Некоторые приёмы доказательства

5.2.4. Некоторые приёмы доказательства.

Дедуктивный вывод.

Доказать

[p] - Предположение

[q] - Предположение

р - 1.

- I, 2, 3

 - I, 1, 4

Мы предположили общезначимость утверждений p и q и воспользовавшись правилом I. введение .

Использование правила Моdus Рonens. Это правило хорошо работает когда надо доказать высказывания типа “Если в этом кинотеатре дают “Анаконду”, то я куплю билеты.” Если кто-то сделал это утверждение и вы увидели, что в кинотеатре идет “Анаконда”, то вы можете заключить, что этот человек купил билеты.

Доказать

- Предположение

 - IX. Удаление , 1

r - IX. Удаление , 1

р - III. Моdus Рonens, 2, 3

pq - IX. Удаление , 1

q - III. Моdus Рonens. 4, 5

- I. Введение , 1, 6

Использование Моdus Tollens.

Доказать

 - Предположение

pq - IX. Удаление , 1

Øq - IX. Удаление , 1

Øp - III.2. Modus Tollens, 2, 3

- I. Введение , 1, 4

Использование Введения Ø и Удаления Ø .

Докажем

- Предположение

pq - IX. Удаление , 1

Øq - IX. Удаление , 1

[p] - Предположение

q - III. Моdus Ðonens, 4, 2

Øq - 3

F - VI. Удаление , 5, 6

Øp - V. Введение Ø 4, 7

- I. Введение Ø 1, 8

Доказательство от противного.

На использовании правила V. Введение Ø основан часто используемый прием доказательства - доказательство от противного. Мы его уже использовали несколько раз. Его идея состоит в следующем.

Пусть мы хотим доказать общезначимость высказывания Q :

“Треугольник со сторонами 2, 3, 4 - не прямоугольный.”

Предположим, что ØQ - общезначимо, т.е треугольник со сторонами 2, 3, 4 - прямоугольный. Тогда, используя теорему Пифагора, мы можем утверждать, что 4+9=16 , но 4+9 ¹ 16. Отсюда, используя правило VI.1 Удаление Ø , получаем F. Имея F и предположение об общезначимости ØQ, с помощью правила V, получаем общезначимость Ø(ØQ). Откуда, с использованием правила VII из таблицы 5.8., получаем общезначимость Q.

Доказать

 - Предположение

 - Закон импликации V.1, 1

 - Закон Де Моргана IV.1

Øq - IX.2. Удаление , 3

- IX.1. Удаление , 3

- IX.1. Удаление , 5

p - IX.2. Удаление , 6

q - III.1. Моdus Рonens, 6, 7

F - V.1 Удаление Ø , 4, 8

- V. Введение Ø , 1, 9

Пример.

Во вторник, когда случилось ограбление, либо Петров был в операционном зале банка, либо Сидорова в бухгалтерии банка. Петрова никогда не видели в операционном зале без Иванова. Иванов покидал банк во вторник только когда он с Сидоровой ездил на встречу с клиентами. Если в ограблении участвовал Ерошкин, Иванова не было бы в банке. Ограбление произошло во вторник. Мог ли Ерошкин быть грабителем?

Обозначим:

p= Петров был в операционном зале;

q= Cидорова была в бухгалтерии;

s= Иванов был в операционном зале;

h= Ерошкин участвовал в ограблении;

u= Ограбление случилось во вторник.

Тогда исходные утверждения можно записать так:

uÞ(pÚq)

pÞs

ØsÞØq

hÞØs

u

Из 1, 5 п. Modus ponens получаем pÚq

Предположим [q]

Из 3, 7 п. Modus Tollens получаем s

Из 7, 8 и “введение Þ“получаем qÞs

Из 4, 10 п. Modus Tollens Øh

Итак, Ерошкин не мог участвовать в ограблении.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ergeal.ru/