Экономическое моделирование в банковской сфере

Задание 1

В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов).

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y (t)	43	54	64	41	45	58	71	43	49	62	74	45	54	66	79	48

 

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α₁ = 0,3; α₂ = 0,6; α₃ = 0,3.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r₁ = 0,32;

нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1. Для оценки начальных значений а (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y (t). Линейная модель имеет вид:

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:

Таблица 1

t	Y (t)	t-tср	(t-tср) 2	Y-Yср	(Y-Yср) х (t-tср)
1	43	-4	12	-9	33
2	54	-3	6	2	-4
3	64	-2	2	12	-17
4	41	-1	0	-11	6
5	45	1	0	-7	-4
6	58	2	2	6	8
7	71	3	6	19	47
8	43	4	12	-9	-33
36	419	0	42	0	36

Произведем расчет:

Получим линейное уравнение вида:

Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу.

Таблица 2. Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели

t	Y (t)	Yp (t)
1	43	49,42
2	54	50,26
3	64	51,11
4	41	51,95
5	45	52,80
6	58	53,64
7	71	54,49
8	43	55,33

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.

Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F (-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y (t) I квартала первого года, равное , и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) .

Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для II, III и IV кварталов:

Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 3) используя следующие формулы:

Таблица 3. Модель Хольта-Уинтерса

t	Y (t)	a (t)	b (t)	F (t)	Yp (t)	Абс. погр., E (t)	Отн. погр., в%
0		48,57	0,85	0,8612	-		-
1	43	49,57	0,89	0,8650	42,56	0,44	1,03
2	54	50,35	0,86	1,0746	54,39	-0,39	0,72
3	64	50,88	0,76	1,2658	65,43	-1,43	2,24
4	41	51,85	0,82	0,7877	40,44	0,56	1,37
5	45	52,48	0,76	0,8605	45,56	-0,56	1,24
6	58	53,46	0,83	1,0807	57,21	0,79	1,36
7	71	54,83	0,99	1,2833	68,73	2,27	3, 20
8	43	55,45	0,88	0,7803	43,97	-0,97	2,26
9	49	56,52	0,94	0,8644	48,47	0,53	1,07
10	62	57,43	0,93	1,0801	62,09	-0,09	0,15
11	74	58,15	0,87	1,2769	74,89	-0,89	1, 20
12	45	58,61	0,74	0,7728	46,05	-1,05	2,34
13	54	60,29	1,03	0,8832	51,31	2,69	4,99
14	66	61,25	1,01	1,0785	66,23	-0,23	0,34
15	79	62,14	0,97	1,2735	79,50	-0,50	0,63
16	48	62,81	0,88	0,7676	48,77	-0,77	1,61
							25,75

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E (t) (разности  между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 4.

Таблица 4. Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t	E (t)	Точка поворота	E (t) 2	[E (t) - E (t-1)] 2	E (t) xE (t-1)
1	0,44	-	0, 194	-	-
2	-0,39	0	0,150	0,69	-0,17
3	-1,43	1	2,05	1,09	0,55
4	0,56	1	0,32	3,98	-0,81
5	-0,56	1	0,31	1,26	-0,32
6	0,79	0	0,62	1,81	-0,44
7	2,27	1	5,17	2,21	1,79
8	-0,97	1	0,95	10,54	-2,21
9	0,53	1	0,28	2,24	-0,51
10	-0,09	0	0,01	0,38	-0,05
11	-0,89	0	0,78	0,63	0,08
12	-1,05	1	1,11	0,03	0,93
13	2,69	1	7,26	14,03	-2,83
14	-0,23	0	0,05	8,52	-0,61
15	-0,50	0	0,25	0,07	0,11
16	-0,77	-	0,60	0,08	0,38
Сумма	0,41	8,00	20,09	47,57	-4,09