Кодирование

Тема реферату: "КОДИРОВАНИЕ"

 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ

Оптимальным статистическим (экономным) кодированием называется кодирование, при котором обеспечивается распределение времени на передачу отдельных символов алфавита в зависимости от априорных вероятностей их появления:

; (1)

где C_п - пропускная способность канала; p_i - априорная вероятность i –й кодовой комбинации; t_i -длительность i-й кодовой комбинации.

Оптимальными неравномерными кодами (ОНК) - называются коды, в которых символы алфавита кодируются кодовыми словами минима-льной средней длины.

Принципы построения оптимальных кодов:

1. Каждая кодовая комбинация должна содержать максимальное количество информации, что обеспечивает максимальную скорость передачи данных.

2. Символам первичного алфавита, имеющим наибольшую вероятность появления в сообщении, присваиваются более короткие кодовые слова, при этом, средняя длина кодовых комбинаций имеет минимально-возможную длину.

При таком кодировании избыточность кода, которая вызвана неравной вероятностью символов алфавита, сводится к минимуму (практически к нулю). Оптимальные коды являются неравномерными блочными кодами, при их построении необходимо обеспечить однозначность декодирования. Префиксным (неприводимым)- называется код, в котором ни одна кодовая комбинация не является началом другой. Для обеспечения этого свойства кодовые комбинации должны записываться от корня кодового дерева.

Возможность однозначного декодирования неравномерного кода обеспечивается выполнением требования разделимости (префиксности) кодовых комбинаций.

При неравномерном кодировании производится сжатие данных. Сжатие данных используется как при хранении данных в памяти, так и при их передаче. Оптимальное кодирование можно использовать только в каналах без помех или в случае низкой требовательности к достоверности передаваемой информации.

Существует много методов оптимального, статистического кодирования. Наиболее часто используют оптимальное кодирование по методу Шеннона - Фано и Хаффмена.

2. КОД ШЕННОНА-ФАНО

Кодирование по методу Шеннона - Фано осуществляется следующим образом:

1. Множество символов, из которых формируются сообщения, записываются в порядке убывания их априорных вероятностей.

2. Дальнейшее построение кода производится методом последовательного деления пополам. Символы сообщения разбиваются на две группы с примерно равными вероятностями (т. к. при отсутствии статистической связи между символами скорость передачи максимальна при условии равной вероятности передачи символов). Если равной вероятности в подгруппах достичь нельзя, то желательно чтобы суммарная вероятность нижней подгруппы была больше верхней.

3. Всем символам верхней группы приписывается кодовый символ 1, а символам нижней - 0. Можно наоборот, т. к. для кодовой реализации безразлично 0 или 1, но с точки зрения мощности, лучше, если в кодовой комбинации меньше единиц.

4. Затем каждая подгруппа аналогичным образом разбивается на подгруппы по возможности с одинаковыми вероятностями. Разбиение осуществляется до тех пор, пока в каждой подгруппе останется по одному символу.

Пример построения кода приведен в таблице 1.

Таблица 1

ai	pi	Разбиение	Кодовая комбинация	Длина
a1 a2 a3 a4	1/2 1/4 1/8 1/8	}1  0 }1  0 }1  }0	1 01 001 000	? t 2?t 3?t 3?t

Построенный код является префиксным.

Например: полученная кодовая последовательность 11100001 однозначно декодируется как:

1 1 1 000 1 01 => a₁ a₁ a₁ a₄ a₁ a₂ .

a₁ a₁ a₁ a₄ a₁ a₂

Применяя статистическое кодирование можно получить результат, близкий к идеальному кодированию по Шеннону.

Средняя длина кодовой комбинации, при использовании двоичного кода в качестве вторичного, равна

, (2)

где l_i - длина i-й комбинации; N -основание первичного кода.

Эффективность ОНК максимальна при

; . (3)

Коэффициент относительной эффективности (коэффициент использования пропускной способности) равен

. (4)

Коэффициент статистического сжатия (уменьшение количества двоичных разрядов на символ сообщения при использовании статистического кодирования по сравнению с обычным кодированием) равен

. (5)

Для рассмотренного примера при длительности символа кодовой комбинации (0 или 1) равной t средняя длина и средняя длительность кодовой комбинации, соответственно равны:

Энтропия источника равна

При этом: К_оэ = 1,75/1,75 = 1; К_cc = 2/1,75 = 1,14.

Скорость передачи информации

, (6)

т. е. коэффициент использования пропускной способности канала равен 1, а значит, имеет место идеальное использование канала (оптимальное статистическое кодирование).

