Сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше единицы, т.е

2. Сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше единицы, т.е.

 

Доказать это утверждение несложно.

Для любой отрасли условно чистая продукция есть величина положительная, поскольку включает в себя заработную плату, амортизацию, прибыль и т.д., т.е. V_j>0. Поэтому, используя соотношение (3.2), можно записать:

 из соотношения (3.3):

откуда безусловно следует:

таким образом, утверждение доказано.

Можно показать, что при выполнении этих двух условий матрица B = (E - A) - ¹ существует и если ее элементы неотрицательны. Говорят, что в этом случае матрица прямых затрат А является продуктивной.

Перепишем формулу (3.5):

X = BY, (3.6)

Матрица В носит название матрицы полных материальных затрат, а ее элементы b_ij называют коэффициентами полных материальных затрат. Коэффициент b_ij показывает, каков должен быть валовый выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.

Можно показать, что

B = E + A + A² + A³ +... (3.7)

Умножим обе части на (E - A):

B (E - A) = (E + A + A² + A³ +. .) (E - A),

B (E - A) = E + A + A² + A³ +. - A - A² - A³ - ...,

B (E - A) = E,

B = E / (E - A),

B = (E - A) - ¹.

Доказано.

Из соотношения (3.7) следует b_ij ≥ a_ij,  Таким образом, коэффициент полных материальных затрат b_ij, описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат a_ij, рассчитываемого на единицу валового выпуска.

Кроме того, из соотношения (3.7) для диагональных элементов матрицы B следует:

b_ii ≥ 1,

Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат проще всего проследить на примере: пусть единицей выпуска хлебопекарной промышленности является хлеб (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 - Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат

Полные затраты электроэнергии для нашего примера складываются из прямых затрат и косвенных затрат всех уровней. Косвенные затраты высоких уровней являются незначительными и при практических расчетах ими можно пренебречь.

3. Модель межотраслевого баланса затрат труда

Предполагается, что труд выражается в единицах труда одинаковой степени сложности. Обозначим затраты живого труда в производстве j-го продукта через L_j, объем выпущенной продукции, как и прежде, X_j. Тогда коэффициент прямых затрат труда:

Определим полные затраты труда, как сумму прямых затрат живого труда и затрат овеществленного труда, перенесенного на продукт через израсходованные средства производства.

Формирование полных затрат труда в модели происходит по схеме, представленной на рисунке 3.2

Рисунок 3.2 - Порядок формирования полных затрат труда

где T_j - полные затраты труда на единицу j-го продукта; t_j - прямые затраты труда на единицу j-го продукта; a_ijT_i - затраты овеществленного труда, перенесенного на j-й продукт через i-е средство производства.

Таким образом:

 

Иначе, если известны коэффициенты полных материальных затрат b_ij, можно записать:

 

Более компактно соотношение можно записать в матричном виде:

T = tB,

где T = (T₁, T₂,..., T_n) - вектор-строка коэффициентов полных затрат труда;

t = (t₁, t₂,..., t_n) - вектор-строка коэффициентов прямых затрат труда.

Аналогично трудовым затратам в межотраслевой модели могут быть учтены показатели фондоемкости изделий.

Василий Леонтьев, характеризуя значение балансовых моделей, писал: "Чтобы прогнозировать развитие экономики, нужен системный подход. Экономика каждой страны - это большая система, в которой много различных отраслей, и каждая из них что-то производит - промышленную продукцию, услуги и т.д., которые предлагаются другим отраслям. Каждое звено, компонент системы может существовать только потому, что получает что-то от других. Для производства каждого вида продукции нужно напрямую использовать большое количество других товаров, а еще больше - опосредованно.

Мы изучаем одну страну, беря в расчет 600-700 отдельных отраслей, японцы доходят до 2000".

4. Пример расчета межотраслевого баланса

Рассмотрим 2 отрасли промышленности: производство угля и стали. Уголь требуется для производства стали и некоторое количество стали в виде инструментов требуется для добычи угля. Предположим, что условия таковы: для производства 1 т. стали нужно 3 т. угля, а для 1 т. угля - 0,1 т. стали.

Отрасль	Уголь	Сталь
Уголь	0	3
Сталь	0.1	0

Мы хотим, чтобы чистый выпуск угольной промышленности был тонн угля, а стальной промышленность - тонн стали. Если каждая из них будет производить лишь и тонн, то часть продукции будет использоваться в другой отрасли. Для производства тонн стали требуется тонн угля, а для производства тонн угля нужно тонн стали. Чистый выход будет равен: тонн угля и тонн стали. Нам нужно дополнительно производить уголь и сталь, чтобы использовать их в другой отрасли. Обозначим x₁ - количество угля, x₂ - количество стали. Валовый выпуск каждой продукции найдем из системы уравнений:

Решение: (500000; 100000). Для систематического решения задач расчета межотраслевого баланса находят, сколько угля и стали требуется для выпуска 1 т. каждого продукта.

x₁ = 1,42857 и x₂ = 0,14286. Чтобы найти, сколько угля и стали нужно для чистого выпуска т. угля, нужно умножить эти цифры на . Получим: (285714; 28571). Аналогично составляем уравнения для получения количества угля и стали для выпуска 1 т. стали:

x₁ = 4.28571 и x₂ = 1.42857. Для чистого выпуска т. стали нужно: (214286; 71429). Валовый выпуск для производства тонн угля и тонн стали: (285714 + 214286; 28571 + 71429) = (500000; 100000).

Список использованных источников

1.         Герасенко В.П. Прогностические методы управления рыночной экономикой. Учебное пособие. - Гомель, 1997

2.         Горелов С.А. Математические методы в прогнозировании. - М.: Прогресс, 2003

3.         Карасев А.И. Математические модели в планировании. - М., 2004

4.         Орешин В.П. Государственное регулирование национальной экономики. - М., 1999

5.         Основы экономического и социального прогнозирования. / Под ред. Н.А. Мосина - М.: Высшая школа, 2005

6.         Прогнозирование и планирование экономики. / Под ред. В.И. Борисевича, Г.А. Кандауровой. - Мн., 2000

7.         Цыгичко В.А. Основы прогнозирования систем. - М.: Финансы и статистика, 2006.

8.         Леонтьев В.В. Экономические эссе. Теории, исследования, факты и политика: Пер. с англ. / В.В. Леонтьев. - М.: Политиздат, 1990. - 415 с.

9.         М.Р. Ефремова, Е.В. Петрова "Общая теория статистики": учебник, 2007 г.

10.      Сироткина Т.С., Каманина А.М. Основы теории статистики: учебное пособие. - М.: АО "Финстатинформ", 1995.