Статистический анализ

1. Анализ распределения элементов статистического ряда

Исходная таблица содержит данные по количеству выявленных лиц, совершивших кражи чужого имущества в населенных пунктах А и Б с 1961 по 2000 гг. В то время было принято измерять временные интервалы пятилетиями. В интервале с 1961 г. по 2000 г. укладывается ровно 8 пятилеток.

Таблица 1. Группировочная таблица по числу выявленных лиц в населенных пунктах А и Б с 1 по 8 пятилетку

Пятилетка	1	2	3	4	5	6	7	8
Населенный пункт А	173	109	236	137	159	235	79	116
Населенный пункт Б	360	380	339	387	454	286	181	256

С точки зрения статистики у нас появились два вариационных ряда для признаков Х (населенный пункт А) и У (населенный пункт Б) с одинаковым числом вариантов n = 8 без выделения частот и относительных частот. Одновременно эти ряды являются рядами динамики для одного и того же временного интервала с 1 по 8 пятилетку. Графически они могут быть представлены в виде полигонов как ряды динамики.

В рамках данной темы целесообразнее рассматривать интервальные ряды для распределения числа выявленных лиц по населенным пунктам А и Б.

Таблица 2. Интервальные ряды для числа выявленных лиц по населенным пунктам А и Б

№	1	2	3	4	5	6	7	8
А	173	109	236	137	159	235	79	116
Б	360	380	339	387	454	286	181	256

Таблица 2 служит таблицей частот. Для построения гистограмм лучше рассмотреть относительные частоты.

Таблица 3. Статистическое распределение интервальных рядов

i	1	2	3	4	5	6	7	8
(Wi) А	0,14	0,09	0,19	0,11	0,13	0,19	0,06	0,09
(Wi) Б	0,14	0,14	0,13	0,15	0,17	0,11	0,07	0,10

Относительные частоты вычисляются по формуле:

Wi = n_i/n, (n = 1, 2, 3, …, 8),

где n_а = 1244, n_б = 2643

Диаграмма 1. Гистограмма относительных частот числа выявленных лиц по населенному пункту А

Диаграмма 2. Гистограмма относительных частот числа выявленных лиц по населенному пункту Б

Населенный пункт А характеризуется неравномерностью распределения числа выявленных лиц, совершивших кражи. Пики преступности данного вида приходятся на 3 и 6 пятилетки. Относительное снижение преступности отмечается в 7 пятилетке (выявлено всего 79 лиц, относительная частота на гистограмме составил W₇ = 0,06). В целом усматривается незначительное снижение уровня преступности.

В населенном пункте Б уровень рассматриваемой преступности выше, чем в населенном пункте А. Обострение преступности произошло в 5 пятилетки. 7-ая пятилетка была спокойнее остальных.

  2. Вычисление основных статистических параметров

Таблица 4. Основные статистические параметры рядов распределения

	Среднее значение	Среднее квадратичное отклонение	Асимметрия	Эксцесс
А	155,5	53,661	0,33	46,135
Б	330,375	80,404	-0,39	-0,66

Среднее значение вычисляется по формуле:

Х = 1/8 ∑х

Среднее квадратичное отклонение

б = √х² – (х)²

Асимметрия

As = М³/ б³

Эксцесс

Ех = М⁴/ б⁴

где М³ = 1/8 ∑(х_i – х)³,

М⁴ = 1/8 ∑(х_i – х)⁴.

Отметим промежуточные результаты:

М³(А) = 51664,875;

М⁴(А) = 407404409,3;

М³(Б) = -201499,2539;

М⁴(Б) = 97879670,62.

Видно, что в населенном пункте Б средний уровень преступности почти в 2 раза больше, чем в населенном пункте А.

У соответствующих двух рядов распределения разный характер асимметрии. Довольно большой эксцесс у первого признака, у второго – незначительный.

Заметим, что нулевое значение эксцесса характерно для нормального закона распределения (распределения Гаусса).

3. Анализ динамических рядов

Таблица 5. Ряды динамики числа выявленных лиц по населенным пунктам А и Б

Номер пятилетки	1	2	3	4	5	6	7	8
Х	173	109	236	137	159	235	79	116
У	360	380	339	387	454	286	181	256

Таблица 6. Основные показатели динамики по населенному пункту А

Пятилетка	Число лиц	Абсолютный прирост (∆)		Темп роста Тр, %		Темп прироста Тпр, %		Абсолютное значение 1% прироста
		цеп ной	базис ный	цеп ной	базисный	цепной	базисный
1	173	-	-	100,0	100,0	0,0	0,0	-
2	109	-64	-64	63,0	-37,0	-37,0	-37,0	1,73
3	236	127	63	216,5	136,4	116,5	36,4	1,09
4	137	-99	-36	58,1	79,2	-41,9	-20,8	2,36
5	159	22	-14	116,1	91,9	16,1	-8,1	1,37
6	235	76	63	147,8	135,8	47,8	35,8	1,59
7	79	-166	-94	33,6	45,7	-66,4	-54,3	2,35
8	116	37	-57	146,8	67,1	46,8	-32,9	0,79
В среднем	155,5		-8		82,5		-17,5

