Оптимальное распределение неоднородных ресурсов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"

математический факультет

кафедра ВМиП

Курсовая работа

"Оптимальное распределение неоднородных ресурсов"

Гомель 2006

Содержание

Введение. 3

Постановка задач. 5

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей 6

Решение задачи традиционными методами. 8

Решение задачи с использованием системы Mathcad. 12

Заключение. 18

Литература. 19

Введение

В данной курсовой работе изложен метод решения задач об оптимальном распределении неоднородных ресурсов с помощью системы символьной математики Mathcad.

Как известно в настоящее время широко используются следующие системы символьной математики: Maple, Matlab, Mathematica, Reduce, Derive, Theorist, Macsyma. Почему же наш выбор пал на Mathcad? На это есть несколько причин:

1) Reduce, Derive, Theorist, Macsyma были созданы для совершенно других задач. Их основное назначение это доказательство теорем алгебры (Reduce, Macsyma). Derive, Theorist морально устарели еще 5 лет назад. Matlab ориентирован на работу с матрицами. Остаются только Maple, Mathematica и Mathcad.

2) Из этих программ только Mathematica и Mathcad обладают современными средствами визуализации представления данных. И запись в системе Mathcad наиболее приближена к записи математических задач без применения компьютера.

3) Mathcad изначально создавался для численного решения математических задач. С развитем Mathcad впитал в себя только лучшее от Maple (ядро для символьных вычислений) и Matlab (библиотеку высокоскоростных алгоритмов NAG).

4) Mathcad более доступен для массового пользователя.

В первом пункте курсовой приведены примеры типичных задач соответствующей тематики. Во втором пункте построена математическая модель данных задач. В третьем пункте приведен алгоритм симплекс-метода. Главное, что нам из него необходимо, это умение находить начальное приближение, остальное доделает Mathcad. В четвертом пункте приведен порядок действий для решения задач линейного программирования в системе Mathcad и приведены ряд примеров решения задач с использованием Mathcad. Так же приведены случаи, когда иследуемая целевая функция на заданном множестве ограничений не имеет экстремумов, или когда имеет более одного экстремума. В последнем случае предложена трактовка данного результата.

Постановка задач

В процессе производства постоянно возникают задачи определения оптимального плана производства продукции при наличии определенных ресурсов (сырья, полуфабрикатов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве. Рассмотрим несколько возможных постановок таких задач.

Постановка задачи А. Для изготовления  видов изделий  необходимы ресурсы  видов: трудовые, материальные, финансовые и др. Известно необходимое количество отдельного -го ресурса для изготовления каждого -го изделия. Назовем эту величину нормой расхода . Пусть определено количество каждого вида ресурса, которым предприятие располагает в данный момент, – . Известна прибыль , получаемая предприятием от изготовления каждого -го изделия. Требуется определить, какие изделия, и в каком количестве должно изготавливать предприятие, чтобы обеспечить получение максимальной прибыли. Необходимая исходная информация представлена в табл.

Данные для задачи A

Используемые ресурсы	Изготавливаемые изделия				Наличие ресурсов
Трудовые	3	5	2	7	15
Материальные	4	3	3	5	9
Финансовые	5	6	4	8	30
Прибыль	40	50	30	20

Постановка задачи В. Пусть в распоряжении завода железобетонных изделий (ЖБИ) имеется  видов сырья (песок, щебень, цемент) в объемах , Требуется произвести продукцию  видов. Дана технологическая норма . потребления отдельного -го вида сырья для изготовления единицы продукции каждого -го вида. Известна прибыль , получаемая от выпуска единицы продукции -го вида. Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве должен производить завод ЖБИ, чтобы получить максимальную прибыль. Исходные данные представлены в табл.

Данные для задачи B

Используемые ресурсы	Изготавливаемые изделия				Наличие ресурсов
Песок	3	5	2	7	15
Щебень	4	3	3	5	9
Цемент	5	6	4	8	30
Прибыль	40	50	30	20

Постановка задачи С. Пусть на предприятии после модернизации производства появился свободный ресурс времени. Предлагается организовать производство новых изделий нескольких наименований. Известно время, требуемое на изготовление отдельного изделия на каждом оборудовании, свободные резервы времени на каждой машине, а также прибыль, получаемая от выпуска каждого изделия. Требуется определить, какие изделия, и в каком количестве целесообразно производить на предприятии, чтобы получить максимальную прибыль.

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Количество изделий -го наименования, которое может производить предприятие, обозначим через . Зная количество каждого вида -го ресурса для изготовления отдельного -го типа изделия – норму расхода  и количество каждого -го ресурса , можно записать следующую систему неравенств:

(1)

Полученную систему можно представить в виде совокупности равенств, если в каждое из неравенств ввести фиктивные изделия (дополнительные переменные) , , , при изготовлении которых используют каждый оставшийся вид ресурса.

В этом случае система равенств примет такой вид:

(2)

Это преобразование необходимо для упрощения вычислительной процедуры в дальнейшем. Прибыль, получаемая от фиктивных изделий, принимается равной нулю.

Построение математической модели. Критерий оптимизации (суммарную величину прибыли) можно тогда представить так:

(3)

Граничные условия будут записаны следующим образом:

(4)

Совокупность системы ограничений (2), целевой функции (3) и граничных условий (4) образует математическую модель для нашей задачи.

Решение задачи традиционными методами

Алгоритм решения. Для решения данной задачи разработано много способов. Рассмотрим один из наиболее распространенных – симплекс-метод. Для его использования необходимо определить начальный базис, то есть такое решение, которое удовлетворяет системе равенств (2). В некоторых задачах базис просматривается непосредственно, но во многих его необходимо найти.

В данной задаче базис определяется легко. Для этого требуется взять  неизвестных по числу уравнений в системе (2), желательно наиболее редко встречающиеся в ней. В нашей совокупности уравнений () это , , , которые и выражаем через оставшиеся неизвестные , , , .

Систему уравнений необходимо записать в таком виде:

(5)

Переменные, находящиеся в левой части системы уравнений, называются базисными (основными), а находящиеся справа – небазисными (неосновными). Для определения значений базисных переменных , ,  необходимо приравнять к нулю небазисные , , ,  и подставить их в систему уравнений (5). Полученное таким образом решение называется базисным. В нашей задаче оно будет выглядеть следующим образом:

После определения начального базиса можно переходить непосредственно к использованию алгоритма симплекс-метода, который содержит следующие основные этапы: