Цель работы

3.1 Цель работы

Выработка практических навыков конструирования кривых.

3.2 Индивидуальное задание

Сконструировать кривую по заданным точкам методом Безье. Создать функцию рисующую кривую и характеристическую ломанную. Оформить таблицу значений функции и отклонений от заданных значений в опорных точках.

Вариант	0,0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
09	49,0	105,3	172,3	211,1	183,0	49,0
	28,0	-31,5	-78,6	-95,8	-66,1	28,0

3.3 Аппроксимация методом Безье

В системах автоматизации проектирования и производства для конструирования кривых и поверхностей применяется аппроксимация методом Безье. Сущность метода заключается в следующем.

Пусть задана совокупность из (n+1) точек которую будем называть ломаной Безье. Кривая Безье, соответствующая этой ломаной, описывается в виде функции параметра t следующим полиномом:

, (8)

где - радиус-вектор точек на кривой, а J_ni(t) - аппроксимирующие многочлены Бернштейна, равные

(9)

Здесь 0£t£1 и, кроме того, предполагается, что tⁱ=1 при i=0 и t=0.

Ломаная Безье однозначно определяет форму кривой Безье. Изменяя положения вершин ломаной, можно управлять формой соответствующей кривой Безье. При этом следует иметь в виду следующее:

1.         самой кривой в общем случае будут принадлежать только первая и последняя вершины ломаной Безье, остальные вершины будут лишь оказывать влияние на вид и гладкость кривой;

2.         наклоны касательных векторов в крайних точках кривой Безье и ломаной Безье совпадают, поэтому при сопряжении двух кривых Безье, заданных ломаными  и , одинаковый наклон кривых в точке соединения получается в том случае, если точки  (которая совпадает с ) и  лежат на одной прямой;

3.         как видно из выражений (8) и (9), степень аппроксимирующего полинома равна n (т.е. числу звеньев в ломаной Безье), поэтому для увеличения порядка кривой Безье достаточно лишь задать дополнительные вершины в соответствующей ломаной Безье;

4.         кривая Безье всегда целиком лежит внутри выпуклой оболочки ломаной Безье.

3.4    Определение полинома Безье

Итак, задано 6 точек, необходимо построить полином Безье степени 5:

,

найдем аппроксимирующие многочлены Бернштейна:

J₅₀=(1-u)⁵;

J₅₁=5u(1-u)⁴;

J₅₂=10u²(1-u)³;

J₅₃=10u³(1-u)²

J₅₄=5u⁴(1-u);

J₅₅=u⁵;

Теперь есть все данные для построения кривой Безье по заданным точкам, причем она, не смотря на совпадение первой и последней точек, не будет замкнуто сопряжена, так как предпоследняя и вторая точка не лежат на одной прямой.

3.5 Программа для построения кривой Безье.

(defun Bezier_curve()

(command "erase" "all" "")

(setvar "pdmode" 2)

(setq p1 (list 49.0 28.0))

(setq p2 (list 105.3 -31.5))

(setq p3 (list 172.3 -78.6))

(setq p4 (list 211.1 -95.8))

(setq p5 (list 183.0 -66.1))

(setq p6 (list 49.0 28.0))

(command "color" 3)

(command "point" p1)

(command "point" p2)

(command "point" p3)

(command "point" p4)

(command "point" p5)

(command "point" p6)

(command "color" 4)

(command "line" p1 p2 p3 p4 p5 p6)

(command)

(command "color" 5)

(setq u 0)

(setq du 0.001)

(setq file1 (open "c:\\mydata2.txt" "w"))

(while (<= u 1.0)

(setq x (+ (* (nth 0 p1) (expt (- 1 u) 5)) (* (nth 0 p2) (expt (- 1 u) 4) u 5) (* (nth 0 p3) (expt (- 1 u) 3) u u 10) (* (nth 0 p4) (expt (- 1 u) 2) u u u 10) (* (nth 0 p5) (expt u 4) (- 1 u) 5) (* (nth 0 p6) (expt u 5))))

(setq y (+ (* (nth 1 p1) (expt (- 1 u) 5)) (* (nth 1 p2) (expt (- 1 u) 4) u 5) (* (nth 1 p3) (expt (- 1 u) 3) u u 10) (* (nth 1 p4) (expt (- 1 u) 2) u u u 10) (* (nth 1 p5) (expt u 4) (- 1 u) 5) (* (nth 1 p6) (expt u 5))))

(if (or (<= (abs (- u 0)) 0.00001) (<= (abs (- u 0.2)) 0.00001) (<= (abs (- u 0.4)) 0.00001) (<= (abs (- u 0.6)) 0.00001) (<= (abs (- u 0.8)) 0.00001) (<= (abs (- u 1.0)) 0.00001))

(print (list x y) file1)

)

(setq u (+ u du))

(setq x1 (+ (* (nth 0 p1) (expt (- 1 u) 5)) (* (nth 0 p2) (expt (- 1 u) 4) u 5) (* (nth 0 p3) (expt (- 1 u) 3) u u 10) (* (nth 0 p4) (expt (- 1 u) 2) u u u 10) (* (nth 0 p5) (expt u 4) (- 1 u) 5) (* (nth 0 p6) (expt u 5))))

(setq y1 (+ (* (nth 1 p1) (expt (- 1 u) 5)) (* (nth 1 p2) (expt (- 1 u) 4) u 5) (* (nth 1 p3) (expt (- 1 u) 3) u u 10) (* (nth 1 p4) (expt (- 1 u) 2) u u u 10) (* (nth 1 p5) (expt u 4) (- 1 u) 5) (* (nth 1 p6) (expt u 5))))

(command "line" (list x y) (list x1 y1))

(command)

)

(close file1)

)

3.5 Таблица, получаемая в результате выполнения задания:

(49.0 28.0) вектор-отклонение (0 0)

(106.469 -25.1437) вектор-отклонение (-1.169 –6.063)

(153.844 -60.0138) вектор-отклонение (18.454 –18.5862)

(172.487 -68.3062) вектор-отклонение (38,613 –27.4938)

(143.758 -41.7363) вектор-отклонение (39,242 –24.3637)

(49.6689 27.5301) вектор-отклонение (-0.6689 0.4699)

При точности аппроксимации du=0.001.

 

3.6Рисунок с экрана

3.7 Вывод

Аппроксимация метод Безье дает большую погрешность, чем параметрическая сплайн-аппроксимация, но прим увеличении шага параметра увеличивается время вычислений и точность аппроксимации.