Закон Біо-Савара-Лапласа та його використання у найпростіших випадках

10302
знака
0
таблиц
7
изображений

2. Закон Біо-Савара-Лапласа та його використання у найпростіших випадках

Ще на початку 19-го сторіччя французькі фізики Біо і Савар, обробляючи величезний експериментальний матеріал вивчення характеристик магнітного поля провідників зі струмом за участю математика Лапласа, одержали формулу, яка дістала назву у фізиці закону Біо-Савара-Лапласа.

У векторній формі цей закон має вигляд


, (11.2.1)

де  - відносна магнітна проникність середовища, безрозмірна величина; о – магнітна постійна (); I – струм у провіднику; - елемент провідника; - відстань від елемента струму до точки, в якій знаходиться індукція магнітного поля  (рис.11.3).

Рис.11.3

З видно, що вектор індукції магнітного поля  є дотичною до силової лінії магнітного поля, яка охоплює провідник, і проходить через точку, в якій визначається індукція магнітного поля.

Напрям силової лінії визначається за допомогою правила правого гвинта, як це показано на рисунку.

Поряд із індукцією магнітного поля  магнітне поле характеризується напруженістю . Ця величина не залежить від властивостей середовища і дорівнює

. (11.2.2)

Величина напруженості магнітного поля входить в одне із рівнянь Максвелла. Розмірність напруженості  буде встановлена трохи пізніше.

Закон Біо – Савара - Лапласа для напруженості магнітного поля Н має вигляд

, (11.2.3)

або в скалярній формі

. (11.2.4)

Магнітному полю властивий принцип суперпозиції. Це означає, що поля від кількох джерел магнітного поля накладаються як вектори, тобто

. (11.2.5)

Знайдемо індукцію магнітного поля біля безмежного прямого провідника із струмом (рис.11.4).

Скористаємось законом Біо – Савара - Лапласа в скалярній формі

,  (11.2.6)

де кут  - це кут між напрямком елемента провідника із струмом  і радіусом-вектором , як це показано на рис.11.4;  - дотичний вектор до силової лінії, напрям якого збігаються з напрямком обертання правого гвинта.

Рис.11.4

З рисунка видно, що

dS=dlsin і dS=rd,

звідки

.

Радіус-вектор  також можна виразити через ro і кут , тобто

.

З урахуванням цих зауважень закон Біо – Савара - Лапласа набуде вигляду

. (11.2.7)

Інтегруємо вираз (11.2.7) в межах зміни кута  від 1 до 2, в результаті чого одержимо

. (11.2.8)

Якщо у виразі (11.2.8) 1 прямує до0, а 2 прямує до , то одержимо безмежний прямий провідник із струмом.

У цьому випадку:

а) індукція магнітного поля буде дорівнювати

 . (11.2.9)

б) напруженість магнітного поля буде дорівнювати

. (11.2.10)

З останньої формули легко встановити розмірність напруженості магнітного поля

.

Знайдемо магнітне поле на осі кругового витка із струмом (рис.11.5).


Рис.11.5

Елемент провідника із струмом dl, створює на осі x індукцію магнітного поля dB. Вектор  є дотичним до силової лінії, зображеної на рисунку пунктирною лінією. Складова вектора індукції магнітного поля dBy буде скомпенсована аналогічним елементом з протилежної сторони. Результуючу індукцію магнітного поля від кругового витка із струмом слід шукати в напрямку осі x (принцип суперпозиції магнітних полів).

З рисунка видно, що

. (11.2.11)

Закон Біо – Савара - Лапласа запишеться

, (11.2.12)

тут враховано, що .

Підставимо вираз (11.2.12) у (11.2.11), одержимо

. (11.2.13)


Але врахувавши, що

; і ,

одержимо

.  (11.2.14)

Інтегруємо цей вираз в межах довжини витка від 0 до 2πR, одержимо

.

Таким чином, магнітна індукція на осі кругового витка дорівнює визначається за допомогою формули

.  (11.2.15)

Напруженість магнітного поля у цьому випадку буде дорівнювати

. (11.2.16)

Для індукції та напруженості магнітного поля у центрі колового витка зі струмом одержимо

,  (11.2.17)

. (11.2.18)

Знайдемо індукцію і напруженість магнітного поля на осі довгого соленоїда з струмом (рис.11.6).

