Рассчитать точечную и интервальную прогнозную оценку с периодом упреждения, равным t = 1

6.         рассчитать точечную и интервальную прогнозную оценку с периодом упреждения, равным t = 1.

1)

t	yt	Скользящая сумма 3 уровней	Скользящая средняя из 3 уровней
1	11,9	-
2	12,6	36,7	18,35
3	12,2	38,7	19,35
4	13,9	40,4	20,2
5	14,3	42,8	21,4
6	14,6	44,2	22,1
7	15,3	44,3	22,15
8	14,4	45,5	22,75
9	15,8	46,9	23,45
10	16,7	49,9	24,95
11	17,4	50,2	25,1
12	16,1	-	-

Рис. 2. Еженедельный оборот магазина «Ткани для дома» (исходный и сглаженный ряд)

После построения графика (рис. 2) можно сделать вывод о наличии возрастающей тенденции. После построения сглаженного ряда стало более наглядно видно наличие возрастающей тенденции.

2). а) Метод Фостера – Стюарта

t	Yt	Ut	lt	S	D	Pt
1	11,9	-	-	-	-	-
2	12,6	1	0	1	1	1
3	12,2	0	0	0	0	1
4	13,9	1	0	1	1	3
5	14,3	1	0	1	1	4
6	14,6	1	0	1	1	5
7	15,3	1	0	1	1	6
8	14,4	0	0	0	0	5
9	15,8	1	0	1	1	8
10	16,7	1	0	1	1	9
11	17,4	1	0	1	1	10
12	16,1	0	0	0	0	9
	175,2			8	8	61

Выдвинем нулевую гипотезу: во временном ряде (данные графы 2) нет тенденции среднего уровня и нет тенденции дисперсии. Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы необходимо рассчитать по формулам  и  значения t₁ и t₂. Но для этого надо знать значения μ, σ₁,σ₂ . В приложении 1 приведены данные для n=10 и для n=15, а нам надо найти данные для n=12.

Для нахождения данных при n=12 используем принцип интерполяции, предположив, что эти данные в интервале от n=10 до n=15 изменяются линейно, т.е. равномерно. Поэтому нам нужно к значениям данных при n=10 прибавить их изменения за два (2=12–10) шага и получить искомые данных.

 Найдем μ для n=12 следующим образом. Значение μ для n=10, согласно приложению 1, равно 3,858. Увеличение μ при изменении n на 2 шага найдем следующим образом

.

Отсюда μ(12)=μ(10)+Δμ=3,858+0,311=4,169. Аналогичным образом найдем значения для σ₁(12)=1,381 и для σ₂(12)=2,040. По формулам (2.7) найдем значения t₁ и t₂

 = (8 – 4,169)/1,381 = 3,326;  = (8-0)/2,040 = 3,92

Случайные величины t₁ и t₂ имеют распределение Стьюдента с числом степеней свободы К = n – 1 = 12 – 1 = 11 и уровнем значимости a, который может принимать значения 0,01; 0,05 и т.д. Примем уровень значимости (вероятность, с которой исследователь может ошибиться), равный 0,05 (5%). На основе выбранного уровня значимости а = 0,05 рассчитаем доверительную вероятность: g = 1 – а = 1 – 0,05 = 0,95.

По числу степеней свободы К = 11 и величине доверительной вероятности g = 0,95 по таблице «Значение t-критерия Стьюдента» (Приложение 1)определим табличное значение случайной величины (t_g): t_g = 2,201.

Расчетные значения t₁ и t₂ сопоставим с табличным t_g.

Если сопоставить расчетные значения t₁ и t₂ с табличным t_g, то может возникнуть четыре ситуации.

1) |t₁| > |t_g|.

Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции отвергается и с вероятностью g во временном ряде имеет место тенденция дисперсии.

2) |t₁| < |t_g|.

Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции принимается и с вероятностью g во временном ряде нет тенденции дисперсии.

3) |t₂| > |t_g|.

Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции отвергается и с вероятностью g во временном ряде имеет место тенденция в среднем.

4) |t₂| < |t_g|.

Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции принимается и с вероятностью g во временном ряде нет тенденции в среднем.

