Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

1.         Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

 (т.е. ). (7)

При этом переходной процесс описывается уравнениями

x = A sin (wt+j), (8)

y = Aw cos (wt+j),

т.е. представляет собой незатухающие колебания с постоянной амплитудой А и начальной фазой – j.

На фазовой плоскости (рис. 4) эти уравнения представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями А и wA (где A – постоянная интегрирования).

Если обозначить

Уравнение эллипса можно получить решением уравнения фазовых траекторий

 (9)

Состояние равновесия определяется из условия

,

при этом x₀ = y₀ = 0.

Особая точка называется "центр" и соответствует устойчивому равновесию, так как фазовые траектории от нее не удаляются.

2. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

 (10)

При этом переходной процесс описывается уравнениями:

Из уравнения фазовых траекторий  получим уравнение

Это уравнение семейства гипербол при изменении A (рис 5).

Рис. 5

Особая точка называется "седло". Уравнения асимптот (сепаратрис) при А = 0 имеют вид:

3.         Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

 (11)

Фазовая траектория имеет вид сворачивающейся спирали (рис. 6), а точка равновесия называется "устойчивый фокус".

Рис. 6

4.         Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

 (12)

Переходный процесс представляет собой расходящиеся колебания, фазовая траектория – разворачивающаяся спираль. Особая точка называется "неустойчивый фокус" (рис. 7).

Рис. 7

5. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

 (13)

Переходный процесс имеет апериодический характер. Особая точка называется "устойчивый узел" (рис. 8).

Рис. 8

6. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

 (14)

Особая точка называется "неустойчивый узел" (рис. 9).

Рис. 9

4. Методы построения фазовых портретов

Для построения фазовых портретов можно использовать различные методы: метод дифференциальных уравнений, метод изоклин, и др.

Метод дифференциальных уравнений. Сущность метода заключается в том, что по дифференциальным уравнениям отдельных участков нелинейного элемента строят соответствующие фазовые портреты на плоскости.

Метод изоклин – это метод линий постоянного наклона.

Пусть даны уравнения нелинейной системы:

 (15)

где:  – произвольные функции.

Чтобы получить фазовый портрет исключим время:

. (16)

Пусть , при этом  – это уравнение линии в плоскости (x 0 y). Каждому значению константы с соответствует некоторая линия, обладающая следующим свойством: в каждой точке линии , т.е. если фазовая траектория пересекает изоклину, то она имеет постоянный наклон рис. 10.

y

Рис. 10

Если провести достаточное число таких линий с соответствующими наклонами, то можно построить фазовый портрет системы. При этом точность зависит от числа изоклин. Направление движения определяется по правилу: если производная , x >0, то движение такое, что x возрастает.