Застосування принципу можливих переміщень та принципу Даламбера до розв'язування задач

Міністерство освіти і науки України

Вінницький державний педагогічний університет

імені Михайла Коцюбинського

Інститут перспективних технологій, економіки і фундаментальних наук

 

Кафедра фізики

Затверджую:

Зав. каф. канд. фіз.-мат. наук,

доцент Солоненко В. І.

 

“_____” ____________________ 200 ___ р.

 

УДК: 535(075.8)

 

Застосування принципу можливих переміщень та принципу Даламбера до розв’язування задач

Вінниця – 2006

Зміст

Вступ

Розділ 1. Теоретичні відомості

1. 1. Принцип можливих переміщень і загальне рівняння механіки

1. 2. Принцип Даламбера

Розділ 2. Методика розв’язування задач

2. 1. Методика розв’язування задач за принципом можливих переміщень

2. 2. Методика розв’язування задач за принципом Даламбера

Розділ 3. Приклади розв’язування задач

3. 1. Практичне застосування принципу можливих переміщень до розв’язування задач

3. 2. Практичне застосування принципу Даламбера до розв’язування задач

Висновок

Список використаної літератури

Вступ

Принцип можливих переміщень і принцип Даламбера є основними принципами аналітичної механіки, які дають змогу розв’язувати великий спектр задач сучасної техніки (авіація, космонавтика, машинобудування тощо)

На відміну від принципу геометричної статики принцип можливих переміщень та принцип Даламбера є більш універсальними, оскільки можуть застосовуватись до розгляду руху невільних механічних систем.

Як відомо, закони Ньютона містять в собі все необхідне для розгляду руху будь-яких механічних систем. Але спочатку вони застосовувалися тільки для розгляду руху вільної матеріальної точки і вільного твердого тіла до тих пір, поки не була додатково сформульована аксіома зв’язків. Для розгляду руху скованих систем Даламбер запропонував спеціальний принцип, що одержав назву принцип Даламбера. Цей принцип був сформульований в термінах «втрачених» рухів.

В даний час, коли вважається справедливою аксіома зв'язків, рівняння руху скованої матеріальної точки є такими ж, як і для вільної, тільки до тих, що діють на точку активним або заданим силам додають сили реакцій зв’язків.

Сучасний вираз принципу Даламбера не відрізняється за змістом від рівнянь руху матеріальної точки, але для багатьох завдань воно зручніше. Принцип Даламбера для вільної матеріальної точки еквівалентний основному закону динаміки. Для скованої точки він еквівалентний основному закону разом з аксіомою зв’язків.

Розділ 1. Теоретичні відомості

 

1. 1. Принцип можливих переміщень і загальне рівняння механіки

 

Можливими переміщеннями матеріальної си­стеми називаються нескінченно малі переміщення точок системи, які допускаються в’язями в певний, фіксований момент часу. Мож­ливі переміщення - це уявлювані переміщення, при розгляді яких сили вважаються незмінними, нестаціонарні в’язі - «зупиненими».

На відміну від можливих переміщень дійсні переміщення не є уявлюваними, вони відповідають справжньому рухові точок системи у просторі та часі під дією сил, які, взагалі кажучи, зале­жать від часу; нестаціонарні в’язі при розгляді дійсних переміщень вважаються незупинними. Отже, при розгляді дійсних пере­міщень час не фіксується.

Надалі дійсне переміщення точки ми позначимо через , а мож­ливе – через .

Відомо, що нескінченно мала зміна функції, яка відбувається внаслідок зміни аргументу, є диференціалом цієї функції; коли ж зміна функції відбувається внаслідок зміни виду самої функції, то така зміна називається варіацією функції. Отже, дійсне перемі­щення  можна розглядати як диференціал функції , а можливе  - як варіацію цієї функції.

Проекції можливого переміщення на координатні осі позначимо через

.

Робота  сили  па можливому переміщенні  дорівнює:

.

Через те що при розгляді можливих переміщень час фіксують, то .

Очевидно, що дійсне переміщення матеріальна система у кож­ному випадку має тільки одне, а можливих може мати кілька або навіть безліч. При стаціонарних в’язях дійсне переміщення можна розглядати як одне з можливих переміщень. При нестаціонарних в’язях дійсні і можливі переміщення відрізняються.