1) 3,326 > 2,201; 3,92 > 2,201Þ нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции отвергается и с вероятностью g = 0,95 можно говорить, что во временном ряде имеет место тенденция дисперсии

б) Метод коэффициента Кенделла

Определим расчетное значение коэффициента Кендэла (t_р):

tр =	4 × р	– 1,
	n × (n – 1)

где n – количество уровней во временном ряде.

tр =	4 × 61	– 1 = 0,85
	12 × (12 – 1)

Коэффициент Кендэла является случайной величиной, соответствует нормальному распределению и изменяется от -1 до +1. Теоретическими характеристиками коэффициента Кендэла являются математическое ожидание, которое равно нулю (М_t = 0) и дисперсия, рассчитываемая по формуле:

st2 =	2 × (2 × n + 5)	.
	9 × n × (n – 1)

st2 =	2 × (2 × 12 + 5)	=	58	= 0,049
	9 × 12 × (12 – 1)		1188

Если сопоставить расчетное и теоретическое значение коэффициента Кендэла, то может возникнуть три ситуации.

1) (0 – t_d ×) < t_р < (0 + t_d ×),

где t_d – коэффициент доверия.

Данный вариант означает, что с вероятностью t_d во временном ряде нет тренда.

2) t_р < (0 – t_d ×)

Данный вариант означает, что с выбранной вероятностью в ряде имеет место убывающая тенденция.

3) t_р > (0 + t_d ×)

Данный вариант означает, что с выбранной вероятностью в ряде имеет место возрастающая тенденция.

При выбранной вероятности 0,95 (95%) коэффициент доверия t_d = 1,96.

t_р > (0 + 1,96 × )

0,85 > + 0,434

Таким образом, с вероятностью 0,95 (95%) можно говорить о наличии в ряде возрастающей тенденции в среднем (тренда).

В ходе анализа временного ряда на наличие в нем тенденции среднего уровня (тренда) по методу Фостера – Стюарта и методу коэффициента Кенделла получены аналогичные результаты. Следовательно, в ряде отмечается возрастающая тенденция в среднем.

Таким образом, визуальная оценка нашла свое подтверждение в ходе аналитических расчетов с использованием соответствующих методов оценки временного ряда на наличие в нем тенденции.

3). Метод усреднения по левой и правой половине

Метод усреднения по левой и правой половине - графический метод, используется для нахождения параметров линейного тренда.

Для нахождения параметров а₀ и а₁ разделим исходные данные пополам и по каждой половине рассчитаем средние значения фактора и уровня ряда.

1 =	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6	= 3,5
	6

1 =	11,9 + 12,6 + 12,2 + 13,9 + 14,3 + 14,6	= 13,25
	6

2 =	7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12	= 9,5
	6

2 =	15,3 + 14,4 + 15,8 + 16,7 + 17,4 + 16,1	= 15,95
	6

В результате расчетов получили две точки: А (3,5; 13,25), В (9,5; 15,95).

Построим графическую модель исходного временного ряда и найдя точки А и В, проведем через них прямую, которая будет отображать тенденцию исходного временного ряда (рис. 3).

yt

Рис. 3. Еженедельный оборот магазина «Ткани для дома» (исходный ряд и линейный тренд)

Из графика видно, что построенный линейный тренд отражает тенденцию исходного ряда: возрастающий тренд.

Для нахождения параметра а₀ продолжим линию до пересечения с осью ординат. Чтобы найти параметр а₁, преобразуем уравнение тренда:

а₁t = – а₀ | :t

а1 =	– а0
	t

Зададимся произвольным значение параметра t (например, t = 3,5). По графику модели найдем значение параметра а₀ (а₀ = 13,45). Рассчитаем значение параметра а₁.

а1 =	13,25 – 11,8	= 0,41
	3,5

Таким образом, уравнение линейного тренда будет иметь следующий конкретный вид:

= 11,8+ 0,41t.

4). Расчет параметров линейного тренда _t= а₀ + а₁t по исходным данным методом МНК.

t	y	t2	yt
1	11,9	1	11,9
2	12,6	4	25,2
3	12,2	9	36,6
4	13,9	16	55,6
5	14,3	25	71,5
6	14,6	36	87,6
7	15,3	49	107,1
8	14,4	64	115,2
9	15,8	81	142,2
10	16,7	100	167
11	17,4	121	191,4
12	16,1	144	193,2
78	175,2	650	1204,5

Для нахождения параметров строится система нормальных уравнений.

