2. Закон Біо-Савара-Лапласа та його використання у найпростіших випадках
Ще на початку 19-го сторіччя французькі фізики Біо і Савар, обробляючи величезний експериментальний матеріал вивчення характеристик магнітного поля провідників зі струмом за участю математика Лапласа, одержали формулу, яка дістала назву у фізиці закону Біо-Савара-Лапласа.
У векторній формі цей закон має вигляд
, (11.2.1)
де - відносна магнітна проникність середовища, безрозмірна величина; о – магнітна постійна (); I – струм у провіднику; - елемент провідника; - відстань від елемента струму до точки, в якій знаходиться індукція магнітного поля (рис.11.3).
Рис.11.3
З видно, що вектор індукції магнітного поля є дотичною до силової лінії магнітного поля, яка охоплює провідник, і проходить через точку, в якій визначається індукція магнітного поля.
Напрям силової лінії визначається за допомогою правила правого гвинта, як це показано на рисунку.
Поряд із індукцією магнітного поля магнітне поле характеризується напруженістю . Ця величина не залежить від властивостей середовища і дорівнює
. (11.2.2)
Величина напруженості магнітного поля входить в одне із рівнянь Максвелла. Розмірність напруженості буде встановлена трохи пізніше.
Закон Біо – Савара - Лапласа для напруженості магнітного поля Н має вигляд
, (11.2.3)
або в скалярній формі
. (11.2.4)
Магнітному полю властивий принцип суперпозиції. Це означає, що поля від кількох джерел магнітного поля накладаються як вектори, тобто
. (11.2.5)
Знайдемо індукцію магнітного поля біля безмежного прямого провідника із струмом (рис.11.4).
Скористаємось законом Біо – Савара - Лапласа в скалярній формі
, (11.2.6)
де кут - це кут між напрямком елемента провідника із струмом і радіусом-вектором , як це показано на рис.11.4; - дотичний вектор до силової лінії, напрям якого збігаються з напрямком обертання правого гвинта.
Рис.11.4
З рисунка видно, що
dS=dlsin і dS=rd,
звідки
.
Радіус-вектор також можна виразити через ro і кут , тобто
.
З урахуванням цих зауважень закон Біо – Савара - Лапласа набуде вигляду
. (11.2.7)
Інтегруємо вираз (11.2.7) в межах зміни кута від 1 до 2, в результаті чого одержимо
. (11.2.8)
Якщо у виразі (11.2.8) 1 прямує до0, а 2 прямує до , то одержимо безмежний прямий провідник із струмом.
У цьому випадку:
а) індукція магнітного поля буде дорівнювати
. (11.2.9)
б) напруженість магнітного поля буде дорівнювати
. (11.2.10)
З останньої формули легко встановити розмірність напруженості магнітного поля
.
Знайдемо магнітне поле на осі кругового витка із струмом (рис.11.5).
Рис.11.5
Елемент провідника із струмом dl, створює на осі x індукцію магнітного поля dB. Вектор є дотичним до силової лінії, зображеної на рисунку пунктирною лінією. Складова вектора індукції магнітного поля dBy буде скомпенсована аналогічним елементом з протилежної сторони. Результуючу індукцію магнітного поля від кругового витка із струмом слід шукати в напрямку осі x (принцип суперпозиції магнітних полів).
З рисунка видно, що
. (11.2.11)
Закон Біо – Савара - Лапласа запишеться
, (11.2.12)
тут враховано, що .
Підставимо вираз (11.2.12) у (11.2.11), одержимо
. (11.2.13)
Але врахувавши, що
; і ,
одержимо
. (11.2.14)
Інтегруємо цей вираз в межах довжини витка від 0 до 2πR, одержимо
.
Таким чином, магнітна індукція на осі кругового витка дорівнює визначається за допомогою формули
. (11.2.15)
Напруженість магнітного поля у цьому випадку буде дорівнювати
. (11.2.16)
Для індукції та напруженості магнітного поля у центрі колового витка зі струмом одержимо
, (11.2.17)
. (11.2.18)
Знайдемо індукцію і напруженість магнітного поля на осі довгого соленоїда з струмом (рис.11.6).
