Побудова багатофакторної і однофакторної лінійних моделей нормальної регресії

Міністерство освіти та науки України

Житомирський державний технологічний університет

Кафедра менеджменту

Контрольна робота

з курсу “Економетрія”

Виконала: студентка IV курсу

Карпінська Н. В.

Перевірив: Рудківський О. А.

Житомир

2008

Задача №1

Загальна кількість контактів менеджера з підлеглими є випадковою величиною. Приводиться статистична залежність чисельності контактів менеджерів: 5, 6, 18, 20, 30, 35, 45, 47, 53, 60 від кількості підлеглих: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. тривалість контакту в середньому становить 2 хвилини. Для ефективної роботи менеджерів тривалість контактів не повинна перевищувати 150 хвилин. Чи збережеться ефективність роботи менеджера, якщо кількість підлеглих збільшиться на одиницю? Чи були підлеглі (за моделлю), з якими не було контактів взагалі? Яка була потреба в середньому в контактах кожного менеджера?

За результатами розрахунків належить відповісти на ряд поставлених питань:

1.         Чи достатній рівень значимості для специфікації (адекватності) моделі (статистичним даним)?

2.         Пояснити статистичний і економічний зміст коефіцієнтів кореляції і детермінації.

3.         Чи задовільняють параметри стандартного відхилення асиметрії і ексцесу своїм пороговим значенням?

4.         Дайте економічну інтерпретацію розрахунковим коефіцієнтам моделі.

5.         Поясніть економічний зміст коефіцієнта еластичності.

6.         На що вказують стандартні помилки розрахункових коефіцієнтів моделі?

7.         Дайте економічне тлумачення довірчим інтервалам коефіцієнтів моделі.

8.         Який економічний зміст точкового значення прогнозу?

9.         Чи достатній рівень значимості прогнозу?

10.      Який економічний зміст прогнозного інтервалу для індивідуального значення результуючого показника?

11.      Який економічний зміст прогнозного інтервалу середнього значення результуючого показника?

12.      Економічний зміст точки перетину прямої регресії з віссю OX.

13.      Який зміст статистики Дарбіна-Уотсона?

14.      Форма відображення статистичних даних моделі.

Розв’язок

14. Форма відображення статистичних даних часова. Результуючий показник –– чисельність контактів менеджерів. Незалежний фактор –– кількість підлеглих.

1. Рівень значимості лінійної специфікації моделі достатній, так як

6,7991*10^(-9) 10^2%=6,7991*10^(-7)%,

що менше нормативного значення –– 5%. (В іншому разі він недостатній і слід переходити до побудови нелінійної моделі.)

2. Коефіцієнт кореляції R=0,9937 близький до одиниці, говорить про тісноту лінійного взаємозв’язку між чисельністю контактів і кількістю підлеглих.

Коефіцієнт детермінації R^2=0,987, що більше нормативного значення 0,95. Статистичний зміст коефіцієнта детермінації –– степінь підгонки статистичних даних до прямої регресії достатній. Економічний зміст коефіцієнта детермінації –- зміна чисельності контактів менеджерів підприємства на 98,7% залежить від зміни кількості підлеглих і лише на 100%-98,7%=1,3% залежить від зміни інших факторів, що не увійшли в модель. (У випадку коли R^2 менше нормативного значення вагомість інших факторів на зміну результуючого показника зростає і тому робимо висновок про додаткове включення факторів в модель.) Додатнє значення коваріації (524,5) показника чисельності контактів і фактора кількості підлеглих говорить про однаковий напрямок їх зміни.

3. Стандартні відхилення асиметрії (0,07256298) і ексцесу (0,305379249) за абсолютною величиною менші нормативного значення 1,5 і тому дають можливість судити про нормальний закон розподілу результуючого показника чисельності контактів менеджерів. (Якщо хоча б один із цих параметрів виявиться більшим 1,5, то це говорить про те, що вибіркові значення показника чисельності контактів менеджерів не репрезентативні –– вибірковий метод слід повторити.)