Так, наприклад, якщо розглядати переміщення кільця, яке може ковзати по рухомому дроту, то дійсним перемі­щенням цього кільця буде вектор , а одним з можливих перемі­щень - вектор . Справді, можливе переміщення за означенням - і це уявлюване переміщення, яке відбувається при «зупиненій» в’язі. Через те в даному випадку можливе переміщення буде виражене нескінченно малим вектором , напрямленим по дотичній до дроту в початковому його положенні (положення І). Але за нескінченно малий проміжок часу дріт переміститься в просторі з положення І в положення ІІ. Крім того, кільце переміститься по дроту і з положення  перейде в положення . Тому дійсне переміщення . буде виражене нескінченно малим вектором .

Ідеальними в’язями називаються в’язі, сума робіт реакцій яких на будь-якому можливому переміщенні матеріальної системи дорівнює нулеві.

Відзначимо, що з великим ступенем точності в’язі, які в багатьох випадках зустрічаються на практиці, можна вважати ідеальними. Наприклад, в’язі з добре змащеними або відполірованими поверхнями без великої помилки можна розглядати як ідеальні.

Ідеальними в’язями також є абсолютно гладенькі лінії (напрямні), ідеальні шарніри, підшипники, підп’ятники, абсолютно тверді стержні, нерозтяжні абсолютно гнучкі нитки, абсолютно шорсткі поверхні, коли по них котяться тверді тіла без ковзання. Крім того, ідеальними в’язями можна вважати ремені і канати, перекинуті через шківи і блоки, коли вони не чинять опору згину при намотуванні на шківи і блоки, не ковзають по їх поверхнях та не розтягуються.

Якщо через  позначити рівнодійну реакцій в’язей, прикладених до тої точки системи, а через  - проекції цієї сили на координатні осі, то умову існування ідеальних в’язей можна подати так:

.

Принцип можливих переміщень полягає в тому, що для рівнова­ги матеріальної системи з ідеальними в’язями необхідно і достат­ньо, щоб сума робіт усіх заданих сил, прикладених до точок систе­ми, на будь-якому можливому її переміщенні дорівнювала нулеві:

тут  - задані сили, що діють на точки матеріальної системи.

Іноді написане вище рівняння називають рівнянням ро­біт. Таких рівнянь можна скласти стільки, скільки матеріальна система має незалежних між собою систем можливих переміщень.

Застосування принципу можливих переміщень дає змогу виклю­чити з розгляду реакції ідеальних в’язей, бо сума їх робіт на мож­ливих переміщеннях системи дорівнює нулеві.

Застосування принципу можливих переміщень можна поширити також на випадок наявності неідеальних в'язей і на випадок руху матеріальної системи.

Щоб мати змогу застосувати принцип можливих переміщень у випадку наявності сил тертя (випадок неідеальних в’язей), до­сить перевести ці сили в розряд заданих сил, так що в рівнянні робіт сила  буде рівнодійною всіх заданих сил і сил тертя, прикладених до тої точки системи.

При застосуванні принципу можливих переміщень у випадку руху матеріальної системи слід згідно з принципом Даламбера до заданих сил і сил тертя  приєднати сили інерції . У цьому випадку принцип можливих переміщень можна виразити так:

або

Отже, у випадку руху матеріальної системи з ідеальними в'я­зями сума робіт усіх заданих сил і сил інерції на довільному мож­ливому переміщенні дорівнює нулеві.

Це рівняння являє собою поєднання принципу можливих пере­міщень з принципом Даламбера і називається загальним рів­нянням механіки. Ця назва вказує на універсальність рів­няння, яке дає найзагальніший метод розв'язування задач про рух невільної матеріальної системи.

Принцип можливих переміщень дуже зручно застосовувати при вивченні рівноваги або руху системи тіл з ідеальними в’язями, бо при цьому виключаються з розрахунків реакції цих в’язей - внутрішні сили.

При розв’язуванні задач із застосуванням принципу можливих переміщень слід у кожному окремому випадку встановити, скільки степенів вільності має розглядувана матеріальна система, оскільки кількість незалежних між собою можливих переміщень  точок системи дорівнює кількості її степенів вільності.

