Симплекс метод решения задачи линейного программирования

Задача №1 (Симплекс метод решения задачи линейного программирования.)

Найти F_max = 9x₁+ 10x₂ + 16x_3, при ограничениях:

Запишем задачу в каноническом виде:

F=9x₁+ 10x₂ + 16x₃ → max

Заполним начальную таблицу:

Таблица 0.

			0	9	10	16	0	0	0	Отношение, θ
i		Базис
1	0		360	18	15	12	1	0	0	30
2	0		192	6	4	8	0	1	0	24
3	0		180	5	3	3	0	0	1	60
	∆j		0	-9	-10	-16	0	0	0
	Zj		0	0	0	0	0	0	0

Zj вычисляется по формуле

Оценки (∆j) вычисляются по формуле , где  - коэффициент из первой строки таблицы.

Выбираем минимальную (отрицательную) оценку. Она определяет направляющий столбец.

Заполняем столбец «θ», по минимальному значению определяем направляющую строку.

На пересечение строки и столбца находится направляющий элемент.

Заполняем новую таблицу

Таблица 1.

			0	9	10	16	0	0	0	Отношение, θ
i		Базис
1	0		72	9	9	0	1		0	8
2	16		24			1	0		0	48
3	0		108			0	0	-	1	72
	∆j		384	3	-2	0	0	2	0
	Zj		384	12	8	0	0	2	0

Изменяется базис в позиции направляющей строки. Базисным становится вектор, соответствующий направляющему столбцу, т. е.

Столбец  становится базисным, то есть единичным.

Новые значения в направляющей строке получаем делением элементов этой строки на направляющий элемент.

Остальные элементы в небазисных столбцах и в столбце  вычисляем по правилу треугольника.

Выбираем минимальную отрицательную оценку. Она определяет направляющий столбец.

Заполняем столбец «θ»

По минимальному значению определяем направляющую строку.

На пересечении направляющей строки и столбца находится направляющий элемент.

Заполнение второй таблицы осуществляется по аналогии с предыдущей.

Таблица 2.

			0	9	10	16	0	0	0	Отношение, θ
i		Базис
1	10		8	1	1	0		-	0	______
2	16		20		0	1	-		0	______
3	0		96		0	0		-	1	______
	∆j		400	5	0	0			0
	Zj		400	14	10	16			0

Так как нет отрицательных оценок ∆j, значит выполняется признак оптимальности и не вводились искусственные переменные, то получено оптимальное решение.

Ответ:

Максимальное значение функции F_max =400 достигается в точке с координатами:

=0

=8

=20

=0

=0

=96

Задача №2 (Метод Литтла)

Найти кратчайший путь в графе, заданном графически в виде чертежа, методом Литтла.

Из чертежа запишем матрицу расстояний. (Расстояние от т.1 до т.2 равно:

 , и т.д.)

	1	2	3	4	5	6
1	∞	18,87	49,48	51,86	80,51	97,42
2	18,87	∞	32,06	34,48	65,15	84,01
3	49,48	32,06	∞	31,76	61,19	83,20
4	51,86	34,48	31,76	∞	32,14	53,15
5	80,51	65,15	61,19	32,14	∞	22,14
6	97,42	84,01	83,20	53,15	22,14	∞

Предположим что кратчайший путь будет следующим:

 т.1→ т.2→ т.3→ т.4→ т.5→ т.6→т.1 и составит

Решение: Первый этап.

Шаг 1. Приведем матрицу расстояний по строкам и столбцам

(в строке вычитаем из каждого элемента минимальный, затем в столбцах)

	1	2	3	4	5	6
1	∞	18,87	49,48	51,86	80,51	97,42	18,87
2	18,87	∞	32,06	34,48	65,15	84,01	18,87
3	49,48	32,06	∞	31,76	61,19	83,20	31,76
4	51,86	34,48	31,76	∞	32,14	53,15	31,76
5	80,51	65,15	61,19	32,14	∞	22,14	22,14
6	97,42	84,01	83,20	53,15	22,14	∞	22,14

 ↓

	1	2	3	4	5	6
1	∞	0	30,61	32,99	61,64	78,55
2	0	∞	13,19	15,61	46,28	65,14
3	17,72	0,30	∞	0	29,43	51,44
4	20,10	2,72	0	∞	0,38	21,39
5	58,37	43,01	39,05	10,00	∞	0
6	75,28	61,87	61,06	31,01	0	∞
	0	0	0	0	0	0