=(175,2*650-78*1204,5)/(12*650-78*78)=11,614;

=(12*1204,5-175,2*78)/(12*650-78*78)=-0,459

Расчет параметров параболического тренда _t= а₀ + а₁t + a₂t² по исходным данным методом МНК.

t	y	t2	yt	t4	yt2	t3
1	11,9	1	11,9	1	11,9	1
2	12,6	4	25,2	16	50,4	8
3	12,2	9	36,6	81	109,8	27
4	13,9	16	55,6	256	222,4	64
5	14,3	25	71,5	625	357,5	125
6	14,6	36	87,6	1296	525,6	216
7	15,3	49	107,1	2401	749,7	343
8	14,4	64	115,2	4096	921,6	512
9	15,8	81	142,2	6561	1279,8	729
10	16,7	100	167	10000	1670	1000
11	17,4	121	191,4	14641	2105,4	1331
12	16,1	144	193,2	20736	2318,4	1728
78	175,2	650	1204,5	60710	10322,5	6084

Для нахождения параметров строится система нормальных уравнений.

na₀ + a₁St + a₂St² = Sy;

a₀St + a₁St² + a₂St³ = Syt;

a₀St² + a₁St³ + a₂St⁴ = Syt².

а0 =	Sy St2 St4 + St St3 Syt2 + Syt St3 St2 – St Syt St4 – St3 St3 Sy – St2 St2 Syt2	.
	n St2 St4 + St St3 St2 + St St3 St2 – St2 St2 St2 – St3 St3 n – St St St4

а0 =	175,2 × 650 × 60710 + 78 × 6084 × 10322,5 + 1204,5 × 6084 × 650 – 78 × 1204,5 × 60710 –
	12 × 650 × 60710 + 78 × 6084 × 650 + 78 × 6084 × 650 – 650 × 650 × 650 –

– 6084 × 6084 × 175,2 – 650 × 650 × 10322,5	= 11,12.
– 6084 × 6084 × 12 – 78 × 78 × 60710

а1 =	n Syt St4 + St Syt2 St2 + Sy St3 St2 – St2 Syt St2 – Syt2 St3 n – Sy St St4	.
	n St2 St4 + St St3 St2 + St St3 St2 – St2 St2 St2 – St3 St3 n – St St St4

а1 =	12 × 1204,5 × 60710 + 78 × 10322,5 × 650 + 175,2 × 6084 × 650 – 650 × 1204,5 × 650 –
	12 × 650 × 60710 + 78 × 6084 × 650 + 78 × 6084 × 650 – 650 × 650 × 650 –

– 10322,5 × 6084 × 12 – 175,2 × 78 × 60710	= 0,67.
– 6084 × 6084 × 12 – 78 × 78 × 60710

а2 =	n St2 Syt2 + St St3 Sy + St Syt St2 – Sy St2 St2 – Syt St3 n – St St Syt2	.
	n St2 St4 + St St3 St2 + St St3 St2 – St2 St2 St2 – St3 St3 n – St St St4

а2 =	12 × 650 × 10322,5 + 78 × 6084 × 175,2 + 78 × 1204,5 × 650 – 175,2 × 650 × 650 –
	12 × 650 × 60710 + 78 × 6084 × 650 + 78 × 6084 × 650 – 650 × 650 × 650 –

– 1204,5 × 6084 × 12 – 78 × 78 × 10322,5	= -0,016.
– 6084 × 6084 × 12 – 78 × 78 × 60710

Таким образом, параболический тренд имеет следующий вид:

_t= 11,12 + 0,67 × t - 0,016 × t².

Рис. 4. Еженедельный оборот магазина «Ткани для дома» (исходный ряд, линейный и параболический тренд)

Проведем оценку аппроксимации линейного тренда и выбранной параболической трендовой модели с помощью критерия наименьшей суммы квадратов отклонений, который имеет следующий вид:

S =	S(yt – )2	Þ min
	n – m

где n – количество уровней ряда; m – число параметров трендовой модели.

t	yt	Линейный тренд		Параболический тренд
		t	(yt – t)2	t	(yt – t)2
1	11,9	12,21	0,0961	11,774	0,015876
2	12,6	12,62	0,0004	12,396	0,041616
3	12,2	13,03	0,6889	12,986	0,617796
4	13,9	13,44	0,2116	13,544	0,126736
5	14,3	13,85	0,2025	14,07	0,0529
6	14,6	14,26	0,1156	14,564	0,001296
7	15,3	14,67	0,3969	15,026	0,075076
8	14,4	15,08	0,4624	15,456	1,115136
9	15,8	15,49	0,0961	15,854	0,002916
10	16,7	15,9	0,64	16,22	0,2304
11	17,4	16,31	1,1881	16,554	0,715716
12	16,1	16,72	0,3844	16,856	0,571536
-	-	173,58	4,483	175,3	3,567

Для линейного тренда

S =	4,483	= 0,4483.
	12 – 2

Для параболического тренда

S =	3,567	= 0,396.
	12 – 3

0,4483 > 0,396; Þ параболическая модель наилучшим образом аппроксимирует исходный временной ряд.

