Преобразование Галилея

2. Преобразование Галилея

Пусть одно и то же явление описывается в двух инерциальных системах отсчета. Возникает вопрос о пересчете от описания явления в одной системе отсчета к описанию того же явления в другой системе. В качестве грубой иллюстрации можно представить себе две радиолокационные установки: одну – расположенную на земле, а другую – на самолете; вопрос состоит тогда в пересчете от показаний одной установки к показаниям другой.

Для такого пересчета нужно, прежде всего, знать связь между координатами и временем х, у, z, t в одной системе отсчета и координатами и временем х', у', z', t' в другой системе. Старая физика принимала как нечто самоочевидное существование единого мирового времени t, одинакового во всех системах отсчета. Поэтому с точки зрения старой физики необходимо было положить t' = t или, самое большее, допустить изменение начала отсчета времени.

Если рассматривать два события, происшедших в моменты времени t и π, то промежуток времени между ними должен был (с точки зрения старой физики) получиться одинаковым во всех системах отсчета. Отсюда,

t – π= t'-π' (1.01)

Далее, старая физика считала очевидным, что длина твердого стержня, измеряемая в двух системах отсчета, должна получаться одинаковой. (Вместо длины твердого стержня можно рассматривать расстояние между «одновременными» положениями двух точек, которые необязательно связаны жесткой связью.) Если обозначить координаты начала и конца стержня (или данных двух точек) в одной системе отсчета через (x, у, z) и (ξ, η, ζ) и в другой системе через (x', у', z') и (ξ', η', ζ '). то. согласно старой физике, должно быть

(x – ξ)² + (y – η) ² + (z – ζ) ² = (x' – ξ')² + (у' – η') ² + (z' – ζ ')² (1.02)

Из (1.01) и (1.02) однозначно вытекает общий вид преобразования, связывающего координаты и время х, у, z, t с координатами и временем х', у', z'. Это преобразование состоит из переноса начала отсчета координат и времени, из поворота пространственных координатных осей и из преобразования вида

x' = x – V_xt

y'=y-V_yt,

z' =z – V_zt,

t' = t, (1.03)

где V_xt, V_yt, V_zt – постоянные, физический смысл которых легко найти: это есть скорость движения штрихованной координатной системы относительно нештрихованной (точнее – составляющие этой скорости в нештрихованной системе). Преобразование (1.03) носит название преобразования Галилея.

Таким образом, старая физика утверждала, что если дана инерциальная система отсчета, то координаты и время во всякой другой системе отсчета движущейся относительно нее прямолинейно и равномерно, связаны с (х, у, z, t) преобразованиями Галилея (с точностью до переноса начала и поворота осей). Преобразование Галилея удовлетворяет принципу относительности в отношении законов механики, но не удовлетворяет ему в отношении законов распространения света.

Действительно, уравнение распространения фронта световой волны меняет в результате преобразования Галилея свой вид. Если бы преобразование Галилея было правильным (а принцип относительности в общей форме – неправильным), то существовала бы только одна инерциальная система в смысле нашего определения, и по измененному виду уравнения распространения фронта волны было бы возможно определить скорость движения (даже равномерного и прямолинейного) всякой другой системы отсчета относительно этой единственной инерциальной системы («неподвижного эфира»). Отрицательный результат многочисленных точнейших опытов, поставленных с целью обнаружения такого относительного движения, не оставляет сомнений в том, что форма закона распространения фронта волны одна и та же во всех неускоренных системах отсчета и что, следовательно, принцип относительности во всяком случае применим и к электромагнитным явлениям.

Отсюда следует, что преобразование Галилея в общем случае неправильно и должно быть заменено другим.

3. Преобразование Лоренца

Преобразование Лоренца показывает, как изменяются расширенные координаты события при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной же системе. Пусть инерциальная система «Бета» движется относительно инерциальной системы «Альфа» с постоянной скоростью v, причем ось х_β скользит по оси х, а оси y_β, z_β всегда остаются соответственно параллельными осям y_α, z_α. Для конкретности будем предполагать, что система «Альфа» связана с ракетой «Альфа», а система «Бета» – с ракетой «Бета». Счет времени в обеих системах условимся вести от того момента, когда их начала координат совпали (иными словами, обе системы отсчета имеют одно и то же «начальное событие» О – прохождение ракеты «Альфа», мимо ракеты «Бета»).

Для упрощения формул единицы времени и длины выбираются таким образом, чтобы скорость света была равна единице и являлась величиной безразмерной. Для этого достаточно, например, выражать промежутки времени в секундах, а расстояния – в «световых секундах» (понимая под «световой секундой» отрезок, проходимый светом в течение одной секунды).

Некоторое событие S характеризуется в системе «Альфа» расширенными координатами x_α, y_α, z_α, t_α. Каковы его расширенные координаты x_β, y_β, z_β, t_β в системе «Бета»? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к пространственно-временному графику, построенному в системе «Альфа» (рис. 2), предполагая, что рассматриваемое событие произошло на оси x_α (а значит, и на оси х_β), так что y_α= z_α= y_β = z_β=0.