Щоб визначити зв'язок між залежними можливими перемі­щеннями, які входять у загальне рівняння механіки, слід кори­стуватися кінематичними міркуваннями. Наприклад, коли розглядаються можливі переміщення кінців незмінюваного відрізка, то ці переміщення пов’язані між собою на підставі теореми: проекції можливих переміщень кінців незмінюваного відрізка на напрям цього відрізка рівні між собою.

Якщо вивчається матеріальна система, що складається з твердих тіл, частина яких або всі перебувають у плоскопаралельному русі, то для знаходження залежності між можливими переміщен­нями окремих точок цих тіл можна в кожний даний момент роз­глядати цей рух як обертальний рух навколо миттєвого центра швидкостей і скористатися теоремою: можливі переміщення двох точок твердого тіла, яке перебуває у плоскопаралельному русі, відносяться, як їх віддалі від миттєвого центра швидкостей. При цьому можливе переміщення кожної з точок тіла напрямлене нор­мально до прямої, яка сполучає дану точку з миттєвим центром швидкостей, в сторону миттєвого обертання.

Іноді при розв'язуванні задач буває зручно записувати прин­цип можливих переміщень у координатній формі:

Загальне рівняння механіки в координатній формі записується так:

1. 2. Принцип Даламбера

 

При вивченні руху невільної матеріальної точки застосовується принцип Даламбера. Цей принцип дає можливість формально розглядати рівняння динаміки, як рівняння статики.

Цей принцип, який ми тут викладемо для вільної матеріальної точки і для точки, рухомої по поверхні або по кривій, застосовний до будь-якого завдання динаміки. Він дозволить нам підвести підсумок всієї теорії руху точки.

Принцип Даламбера можна сформулювати так:

Задані сили, прикладені до матеріальної точки, і реакції в’язей зрівноважуються силою інерції.

Цей принцип у вигляді рівняння записується так:

де  - рівнодійна всіх заданих сил, прикладених до матеріальної точки,  - рівнодійна реакцій в'язей, а - сила інерції.

Сила інерції дорівнює добутку маси на прискорення точки і напрямлена протилежно до напряму прискорення:

Па підставі ІІІ закону Ньютона сила інерції є протидією по від­ношенню до сили, що надає матеріальній точці прискорення , отже, сила інерції прикладена не до самої рухомої точки, а до тих тіл, що надають цій точці прискорення .

Таким чином, можна твердити, що сила інерції  є головний вектор цілком реальних сил, але рівновага, визначена рівнянням , фіктивна, бо точка прикладання сили  умовно переноситься на матеріальну точку.

У випадку, коли рух точки задано в натуральній формі, силу інерції зручно розкласти на дві складові - нормальну  і тан­генціальну :

 і ;

напрями сил  і , відповідно протилежні напрямам нормального і тангенціального прискорень матеріальної точки.

З допомогою принципу Даламбера особливо ефективно розв’я­зується пряма задача динаміки, в якій за відомим законом руху матеріальної точки треба визначити сили, що діють на неї.

Розглянемо матеріальну точку М масою т, що знаходиться під дією сил, рівнодійна яких R має проекції R_x, R_y, R_z. Рівняння руху цієї точки можуть бути написані так:

Розглядатимемо разом з векторами, які представляють додатки до точки М сили, вектор МI з проекціями  Цей вектор, чисельно рівний відношенню маси на прискорення і направлений протилежно прискоренню, називається силою інерції, хоча це жодним чином не буде силою, прикладеній до крапки. Тоді рівняння виражають так, що геометрична сума векторів MR і MI рівна нулю, або, що в кожен момент часу існує рівновага між силою інерції і силами, дійсно прикладеними до точки.

Через X, У, Z ми позначимо проекції заданих сил.

Щоб написати, що існує рівновага між силами, які діють на точку і силою інерції, досить написати, що на всіх можливих переміщеннях  допущених зв'язками, існуючими у момент t, сума робіт заданих сил (X, Y, Z) і сили інерції рівна нулю:

Слід розрізняти три випадки:

1. Вільна точка.  довільні. Якщо застосовується довільна система координат q₁, q₂, q₃, то, замінюючи q₁, q₂, q₃ варіаціями , одержимо:

де  довільні.

Підставляючи  в рівність (1) і прирівнюючи результат до нуля при довільних , одержимо рівняння руху.