Таблица 7. Основные показатели динамики по населенному пункту Б

Пятилетка	Число лиц	Абсолютный прирост (∆)		Темп роста Тр, %		Темп прироста Тпр, %		Абсолютное значение 1% прироста
		цеп ной	базис ный	цеп ной	базисный	цепной	базисный
1	360	-	-	100,0	100,0	0,0	0,0	-
2	380	20	20	105,6	105,6	5,6	5,6	3,6
3	339	-41	-21	89,2	94,2	-10,8	-5,8	3,8
4	387	48	27	114,2	107,5	14,2	7,5	3,39
5	454	67	94	117,3	126,1	17,3	26,1	3,87
6	286	-132	-74	63,0	79,4	-37,0	-20,6	4,54
7	181	-105	-179	63,3	50,3	-36,7	-49,7	2,86
8	256	75	-104	141,1	71,1	41,4	-28,9	1,81
В среднем	330,4		-15		87,2		-12,8

Диаграмма 3. Графическое изображение рядов динамики по населенным пунктам А (сплошная линия) и Б (пунктирная линия)

При заполнении таблиц 6 и 7 использованы формулы для цепной формы расчета:

∆ = у – у_i,

Тр = у_i/у_{i – 1},

Тпр = Тр – 1,

А = у_{i – 1}/100

и для базисной формы:

∆ = у_i – у₀,

Тр = у_i/у₀,

Тпр = Тр – 1,

∆^- = ∆/7,

Тр^- = ⁷√(Тр)₁ (Тр)₂ … (Тр)₇.

Графики и расчетные таблицы говорят о небольшом снижении уровня краж по населенным пунктам А и Б. В среднем абсолютное снижение больше у населенного пункта Б, а темп снижения больше у пункта А. Но сам уровень преступности все время остается выше в населенном пункте Б.

  4. Корреляционная зависимость

Парный коэффициент корреляции

Ч_ху = ху^- – х^-*у^-/б_хб_у.

После вычисления среднего значения

ху^- = 1/8∑х_iy_i = 52514,25

получаем Ч_ху = 0,26

Корреляционная зависимость слабая.

У величины Ч_ху как у случайной величины есть среднее квадратичное отклонение

m_ч = √1-ч²/n-2 = 0,4

Величина t_ч = ч/ m_ч распределена по закону Стьюдента со степенью свободы к = n – 2 = 6.

При уровне значимости а = 0,05

Табличное значение

t_табл = 2,4469

Предельная ошибка

∆ч = t_табл * m_ч = 0,98.

Поскольку вообще -1≤ч_ху≤1, то вычисленная ошибка ∆ч = 0,98 смысла не имеет. Причина кроется в слабой тесной связи признаков х и у.

  5. Уравнение регрессии

Линейная регрессия у = а + вх рассчитывается по формуле:

ỷ – у^- = ч б_у/б_х (х-х^-),

ỷ – 330,4 = 0,26 * 80,404/53,661 (х – 155,5),

ỷ = 0,39х + 269,8

Критерий Фишера имеет расчетное значение

F = (tч)⁴ = (ч/ m_ч)⁴ = 0.18

При надежности 95% табличное значение F _табл = 5,99. со степенями свободы к₁ = 1, к₂ = 6.

Так как F = 0,18 ‹ 1, следует перейти к обратной величине F_факт = 5,55. Но тогда и F _табл = 233,97 для степеней свободы к₁ = 6, к₂ = 1.

Мы видим, что все уравнение регрессии не значимо.

Абсолютная ошибка ∆у зависит от конкретного значения х и рассчитывается по формуле:

∆у = б_ост √1+1/8 + ∑(х – х^-)²/8б_х²,

Где в свою очередь,

б_ост = √∑(у_i –ỷ_i)²/6.

По формуле ỷ = 269,8 + 0,39х найдем восемь значений ỷ(х):

337 312 362 323 332 361 301 315

Значит, б_ост = 89,373.

Самая малая ошибка ∆у будет при х = х^-:

(∆у)_min = 34,8 * 2,4469 = 232.

Для ошибки это слишком много. Это объясняется слабой теснотой корреляционной зависимости.

  6. Обобщение статистических данных и статистический анализ

После группировки исходных данных по пятилетним периодам получились вариационные интервальные ряды.

Поэтому в их ранжировке нет необходимости.

После построения гистограмм выяснилось, что распределения сильно отличаются от распределения Гаусса. Поэтому их исследование с помощью понятий асимметрии и эксцесса становится формальным.

Вычисление средних значений позволило сделать вывод о почти двукратном превышении показателя преступности в населенном пункте Б. Это подтверждает и сравнительная диаграмма 3.

В течение первых шести пятилеток в населенных пунктах А и Б отмечались противоположные тенденции по динамике уровня выявленных лиц, а в последние две пятилетки эти тенденции совпадали. В целом заметно небольшое снижение уровня преступности данного вида. На это указали и расчеты при заполнении таблиц 6 и 7.

Как и ожидалось, корреляционная зависимость показателей по двум населенным пунктам оказалась слабой. Оказалось незначимой и сама регрессионная линейная модель.

По этой причине потеряли практический смысл оценки ошибок для линейного коэффициента корреляции и для прогнозных значений регрессии.

Список использованной литературы

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для ВУЗов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.

2. Практикум по эконометрике: Учебное пособие. Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2003.

3. Эконометрика: Учебник. Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2004.

4. Шимко П.Д., Власов М.П. Статистика/ Серия «Учебники, учебные пособия». – Ростов на Дону: Феникс, 2003.

5. Глинский В.В., Ионин В.Г. Статистический анализ: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Сибирское соглашение, 2002.

6. Сборник задач по теории статистики: Учебное пособие / Под ред. В.В. Глинского и Л.К. Серга. – М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Сибирское соглашение, 2002