4. Розрахунковий коефіцієнт b2=6,357575758 дає можливість стверджувати, що збільшення кількості підлеглих на 1 чоловіка приводить до збільшення чисельності контактів (в аналізованому періоді) в середньому приблизно на 6 контактів.

Розрахунковий коефіцієнт b1= -3,066666667 визначає за статистичними даними середню величину чисельності контактів менеджерів з підлеглими (він не коментується, адже є від’ємним показником).

5. Коефіцієнт еластичності е=1,0096133751 показує, що збільшення кількості підлеглих протягом аналізованого періоду на 1% призводить до збільшення чисельності контактів з підлеглими в середньому на 1,096%.

6. Невисока стандартна помилка коефіцієнта b2= 3,98% менше 30%, що говорить про його незміщеність. Разом з тим, стандартна помилка для розрахункового коефіцієнта b1=51,25% вказує на його зміщеність. Таким чином положення про рівність нулю математичного сподівання вектора збурення не виконується.

7. Економічний зміст довірчого інтервалу для b2 –– виходячи із статистичних даних, на 95% можна стверджувати, що збільшення (протягом аналізованого періоду) кількості підлеглих на 1 чоловіка приводить до збільшення чисельності контактів менеджерів з підлеглими не менше ніж на 5,77=6 контактів і не більше ніж на 6,94=7 контактів.

Економічний зміст довірчого інтервалу для b1 –– виходячи із статистичних даних, на 95% можна стверджувати, що чисельність контактів менеджерів з підлеглими (на початок аналізованого періоду) становила не більше 0,56=1 контакту (нижня границя “-6,691209493” не коментується –– вона від’ємна).

8. Точкове значення прогнозу 66,86666667 коментується як очікуваний обсяг контактів менеджерів =67 контактів (для наступного періоду), коли кількість підлеглих становитиме 11 чоловік.

9. Для прийняття прогнозних рішень рівень значимості прогнозу не повинен перевищувати 1%. Дане нормативне значення рівня значимості виконується –– він становить 0,010000007.

10. Економічний зміст прогнозного інтервалу для індивідуального значення результуючого показника –– виходячи із статистичних даних на 100% - 1%=99% можна стверджувати, що при кількості підлеглих рівній 11 чоловікам чисельність контактів менеджерів з підлеглими прогнозується не менше 57,5=58 контактів і не більше 76 контактів.

11. Економічний зміст прогнозного інтервалу для середнього значення результуючого показника –– виходячи із статистичних даних на 100% - 1%=99% можна стверджувати, що при кількості підлеглих рівній 11 чоловікам середня чисельність контактів менеджерів з підлеглими прогнозується не менше 61,6=62 контактів і не більше 72 контактів.

12. Точка перетину (0,482 чоловіки) прямої регресії з віссю OX визначає граничну кількість підлеглих, за якої контактів менеджерів з підлеглими не очікується.

13. Статистика Дарбіна-Уотсона виходить за нормативний відрізок [1,5; 2,5] і тому спостерігається автокореляція в залишках моделі.

Відповіді на додаткові запитання:

ü   Чи збережеться ефективність роботи менеджера, якщо кількість підлеглих збільшиться на одиницю? Ефективність роботи збережеться. За умовою тривалість контактів не повинна перевищувати 150 хвилин (1 контакт=2 хвилинам), тобто не більше 75 контактів. Точкове значення прогнозу 67 контактів, якщо кількість підлеглих збільшиться на одиницю, що є менше 75 контактів.

ü   Чи були підлеглі (за моделлю), з якими не було контактів взагалі? Таких підлеглих не було. Згідно точки перетину прямої регресії з віссю OX контактів менеджерів з підлеглими не очікується, якщо кількість підлеглих рівна 0,482 підлеглих.

ü   Яка була потреба в середньому в контактах кожного менеджера? Потреба в середньому в контактах кожного менеджера (за моделлю) становила 31,9=32 контакти, згідно середнього значення показника.

Задача №2

Мерія міста, з метою видачі ліцензії на відкриття нових магазинів вирішила за допомогою трендової лінії двофакторної моделі регресії вивчити залежність величини товарообігу по даній групі магазинів від інтенсивності потоку покупців за 8 місяців за наступними статистичними даними.

