | v4=2 |
Система для плана 
имеет вид: 
Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2).
Шаг 5.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
| -6 | -7 | -2 | 0 | u1=0 | |
| 0 | 0 | -2 | -1 | u2=-5 | |
| ∆1= | -3 | 0 | 0 | -5 | u3=-1 |
| -2 | -1 | 0 | 0 | u4=2 | |
| v1=0 | v2=1 | v3=2 | v4=2 |
Так как все оценки ≤0, следовательно, план - оптимальный.
Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), следовательно, оптимальное значение целевой функции:
(ден. единиц).
Ответ: Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), L(X) = 117 ден. ед.
Похожие работы
... ;max Условием является то, что сумма расхода материалов не должно быть больше имеющихся материалов, а так же обязательное условие - выполнение плана. Таким образом, математическая модель задачи будет иметь вид: ЗАДАНИЕ 2 Решить одноиндексную задачу линейного программирования графическим методом. Построим следующие прямые: х1 + х2 = 2 (1) -х1 + х2 = 4 (2) х1 + 2х2 = 8 (3) х1 ...
... с помощью двухэтапного метода, совпадает с решением, полученным в среде MS Excel с помощью программной надстройки «Поиск решения». 7. ПРИМЕРЫ ПОСТАНОВОК, ФОРМАЛИЗАЦИИ И РЕШЕНИЯ ПЕРСПЕКТИВНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ ЗАДАЧ Одним из методов решения задач линейного программирования является графический метод, применяемый для решения тех задач, в которых имеются только две переменные, ...
... для Швеции, если иметь в виду специфику ее развития и место в международном разделении труда, - и является инструментом ослабления социальной напряженности, нейтрализации классовых антагонизмов и конфликтов. В шведской модели социальная политика способствует преобразованию общественных отношений в духе социальной справедливости, уравниванию доходов, сглаживанию классовых неравенств и в итоге ...
... национального самосознания, приоритете интересов нации над интересами конкретного человека, готовности населения идти на определенные материальные жертвы ради процветания страны. 2.2. Модели административно-командной системы. 2.2.1. Китайская модель. Утверждается, что китайская экономика растет так быстро потому, что уровень развития в Китае был низким, а темпы роста слаборазвитых стран выше ...
0 комментариев