AS – это расстояние события S (точнее, того места, где оно произошло) от ракеты «Альфа», т.е. его пространственная координата х_α.

АВ – это расстояние между ракетами в момент t_α. Так как ракета «Альфа» удаляется от «Беты» со скоростью v, а в момент t_α =0 они были рядом, расстояние AB = vt_α.

BS = AS – AB= х_α – vt_α это расстояние события S от ракеты «Бета», как оценил бы его альфацентрист, которому могло бы даже казаться, что именно данная величина должна служить бетацентристу координатой х_β, события S в системе «Бета». Однако, как мы сейчас увидим, сам бетацентрист с такой оценкой не согласится; поэтому «спорную» величину BS = х_α – vt_α обозначим пока через x'. Отказ бетацентриста признать величину х' координатой х_β события S в системе «Бета» имеет два веских основания.
Во-первых, по мнению бетацентриста точка В пространственно-временного графика изображает положение ракеты «Бета» отнюдь не в момент события 5, а позже (раз речь идет о х_β координате, а не х_α, одновременность следует понимать в смысле системы «Бета»!). С точки зрения бетацентриста, одновременное с событием S положение ракеты «Бета» соответствует точке С (прямая CS параллельна оси нулевого t_β).

Во-вторых, на этом пространственно-временном графике альфацентриста все расстояния измерены масштабом, покоящимся в системе «Альфа», тогда как при определении координаты х_β надо во всем поступать по правилам системы «Бета». С точки зрения бетацентриста, масштаб альфацентриста не находится в покое, а движется со скоростью v и потому может иметь неправильную длину.

Таким образом, поправки, которые внесет бетацентрист в оценку альфацентриста, сведутся к следующему:

1)         к замене отрезка BS отрезком CS, параллельным оси х_β, что равносильно умножению величины х' на некоторый коэффициент k₁, зависящий от угла φ=arc tg v, но одинаковый для всех событий.

2)         к изменению единицы длины, что также равносильно умножению величины х' еще на один коэффициент k₂, тоже зависящий только от v.

Учитывая обе поправки, мы можем написать:

х_β= k₁ k₂ х'= k₁ k₂(х_α – vt_α),

или, рассматривая произведение k₁ k₂ как новый коэффициент К (зависящий от v),

х_β= K(х_α – vt_α).

Полученная формула преобразования координаты х при переходе к другой инерциальной системе отсчета отличается от галилеевской только наличием коэффициента K.

На рис. 2 видно, что при переходе к новой системе отсчета меняется также и временная дата события: в системе «Альфа» событие S произошло в момент t_α, а в системе «Бета» – в момент t_β.

Графически t_α (временная дата события S в системе «Альфа») выражается отрезком MS, т.е. расстоянием точки S от оси нулевого t_α.

Временная дата того же события t_β определяется по часам, покоящимся в системе «Бета». Пространственно – временная трасса этих часов изображается прямой RS, причем точка R соответствует прохождению стрелки этих часов через нуль (в системе «Бета» событие В считается одновременным с начальным событием О). Таким образом, временная дата t_β события S в системе «Бета» соответствует отрезку RS, однако не в том масштабе, в каком t_α соответствует расстоянию MS. Ведь секунда по часам, покоящимся в системе «Бета», может существенно отличаться от секунды по часам, покоящимся в системе «Альфа», а каждый физик при измерениях должен полагаться только на часы, неподвижные относительно избранной им системы.

Поскольку единицы длины и времени выбираются не независимо, а с таким расчетом, чтобы скорость света численно равнялась единице (например, единица времени – секунда, а единица длины – световая секунда), они должны изменяться благодаря движению в одинаковое число раз (иначе был бы нарушен принцип постоянства скорости света). Следовательно, поправочный коэффициент k₂, введенный ранее для длин, справедлив также и для отрезков времени.

Что же касается перехода от отрезка NS к отрезку RS, то он, в силу подобия треугольников NRS и BCS, тоже сводится к умножению на введенный уже коэффициент k₁. Отрезок же MN равен vx_α (как катет треугольника OMN, в котором tg φ = v). Поэтому

t_β= k₂ ∙ RS = k₂ ∙ k₁NS= k₁ k₂ (MS – MN)= k₁ k₂(t_α-vx_α),

или окончательно

t_β= K (t_α-vx_α),

где K = k₁ k₂ – знакомый уже нам коэффициент, зависящий только от v (в принятой нами системе единиц t и х выражаются в секундах, a v – безразмерная величина).

Полученная формула преобразования временной даты события при замене одной инерциальной системы отсчета другой инерциальной же системой противопоставляется галилее-ньютоновскому представлению о единой для всех систем универсальной шкале времени. Эта формула отражает как зависимость хода часов от их движения, так и различие в понимании одновременности.

К полученным нами двум формулам преобразования расширенных координат события

х_β= K(х_α – vt_α),

t_β= K (t_α-vx_α)

могут быть еще добавлены очевидные соотношения

y_β= y_α, z_β=z_α,

которые показывают, что при переходе к другой системе, движущейся вдоль оси х, «поперечные» координаты у и z не изменяются.