Місяць	Товарообіг (млн. грн.)	Потік покупців (тис. чоловік в день)	Магазин
1	2,1	1	Темп
2	2,5	0,7	Арго
3	2,9	0,96	Світлана
4	4,0	1	Світязь
5	4,5	0,135	Левада
6	5,1	0,138	Альфа
7	5,4	0,8	Альянс
8	5,5	0,124	Регіна

Яке прогнозне рішення повинна прийняти мерія (за моделлю) щодо відкриття нового магазину в дев’ятому місяці з потоком покупців 1 тис. чоловік в день?

За результатами розрахунків належить відповісти на ряд поставлених питань:

1.         Чи достатній рівень значимості для специфікації(адекватності) моделі(статистичним даним)?

2.         Пояснити статистичний і економічний зміст коефіцієнтів кореляції і детермінації.

3.         Чи задовільняють параметри стандартного відхилення асиметрії і ексцесу своїм пороговим значенням?

4.         Дайте економічну інтерпретацію розрахунковим коефіцієнтам моделі.

5.         Поясніть економічний зміст коефіцієнта еластичності.

6.         На що вказують стандартні помилки розрахункових коефіцієнтів моделі?

7.         Дайте економічне тлумачення довірчим інтервалам коефіцієнтів моделі.

8.         Який економічний зміст точкового значення прогнозу?

9.         Чи достатній рівень значимості прогнозу?

10.      Який економічний зміст прогнозного інтервалу для індивідуального значення результуючого показника?

11.      Який економічний зміст прогнозного інтервалу середнього значення результуючого показника?

12.      Який зміст статистики Дарбіна-Уотсона?

13.      Форма відображення статистичних даних моделі.

Розв’язок

13. Форма відображення статистичних даних часова. Результуючий показник –– величина товарообігу. Незалежні фактори –– потік покупців і аналізований місяць.

1. Рівень значимості лінійної специфікації моделі достатній, так як складає 0,037644853%, що менше нормативного значення –– 5%. (В іншому разі він недостатній і слід переходити до побудови нелінійної моделі.)

2. Коефіцієнт кореляції R=0,978424405 близький до одиниці, говорить про тісноту лінійного взаємозв’язку між величиною товарообігу і факторами (потоком покупців і аналізованим місяцем).

Коефіцієнт детермінації R^2=0,957314316, що більше нормативного значення 0,95. Статистичний зміст коефіцієнта детермінації –– степінь підгонки статистичних даних до прямої регресії достатній; він визначає долю пояснювальної дисперсії в поясненій дисперсії. Економічний зміст коефіцієнта детермінації –– зміна величини товарообігу підприємства на 95,7% залежить від зміни потоку покупців та аналізованого місяця і лише на 100%-95,7%=4,3% залежить від зміни інших факторів, що не увійшли в модель. (У випадку коли R^2 менше нормативного значення вагомість інших факторів на зміну результуючого показника зростає і тому робимо висновок про додаткове включення факторів в модель.)

3. Стандартні відхилення асиметрії (0,534638749) і ексцесу (0,885475609) за абсолютною величиною менші нормативного значення 1,5 і тому дають можливість судити про нормальний закон розподілу результуючого показника товарообігу. (Якщо хоча б один із цих параметрів виявиться більшим 1,5, то це говорить про те, що вибіркові значення показника чисельності контактів менеджерів не репрезентативні –– вибірковий метод слід повторити.)

4. Економічний зміст розрахункових коефіцієнтів моделі:

а) розрахунковий коефіцієнт b2= - 0,08646 дає можливість стверджувати, що збільшення протягом аналізованого періоду потоку покупців на 1 тис. чол. в день приводить до зменшення величини товарообігу (в аналізованому періоді) в середньому приблизно на 0,08646 млн. грн., за умови, що аналізований місяць лишився незмінним;

б) розрахунковий коефіцієнт b3= 0,531251 дає можливість стверджувати, що збільшення протягом аналізованого періоду аналізованого місяця на 1 приводить до збільшення величини товарообігу (в аналізованому періоді) в середньому приблизно на 0,531251 млн. грн., за умови, що потік покупців лишився незмінним;

в) розрахунковий коефіцієнт b1=1,661865039 визначає за статистичними даними середню величину товарообігу на початок аналізованого періоду. В даній задачі він визначає середнє значення величини товарообігу по даній групі магазинів, він становить приблизно 1,661865039 млн. грн.