Рис.11.6
Виділений елемент соленоїда шириною dx, в якому dN витків, що щільно прилягають один до одного, можна розглянути як круговий виток, індукція якого розраховується за формулою (11.2.15)
, (11.2.19)
Кількість витків у виділеному елементі соленоїда дорівнює
dN = ndx,
де n – число витків на одиницю довжини соленоїда.
З урахуванням цих позначень одержуємо
. (11.2.20)
Виконаємо заміну змінних у співвідношенні (11.2.20), тобто
, і .
З урахуванням цих позначень одержимо, що
.
Інтегруємо цей вираз у межах зміни кута від 1 до 2. Після інтегрування одержимо
. (11.2.21)
Якщо 10, а 2, одержимо соленоїд безмежної довжини. У цьому випадку:
а) індукція магнітного поля на осі довгого соленоїда
. (11.2.22)
б) напруженість магнітного поля на осі довгого соленоїда
. (11.2.23)
3. Магнітний момент контуру із струмом
Для плоского контуру із струмом I магнітний момент визначається співвідношенням:
, (11.3.1)
де I – струм у контурі; S – площа контуру; - нормаль до площини контуру, яка збігається з поступальним рухом правого гвинта, якщо його обертати за напрямком струму у витку.
Рис.11.7
Якщо контур із струмом розмістити у зовнішнє магнітне поле, то результуюча сила Ампера, яка діє зі сторони зовнішнього магнітного поля на контур з струмом, буде дорівнювати нулю, тобто
.
У випадку неоднорідного магнітного поля результуючий вектор сили Ампера не буде дорівнювати нулю.
Відповідні розрахунки показують, що в цьому випадку
(11.3.2)
де - похідна вектора в напрямку нормалі або градієнт вектора в напрямку нормалі до контуру; - магнітний момент контуру.
... ; - магнітна сприйнятливість. Із співвідношення (14.2.3) одержуємо: > 1- парамагнетики; < 1 - діамагнетики. Прикладом діамагнітних речовин є металевий вісмут. При внесенні шматочка вісмуту, підвішеного до нитки у зовнішнє магнітне поле, останнє цей шматочок виштовхує з магнітного поля. Парамагнітна мідь або латунь слабо втягуються у зовнішнє магнітне поле. 3. ...
... тного поля в точці на осі колового провідника радіусом R на відстані d від центра колового провідника дорівнює: . Аналогічно обчислюється індукція магнітного поля, створена іншими провідниками з струмом. 2. ЗАКОН ПОВНОГО СТРУМУ ТА ЙОГО ВИКОРИСТАННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКУ МАГНІТНИХ ПОЛІВ. ВИХРОВИЙ ХАРАКТЕР МАГНІТНОГО ПОЛЯ У електростатиці було встановлено, що робота при переміщенні одиничного ...
... вираз для макроскопічної магнітної сприйнятливості з урахуванням больцманівського розподілу ансамблю магнітних моментів по енергетичних рівнях приймає вигляд: Це і є рівняння Ван-Флека – основне в магнетохімії, пов’язуюче магнітні властивості з будовою молекул. Тут NA – число Авогадро, k – постійна Больцмана. З деякими крайніми випадками його ми вже зустрічалися вище. Якщо Е(0) = 0, а Е(2) ...
... І = const при вимірюванні. 5.3 Програма роботи 1. Вивчити будову та принципи дії мілівеберметра і мілітесламетра. 2. Вивчити лабораторну установку дослідження характеристик Ш-подібного електромагніта. 3. Експериментальним шляхом зняти вебер-амперну характеристику електромагніта . На підставі експериментальних даних провести необхідні розрахунки і побудувати криву намагнічування B = f(H) і ...
0 комментариев