5)

t	yt		et	Pt	et2	(et –t) 2	(et – et-1) 2
1	11,9	12,21	-0,31	–	0,0961	0,198025	–
2	12,6	12,62	-0,02	1	0,0004	0,024025	0,166
3	12,2	13,03	-0,83	1	0,6889	0,931225	0,107
4	13,9	13,44	0,46	1	0,2116	0,105625	0,200
5	14,3	13,85	0,45	0	0,2025	0,099225	0,870
6	14,6	14,26	0,34	1	0,1156	0,042025	0,045
7	15,3	14,67	0,63	1	0,3969	0,245025	0,000
8	14,4	15,08	-0,68	1	0,4624	0,664225	0,529
9	15,8	15,49	0,31	0	0,0961	0,030625	0,306
10	16,7	15,9	0,8	0	0,64	0,442225	0,111
11	17,4	16,31	1,09	1	1,1881	0,912025	1,182
12	16,1	16,72	-0,62	–	0,3844	0,570025	0,352
S	175,2	173,58	1,62	7	4,483	4,2643	3,868

Найдем величины случайных отклонений для исходного ряда по формуле: e_t = y_t – _t.

Построим график ряда отклонений e_t (рис. 5).

t

Рис. 5. График ряда отклонений e_t

Из графика видно, что в ряде отклонений e_t отсутствует тенденция.

Оценим адекватность выбранной трендовой модели (параболы) исходному ряду на основе анализа ряда отклонений e_t.

1) Колебание величины e_t носит случайный характер. Выполнение этого условия означает, что величина e_t не содержит элементов тренда. Проверим это условие с помощью критерия поворотных точек. Точка считается поворотной, если выполняется одно из следующих условий:

e_t-1 < e_t > e_t+1

e_t-1 > e_t < e_t+1

Обозначим поворотные точки как Р_t = 1. В противном случае P_t = 0. Найдем сумму всех поворотных точек P = SP_t.

Выдвинем нулевую гипотезу – Н₀: колебание величины et носит случайный характер. Для проверки нулевой гипотезы рассчитаем математическое ожидание и дисперсию поворотных точек.

М(Р) =	2 (n – 2)	=	2 × (12 – 2)	= 6,667.
	3		3

D(Р) =	16 n – 29	=	16 × 12 – 29	= 1,811.
	90		90

При вероятности 0,95 (95%) коэффициент доверия t_d = 1,96.

Если расчетное значение числа поворотных точек попадает в интервал
(М(Р) – t_d) < P < (М(Р) + t_d), то с выбранной вероятностью можно утверждать, что колебания величины e_t носит случайный характер.

(6,667 – 1,96 ) < 7 < (6,667 + 1,96 )

4,029 < 7 < 9.305

Таким образом, с вероятностью 95% можно утверждать, что колебания величины e_t носит случайный характер.

2) Распределение величины e_tсоответствует нормальному распределению. Для этого используем RS-критерий.

S= == 0,706

RSр =	emax – emin	=	1.09– (- 0,83)	= 2,777.
	S		0,706

Определим табличное значение RS-критерия по таблице «Значения RS-критерия для n от 10 до 30» (Приложение 3).

RS12Н = 2,67 + 2 ×	3,18 – 2,67	= 2,772
	20 – 10

RS12В = 3,85 + 2 ×	4,49 – 3,85	= 3,978
	20 – 10

Выдвинем нулевую гипотезу: величина e_t соответствует нормальному распределению. Для этого должно выполняться условие: RS_12Н < RS_р < RS_12В.

Поскольку это условие выполняется (2,772 < 2,777 < 3,978), то с вероятность 0,95 (95%) можно утверждать, что распределение величины e_t соответствует нормальному распределению.