 ↓

	1	2	3	4	5	6
1	∞	0	30,61	32,99	61,64	78,55
2	0	∞	13,19	15,61	46,28	65,14
3	17,72	0,30	∞	0	29,43	51,44
4	20,10	2,72	0	∞	0,38	21,39
5	58,37	43,01	39,05	10,00	∞	0
6	75,28	61,87	61,06	31,01	0	∞

Шаг 2. Определим оценки нулевых клеток:

Шаг 3. Вычеркиваем клетку с максимальной оценкой. Включаем данную клетку в путь обхода. (5 – 6)

Шаг 4. Переписываем матрицу расстояний, накладывая запрет на одну из клеток для исключения преждевременного замыкания контура (в клетку 6-5 ставим ∞).

	1	2	3	4	5
1	∞	0	30,61	32,99	61,64
2	0	∞	13,19	15,61	46,28
3	17,72	0,30	∞	0	29,43
4	20,10	2,72	0	∞	0,38
6	75,28	61,87	61,06	31,01	∞

Далее повторяем шаги 1 – 4, пока не дойдем до одной клетки.

Второй этап.

Шаг 1. Приведем матрицу расстояний по строкам и столбцам.

	1	2	3	4	5
1	∞	0	30,61	32,99	61,64
2	0	∞	13,19	15,61	46,28
3	17,72	0,30	∞	0	29,43
4	20,10	2,72	0	∞	0,38
6	75,28	61,87	61,06	31,01	∞
	0	0	0	0	0,38

↓

	1	2	3	4	5
1	∞	0	30,61	32,99	61,26
2	0	∞	13,19	15,61	45,90
3	17,72	0,30	∞	0	29,05
4	20,10	2,72	0	∞	0
6	75,28	61,87	61,06	31,01	∞

Шаг 2. Определим оценки нулевых клеток:

Шаг 3. Вычеркиваем клетку с максимальной оценкой. Включаем данную клетку в путь обхода. (1 – 2)

Шаг 4. Переписываем матрицу расстояний, накладывая запрет на одну из клеток для исключения преждевременного замыкания контура (в клетку 2 – 1 ставим ∞).

	1	3	4	5
2	∞	13,19	15,61	45,90
3	17,72	∞	0	29,05
4	20,10	0	∞	0
6	75,28	61,06	31,01	∞

Третий этап.

Шаг 1. Приведем матрицу расстояний по строкам и столбцам.

	1	3	4	5
2	∞	13,19	15,61	45,90
3	17,72	∞	0	29,05
4	20,10	0	∞	0
6	75,28	61,06	31,01	∞
	17,72	0	0	0

 ↓

	1	3	4	5
2	∞	13,19	15,61	45,90	13,19
3	0	∞	0	29,05	0
4	2,38	0	∞	0	0
6	57,56	61,06	31,01	∞	31,01

 ↓

	1	3	4	5
2	∞	0	2,42	32,71
3	0	∞	0	29,05
4	2,38	0	∞	0
6	26,55	30,05	0	∞

Шаг 2. Определим оценки нулевых клеток:

Шаг 3. Вычеркиваем клетку с максимальной оценкой. Включаем данную клетку в путь обхода. (4 – 5)

Шаг 4. Переписываем матрицу расстояний, накладывая запрет на одну из клеток для исключения преждевременного замыкания контура (в клетку 6 – 4 ставим ∞).

	1	3	4
2	∞	0	2,42
3	0	∞	0
6	26,55	30,05	∞

Четвертый этап.

Шаг 1. Приведем матрицу расстояний по строкам и столбцам.

	1	3	4
2	∞	0	2,42	0
3	0	∞	0	0
6	26,55	30,05	∞	26,55

 ↓

	1	3	4
2	∞	0	2,42
3	0	∞	0
6	0	3,50	∞

Шаг 2. Определим оценки нулевых клеток:

Шаг 3. Вычеркиваем клетку с максимальной оценкой. Включаем данную клетку в путь обхода. (3 – 4)

Шаг 4. Переписываем матрицу расстояний, накладывая запрет на одну из клеток для исключения преждевременного замыкания контура (в клетку 6 – 3 ставим ∞).

	1	3
2	∞	0
6	0	∞

 

Пятый этап.

Остались не задействованными связи 2 – 3 и 6 – 1.

В результате получаем следующую цепочку:

1→ 2→ 3 → 4→ 5→ 6 →1

Длина пути составляет:

L=18,87+32,06+31,76+32,14+22,14+97,42=234,39

это и есть кратчайший путь.