Рис.11.6

Виділений елемент соленоїда шириною dx, в якому dN витків, що щільно прилягають один до одного, можна розглянути як круговий виток, індукція якого розраховується за формулою (11.2.15)

, (11.2.19)

Кількість витків у виділеному елементі соленоїда дорівнює

dN = ndx,

де n – число витків на одиницю довжини соленоїда.

З урахуванням цих позначень одержуємо

. (11.2.20)

Виконаємо заміну змінних у співвідношенні (11.2.20), тобто

, і .

З урахуванням цих позначень одержимо, що

.

Інтегруємо цей вираз у межах зміни кута від 1 до 2. Після інтегрування одержимо

. (11.2.21)

Якщо 10, а 2, одержимо соленоїд безмежної довжини. У цьому випадку:

а) індукція магнітного поля на осі довгого соленоїда

.  (11.2.22)

б) напруженість магнітного поля на осі довгого соленоїда

. (11.2.23)


3. Магнітний момент контуру із струмом

 

Для плоского контуру із струмом I магнітний момент визначається співвідношенням:

, (11.3.1)

де I – струм у контурі; S – площа контуру;  - нормаль до площини контуру, яка збігається з поступальним рухом правого гвинта, якщо його обертати за напрямком струму у витку.

Рис.11.7

Якщо контур із струмом розмістити у зовнішнє магнітне поле, то результуюча сила Ампера, яка діє зі сторони зовнішнього магнітного поля на контур з струмом, буде дорівнювати нулю, тобто

.

У випадку неоднорідного магнітного поля результуючий вектор сили Ампера не буде дорівнювати нулю.

Відповідні розрахунки показують, що в цьому випадку

 (11.3.2)

де  - похідна вектора  в напрямку нормалі або градієнт вектора  в напрямку нормалі до контуру;  - магнітний момент контуру.


Информация о работе «Магнітне поле у вакуумі»
Раздел: Физика
Количество знаков с пробелами: 10302
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 7

Похожие работы

Скачать
11620
0
7

... ;  - магнітна сприйнятливість. Із співвідношення (14.2.3) одержуємо:  > 1- парамагнетики;  < 1 - діамагнетики. Прикладом діамагнітних речовин є металевий вісмут. При внесенні шматочка вісмуту, підвішеного до нитки у зовнішнє магнітне поле, останнє цей шматочок виштовхує з магнітного поля. Парамагнітна мідь або латунь слабо втягуються у зовнішнє магнітне поле. 3. ...

Скачать
22550
0
9

... тного поля в точці на осі колового провідника радіусом R на відстані d від центра колового провідника дорівнює: . Аналогічно обчислюється індукція магнітного поля, створена іншими провідниками з струмом. 2. ЗАКОН ПОВНОГО СТРУМУ ТА ЙОГО ВИКОРИСТАННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКУ МАГНІТНИХ ПОЛІВ. ВИХРОВИЙ ХАРАКТЕР МАГНІТНОГО ПОЛЯ У електростатиці було встановлено, що робота при переміщенні одиничного ...

Скачать
43010
8
7

... вираз для макроскопічної магнітної сприйнятливості з урахуванням больцманівського розподілу ансамблю магнітних моментів по енергетичних рівнях приймає вигляд: Це і є рівняння Ван-Флека – основне в магнетохімії, пов’язуюче магнітні властивості з будовою молекул. Тут NA – число Авогадро, k – постійна Больцмана. З деякими крайніми випадками його ми вже зустрічалися вище. Якщо Е(0) = 0, а Е(2) ...

Скачать
14282
3
5

... І = const при вимірюванні. 5.3 Програма роботи 1. Вивчити будову та принципи дії мілівеберметра і мілітесламетра. 2. Вивчити лабораторну установку дослідження характеристик Ш-подібного електромагніта. 3. Експериментальним шляхом зняти вебер-амперну характеристику електромагніта . На підставі експериментальних даних провести необхідні розрахунки і побудувати криву намагнічування B = f(H) і ...

0 комментариев


Наверх