Если подгруппы имеют не одинаковую суммарную вероятность, то коэффициент меньше 1. Для равномерного кода , при этом

.

Недостаток кода ОНК - низкая помехоустойчивость, т. к. потеря одного разряда может означать потерю символа.

3. КОД ХАФФМЕНА

Кодирование по методу Хаффмена осуществляется следующим об-разом:

1. Все подлежащие кодированию символы записываются в порядке убывания их априорных вероятностей. Если некоторые символы имеют одинаковые вероятности, то их располагают рядом в произвольном порядке.

2. Выбирают символы с минимальными вероятностями по 2 и одному приписывают 0, а другому 1.

3. Выбранные символы объединяют в промежуточные символы с суммарной вероятностью.

4. Снова находят пару символов с наименьшими вероятностями и поступают аналогично.

В таблице 2 приведен пример кодирования по методу Хаффмена для источника сообщений с заданными вероятностями символов алфавита:

x₁ = 0,4; x₂ = x₅ = 0,2; x₃ = 0,1; x₄ = x₆ = 0,05.

Таблица 2

Символ	pi	Граф кода Хаффмена	Код
x1   x2   x5   x 3   x 4   x 6	0,4 0,2 0,2 0,1 0,05 0,05	1  (1,0)  1 0  (0,6)  1 0  (0,4)  1 0  (0,2)  1 0  (0,1)  0	1 01 001 0001 00001 00000

Энтропия источника равна

Средняя длина кодовой комбинации данного кода

Длина кодовой комбинации примитивного кода определяется соотношением

 (7)

Округляя до ближайшего целого в большую сторону, получим l = 3.

Эффективность ОНК максимальна, если .

Коэффициент относительной эффективности равен

.

Коэффициент статистического сжатия равен

.

Неравномерный код можно передавать блоками заданной длины, а на приемной стороне декодировать всю последовательность.

Пример 1. Построить оптимальные неравномерные коды (ОНК) по методу Шеннона-Фано и по методу Хаффмена для передачи сообщений, в которых вероятности символов первичного алфавита равны:

p(a₁) =0,1; p(a₂) =0,07; p(a₃) =0,02; p(a₄) =0,17;

p(a₅) =0,42; p(a₆) =0,09; p(a₇) =0,08; p(a₈) =0,05.

Оценить эффективность каждого кода, т. е. насколько они близки к оптимальным. Определить емкость (пропускную способность) канала связи для каждого кода, если скорость передачи двоичных символов (V = 1/t) равна 1000 симв/с, т.е. время передачи одного символа вторичного алфавита (двоичного символа) равна t = 0,001с = 1мкс.

Решение: Построим код по методу Шеннона-Фано, используя сле-дующий алгоритм:

1. Символы сообщения располагаем в порядке убывания их априорных вероятностей.

2. Исходный ансамбль кодируемых символов разбиваем на две группы с примерно равными вероятностями (лучше, если суммарная вероятность верхней группы меньше).

3. Верхней группе присваиваем символ 1, а нижней 0.

4. Процесс деления повторяем до тех пор, пока в каждой подгруппе останется по одному символу.

Процесс построения кода приведем в таблице 3.

Таблица 3

ai	p(ai)	Разбиение	Код	li	pili
a5 a4 a1 a6 a7 a2 a8 a3	0,42 0,17 0,10 0,09 0,08 0,07 0,05 0,02	}0  1 0 }0  }1  1 0 }0  }1  1 }0  }0  }1	0 100 101 1100 1101 1110 11110 11111	1 3 3 4 4 4 5 5	0,42 0,51 0,3 0,36 0,32 0,28 0,25 0,1

.  .

Могут быть и другие варианты построения кода, но l_ср при этом не меняется.

Определим энтропию источника сообщений:

= -(0,42× log₂0,42+0,17 ×log₂0,17+0,1×log₂0,1+0,09×log₂0,09+0,08×log₂0,08+

+0,07×log₂0,07+0,05×log₂0,05+0,02×log₂0,02) = 0,5256+0,4346+0,3322+

+0,3126+0,2915+0,2686+0,2161+0,1129 = 2,49 бит/симв.

Оценим эффективность построенного кода, которая определяется коэффициентами относительной эффективности и статистического сжатия.

Коэффициент относительной эффективности равен

Коэффициент статистического сжатия равен

.

Необходимая пропускная способность канала связи для передачи сообщений оптимальными кодами вычисляется по формуле

.

Для полученного кода она равна

С = 10³ ×2,54 = 2,54 Кбит/с.

Построим код по методу Хаффмена, используя следующий алгоритм:

1. Символы первичного алфавита располагаем в порядке убывания их вероятностей.