5. Коефіцієнт еластичності за фактором потоку покупців Е2= - 0,013123171 показує, що збільшення потоку покупців протягом аналізованого періоду на 1% призводить до зменшення величини товарообігу в середньому на 0,013%, за умови, що аналізований місяць залишається незмінним.

Коефіцієнт еластичності за фактором аналізованого місяця Е3= 0,597656911 показує, що збільшення аналізованого місяця протягом аналізованого періоду на 1% призводить до збільшення величини товарообігу в середньому на 0,598%, за умови, що потік покупців залишається незмінним.

6. Всі стандартні помилки ab/b розрахункових коефіцієнтів моделі b, що складають 28,18%, 22,33% і 3,7% відповідно, виявились меншими 30%. Це вказує на незміщеність статистичної оцінки всіх істинних значень коефіцієнтів моделі, і дає змогу стверджувати про рівність нулю математичного сподівання вектора збурення.

7. Економічний зміст довірчих інтервалів для коефіцієнтів моделі:

а) економічний зміст довірчого інтервалу для b2 –– виходячи із статистичних даних, на 95% можна стверджувати, що збільшення (протягом аналізованого періоду) потоку покупців на 1 тис. чол. в день приводить до зменшення товарообігу не більше ніж на 0,867265034 млн. грн. (нижня межа інтервалу не коментується, бо вона від’ємна) за умови, що аналізований місяць лишається незмінним;

б) економічний зміст довірчого інтервалу для b3 –– виходячи із статистичних даних, на 95% можна стверджувати, що збільшення (протягом аналізованого періоду) аналізованого місяця на 1 приводить до збільшення товарообігу не більше ніж на 0,689438216 млн. грн. і не менше ніж на 0,373062958 млн. грн. за умови, що потік покупців лишається незмінним;

в) економічний зміст довірчого інтервалу для b1 –– виходячи із статистичних даних, на 95% можна стверджувати, що величина товарообігу (на початок аналізованого періоду) становила не більше 2,865745105 млн. грн. і не менше 0,457984974 млн. грн.

8. Точкове значення прогнозу 6,356659247 млн. грн. коментується як очікуваний обсяг товарообігу для наступного десятого місяця, коли потік покупців становитиме 1 тис. чол. в день.

9. Для прийняття прогнозних рішень рівень значимості прогнозу не повинен перевищувати 1%. Дане нормативне значення рівня значимості виконується –– він становить 0,01.

10. Економічний зміст прогнозного інтервалу для індивідуального значення результуючого показника (величини товарообігу) –– виходячи із статистичних даних на 100% - 1%=99% можна стверджувати, що в дев’ятому місяці з потоком покупців 1 тис. чол. в день величина товарообігу прогнозується не менше 4,32154762 млн. грн. і не більше 8,391770874 млн. грн.

11. Економічний зміст прогнозного інтервалу для середнього значення результуючого показника (величини товарообігу) –– виходячи із статистичних даних на 100% - 1%=99% можна стверджувати, що в дев’ятому місяці з потоком покупців 1 тис. чол. в день середня величина товарообігу прогнозується не менше 4,736164843 млн. грн. і не більше 7,977153651 млн. грн.

12. Статистика Дарбіна-Уотсона виходить за нормативний відрізок [1,5; 2,5] і тому спостерігається автокореляція в залишках моделі.

Відповідь на запитання з умови:

ü   Яке прогнозне рішення повинна прийняти мерія (за моделлю) щодо відкриття нового магазину в дев’ятому місяці з потоком покупців 1 тис. чоловік в день? Мерія повинна відкрити цей новий магазин, адже в ньому очікується товарообіг 6,356659247 млн. грн. (згідно точкового значення прогнозу).