Общая модель волн материи. Формула Де-Бройля. Частица в "ящике" и частица на "орбите"

Раздел 1. Общая модель волн материи. Формула Де-Бройля Частица в "ящике" и частица на "орбите"

Самое простое, но очень полезное введение в теорию квантовых эффектов связано с представлениями о волнах материи. Этот подход старый, его очень любил Я.К. Сыркин. Он нагляден. По словам Мелвин - Хьюза "менее всего физико-химика интересует способ получения точной формулы. Ему важно понять, как устроена материя на уровне его интересов химика... ".

Этим и воспользуемся. Ещё не начитаны лекции, а мы уже очень многое сможем обсудить о квантовании важнейших движений, и даже их сравнить…

1. Два взгляда на фотон. Волна света и частица – её носитель

Носители волны света частицы - фотоны.

Это дискретные частицы поля без массы покоя.

Для них справедливы формулы:

Из волновой теории (Максвелл-Хевисайд-Эйнштейн) E=mc2(1.1).

Из квантовой модели света (Планк-Эйнштейн) E= h, где (1.2).

частота равна = c/ (1.3).

Сравнивая оба выражения, получаем равенство E = mc2 = h = hc/(1.4).

Длина световой волны получается равной  = h / mc= h/pc (1.5).

Величина mc= pc это импульс материального носителя светового поля, фотона – частицы, у которой нет массы покоя.

2. Два взгляда на частицу. Волна материи и механический объект.

Волны Де-Бройля. Импульс и длина волны. Стоячие волны материи.

Суть идеи Де-Бройля в том, что аналогично фотону любое материальное тело характеризуется волновым процессом, а длина такой волны определяется аналогичной же формулой, где скорость фотона - света, заменена механической скоростью V материальной частицы – корпускулы с массой покоя V. В таком случае длина волны материи равна  = h / mV= h/p(2.1).

На замкнутую траекторию движения частицы на линейном интервале должно укладываться целое число стоячих волн. Совсем так же, как и у обычной стоячей волны – у струны, например.

Это легко приводит к двум очень простым и важнейшим моделям движения. Это одно из крупнейших открытий физики начала 20-го века.

С этого началась ядерная и электронная эра.

"…Не следует стесняться истории науки – это один из очень важных аспектов преподавания…" (акад. Я.К. Сыркин и проф.Н.И. Гельперин)

1. Линейное движение на ограниченном интервале–потенциальный ящик. Задача 1. Получить формулу поступательных уровней частицы, движущейся на ограниченном интервале. Использовать формулу Де-Бройля.

Модель движения предельно идеализированная. Тем не менее, она с удивительной общностью описывает ряд фундаментальных эффектов и явлений.

Условия задачи:

В этой простейшей системе частица…

- движется на прямолинейном интервале L между двумя идеально отражающими стенками,…

- претерпевает абсолютно упругие удары о стенки, …

- отражается и движется вспять…

Изменяется направление вектора скорости (импульса), но модуль сохраняется. Это поступательное движение строго периодическое.

Потенциальная энергия внутри “ящика” намного меньше, чем за его пределами, и для простоты принята равной нулю

U(<0x<L) =0(3.1).

Полная энергия частицы содержит только кинетическую составляющую. T=mV2/2=p2/2m (1.1).

Подобно вибрации ограниченной струны, на отрезке пути длиною L может укладываться лишь целое число полуволн де Бройля, и отсюда следует квантование и модуля импульса, и энергии.

Полагая n (/2) = L "nÎN(1,2,3,…¥), (1.2)

получаем =2L /n=h/p, (1.3)

а далее p/h = n /2L, (1.4)

откуда p = n h /2L "nÎN(1,2,3,…¥), (1.5)

и кинетическая энергия – она же и полная энергия, поскольку потенциальная равна нулю, естьE=T= p2/2m = n2h2/22L2´2m. (1.6)

Окончательно формула полной энергии предписывает дискретные значения, зависящие от внешнего "чужого" целочисленного параметра - числа nÎN(1,2,3,…),

которое может быть любым в пределах множества N чисел натурального ряда.

Получилась формула квантования энергии в виде дискретных энергетических уровней. Уровни суть просто численные значения полной энергии. Они дискретны - квантованы, и потому нумеруемы:

En= n2 (h2/8mL2) "nÎN(1,2,3,…¥) (1.7).

Множество всех уровней называется энергетическим спектром данной системы. Графическое изображение энергетических уровней в масштабеназывается энергетической диаграммой. Для её построения введём постоянную энергии для данного "ящика":

Bt=h2/8mL2 (1.8).

Уровни располагаются тем выше, чем больше эта величина. Её удобно вычислить отдельно. Например, рассмотрим результаты для электрона на расстоянии порядка атомных размеров (примерно L»2-3 Ao).

Расстояние между квантованными уровнями энергии частицы в “ящике” зависит от массы частицы и размеров ящика, и квантование проявляется только для микрочастиц в пространстве, соответствующем атомным размерам.

В системе SI

диэлектрическая константа вакуума в СИ:

1/40´н´м2Кл-2,

масса электрона m=9.1´10-31 кг,

константа Планка h=6.62´10-34 Дж´с;

циклическая константа Планка h’=1.05´10-34 Дж´с;

Длина ящика L=2.5´10-10 м.

В системе CGSE

диэлектрическая константа вакуума в СИ: 1/40,

масса электрона m=9.1´10-28 г,

константа Планка h=6.62´10-27 э´с;

циклическая константа Планка h’=1.05´10-27 э´с/рад;

Длина ящика L=2.5´10-8 см.

Подставляя в формулу для постоянной ящика, находим её значение:

Bt=h2/8mL2 = (6.62´10-34 Дж´с) 2 /

[8´9.1´10-31 кг ´ (2.5´10-10 м) 2] =

= 9.63´10-19 Дж2´с2´кг –1´м –2

Размерность: Дж2´с2´кг –1´м –2 = Дж2´ (н-1´м-1) = Дж 2´ Дж-1= Дж

Bt=9.63´10-19 Дж

В системе CGSE эта величина в эргах по модулю на 7 порядков больше:

Bt=9.63´10-12 эрг

Легко построить диаграмму уровней "ящика", откладывая соответствующие отметки на оси ординат – оси энергии (см семинар по ящику с применением уравнения Шрёдингера). В пересчёте к привычной шкале на один моль это даёт

Bt=9.63´10-19´6.023´1023 Дж » 57.7´104 Дж/моль » 577 кДж/моль.

Получен порядок величин энергетических уровней в систем СИ, для частицы, "зажатой" в объём, который примерно вдвое - втрое больше размера атома. Это значение резко и быстро падает, если размер "ящика" возрастает…

На дистанции, скажем в 15 ангстрем (это примерно расстояние между частицами газа при нормальных условиях) это значение упадёт в 36 раз и будет порядка лишь 15 кДж/моль. Дальше-больше!

И это для очень лёгкого электрона.

А если частица уже хотя бы атом водорода, который примерно в в 1840 (»2000) раз более тяжёлая частица, то дистанция между поступательными уровнями становится очень малой – практически неощутимой. Джоули на один моль – этот порядок величины экспериментально неуловим. Возникает практически континуум –непрерывное распределение поступательной энергии молекулярного движения. Этот результат для нас необычайно важен.