3) Математическое ожидание величины e_t равно нулю. Для проверки этого условия выдвинем нулевую гипотезу – Н₀: М(e_t) = 0, после чего определим расчетное значение величины t_р:

tр =	– 0	× ,
	Se

где – средняя арифметическая простая величины e_t; S_e – среднее квадратическое отклонение величины e_t.

	Set	=	1.62	= 0,135
	n		12

S_e= == 0,623

tр =	0,135 – 0	× = 0,75.
	0,623

Найдем табличное значение t_т (Приложение 1) по распределению Стьюдента при доверительной вероятности g = 1 – а = 1 – 0,05 = 0,95 и числе степеней свободы К = n – 1 = 12 – 1 = 11. В данном случае t_т = 2,201.

Сопоставим табличное и расчетное значения. Если t_h < t_т, то нулевая гипотеза принимается, и наоборот.

0,75 < 2,201, Þ с вероятностью 0,95 (95%) принимается нулевая гипотеза, т.е. М(e_t) = 0.

4) Независимость членов ряда между собой (проверка временного ряда на отсутствие автокорреляции). Для проверки данного условия используется критерий Дарбина – Уотсона, расчетное значение которого определяется следующим образом:

dр =	S(et – et-1) 2	=	8,4451	= 1,88.
	S et2		4,483

d_р¢ = 4 – 1,88 = 2,12.

По таблице «Распределение критерия Дарбина – Уотсона» для положительной автокорреляции (для 5% уровня значимости)» находим табличное значение d­­_т. При n = 12 и V = 1 нижнее и верхнее значения распределения будут соответственно равны d₁ = 1,08 и d₂ = 1,36.

Сравним расчетное и табличное значения: d_р > d₂ (2,12 > 1,36). Таким образом, с вероятностью 95% можно говорить об отсутствии в ряде автокорреляции.

6). Рассчитаем точечную прогнозную оценку с периодом упреждения t = 1 для линейного тренда (_t= 11,614+ 0,459× t):

_(n+t) = а₀ + а₁ × (n+t);

₍₁₂₊₁₎ = 11,614+ 0,459× (12 + 1) = 17,581.

Интервальный прогноз для линейного тренда:

_(n+t) =_(n+t) + t_т × S× ,

где n – число уровней ряда в периоде основания прогноза; t - период упреждения прогноза; t_т­ – табличное значение по Стьюденту с уровнем значимости (а) и числом степеней свободы (К = n - 2); S– стандартная ошибка тренда.

t_т × = К¢; Þ _(n+t) =_(n+t) + S× К¢.

При t = 1 и n = 12 по таблице «Значение К для оценки доверительных интервалов прогноза при вероятности g = 0,9 (линейный тренд)» (Приложение 6) К¢ = 2,1274.

S= == 0,67.

Интервальный прогноз для линейного тренда

₍₁₂₊₁₎ = 17,581 + 0,67 × 2,1274=19,0064

₍₁₂₊₁₎ = 17,581 - 0,67 × 2,1274=16,1556

16,1556 < ₁₃ < 19,0064, т.е. с вероятностью 0,9 (90%) можно утверждать, что на 13-ый день оборот магазина «Ткани для дома» составит от 16,1556 до 19,0064 д.е.

_t= 11,12 + 0,67 × t - 0,016 × t².

Рассчитаем точечную прогнозную оценку с периодом упреждения t = 1 для параболического тренда (_t= 11,12 + 0,67 × t - 0,016 × t²):

_(n+t) = а₀ + а₁ × (n+t) + а₂ × (n+t)²;

₁₃ = 11,12 + 0,67 × 13 - 0,016 × 13² = 17,126.

Интервальный прогноз для нелинейного (параболического) тренда:

_(n+t) =_(n+t) + S× К¢.

При t = 1 и n = 12 по таблице «Значение К для оценки доверительных интервалов прогноза при вероятности g = 0,9 (параболический тренд)» (Приложение 7) К¢ = 2,636.

S= == 0,63.

Интервальный прогноз для нелинейного (параболического) тренда

₁₃ = 17,126 + 0,63 × 2,636=18,7867

₁₃ = 17,126 - 0,63 × 2,636=15,4653

15,4653 < ₁₃ < 18,7867, т.е. с вероятностью 0,9 (90%) можно утверждать, что на 13-ый день оборот магазина «Ткани для дома» составит от 15,4653 до 18,7867 д.е.