2. Последние два символа объединяем в один, с суммарной вероятностью.

3. Упорядочиваем символы с учетом вновь образованных и последние два символа объединяем в один с суммарной вероятностью. Эту процедуру повторяем до тех пор, пока не останется два символа.

4. Строим кодовое дерево, вершиной которого является 1 (суммарная вероятность всех символов сообщения).

При построении дерева символы, в принципе, можно не упорядочивать.

Процесс построения кода приведен в таблице 4.

Коэффициент статистического сжатия равен

.

Коэффициент относительной эффективности

.

Необходимая пропускная способность канала связи

 Кбит/c.

Tаблица 4

аi	p(ai)	Кодовое дерево	Код		li		pili
a5 a4 a1 a6 a7 a2 a8 a3	0,42 0,17 0,10 0,09 0,08 0,07 0,05 0,02	1 (1,0)  1 1 0  (0,34) (0,58)  0 1 0  (0,24)  1 0  (0,17)  0  1  (0,14)  1 0  (0,7)  0	1 011 001 0101 0100 0001 00001 00000	1 3 3 4 4 4 5 5		0,42 0,51 0,3 0,36 0,32 0,28 0,25 0,1

.  .

Построенные коды Шеннона – Фано и Хаффмена равноценны, т. к. они имеют одинаковые показатели эффективности. Оба кода отличаются от оптимального на 2%.

4. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ

Помехоустойчивость- способность системы осуществлять прием информации в условиях наличия помех в линии связи и искажений во внутри аппаратных трактах. Помехоустойчивость обеспечивает надежность и достоверность передаваемой информации (данных). Мы будем в основном рассматривать двоичные коды. Двоичные (коды) данные передаются между вычислительными терминалами, летательными аппаратами, спутниками и т. д.

Передача данных в вычислительных системах чувствительна к малой доле ошибке, т. к. одиночная ошибка может существенно нарушить процесс вычислений.

Наиболее часто ошибки появляются в УВВ, шинах, устройствах памяти. УВВ содержат большое количество элементов, ошибки обуславливаются старением элементов, ухудшением качества электрических соединений, расфазировкой сигналов. Значительная часть ошибок приходится на ОП, вследствие отказа отдельных ИС либо всей ИС, ошибок связанных с флуктуацией напряжения питания и т. д.

В системах со многими пользователями и разделением по времени длинные двоичные сообщения разделяются на пакеты.

Сообщения, представленные длинными последовательностями битов, обычно разбиваются на более короткие последовательности битов, называемые пакетами. Пакеты можно передать по сети как независимые объекты и собирать из них сообщение на конечном пункте. Пакет, снабженный именем и управляющими битами в начале и в конце, называется кадром. Управление линией передачи данных осуществляется по специальному алгоритму, называемому протоколом.

Наличие помех ставит дополнительные требования к методам кодирования. Для защиты информации от помех необходимо вводить в том или ином виде избыточность: повышение мощности сигнала; повторение сообщений; увеличение длинны кодовой комбинации и т. д.

Увеличение мощности сигналов приводит к усложнению и удорожанию аппаратуры, кроме того, в некоторых системах передачи информации имеется ограничение на передаваемую мощность, например, спутниковая связь.

Повторная передача сообщений требует наличия буферов для хранения информации и наличия обратной связи для подтверждения достоверности переданной информации. При этом, значительно падает скорость передачи информации, кроме того этот метод не всегда м. б. использован, например, в система реального времени.

Одним из наиболее эффективных методов повышения достоверности и надежности передачи данных является помехоустойчивое кодирование, позволяющее за счет внесения дополнительной избыточности (увеличение минимального кодового расстояния) в кодовых комбинациях передаваемых сообщений обеспечить возможность обнаружения и исправления одиночных, кратных и групповых ошибок.

Минимальное кодовое расстояние характеризует помехоустойчивость и избыточность сообщений. В зависимости от величины минимального кодового расстояния существуют коды, обнаруживающие и исправляющие ошибки.

Кодовое расстояние - d определяется как количество единиц в результате суммирования по модулю два двух кодовых комбинаций. Минимальное кодовое расстояние d₀ - минимальное из кодовых расстояний всех возможных кодовых комбинаций.

Для обнаружения r ошибок минимальное кодовое расстояние равно:

d₀ ³ r+1. (8)

Для обнаружения r ошибок и исправления s ошибок минимальное кодовое расстояние равно:

d₀ ³ r+s+1. (9)

Только для исправления ошибок минимальное кодовое расстояние равно:

 d₀ ³ 2s+1. (10)